Séries à termes positifs

Plan du chapitre "Séries numériques"

Convergence par utilisation de comparaisons

Proposition (convergence par majoration des sommes partielles)
Soit {\displaystyle\sum u_n} une série à termes réels positifs ou nuls.
La suite {(S_{N})} des sommes partielles de la série {\displaystyle\sum u_n} est croissante.
Dans ces conditions, {\displaystyle\sum u_n} converge si et seulement si la suite {(S_N)} est majorée.

Si l’hypothèse {u_n\ge0} n’est vraie qu’à partir d’un certain rang {n_0}, le résultat reste valable.

Sachant que {\sum u_n} et {\sum(-u_n)} sont de même nature, l’énoncé se généralise (avec des modifications évidentes) aux séries réelles dont le terme général est de signe constant à partir d’un certain rang.

Proposition (convergence par domination)
Soit {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} deux séries, telles que {0\le u_{n}\le v_{n}} pour tout {n\ge n_{0}}.

  • si on sait que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} diverge, alors la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} diverge.
  • si {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} converge, la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} converge, et : {\forall N\ge n_{0},\;\displaystyle\sum_{n=N}^\infty u_n\le\displaystyle\sum_{n=N}^\infty v_n}.

Proposition (convergence par équivalence)
Soit {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} deux séries à termes réels positifs (au moins à partir d’un certain rang).
Si {u_n\sim v_n}, alors les séries {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} sont de même nature.

La proposition précédente vaut aussi pour des séries à termes négatifs à partir d’un certain rang.

L’hypothèse selon laquelle les {u_{n}} et {v_{n}} gardent un signe constant est essentielle.

En effet, si {u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}} et {v_n=\ln(1+u_n)}, on a {u_{n}\sim v_{n}}.
Mais {\displaystyle\sum u_n} converge alors que {\displaystyle\sum v_n} diverge.

Proposition (comparaison série-intégrale dans le cas monotone)
Soit {f:[n_{0},+\infty[\to\mathbb{R}^{+}} une fonction, continue par morceaux, décroissante et à valeurs positives.
Pour tout entier {n>n_{0}}, on a : {\displaystyle\int_{n}^{n+1}f(t)\,\text{d}t \le f(n)\le \displaystyle\int_{n-1}^{n}f(t)\,\text{d}t}.
Pour tout {N>n_{0}}, on en déduit : {\displaystyle\int_{n_{0}+1}^{N+1}f(t)\,\text{d}t \le \displaystyle\sum_{n=n_{0}+1}^{N}f(n)\le \displaystyle\int_{n_{0}}^{N}f(t)\,\text{d}t}.
Ainsi {\displaystyle\sum f(n)} converge si et seulement si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\int_{n_{0}}^{n}f(t)\,\text{d}t} est un nombre réel.
Proposition (séries de référence)
Séries de Riemann : la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\,\dfrac1{n^\alpha}} est convergente si et seulement si {\alpha>1}.
Séries de Bertrand : {\displaystyle\sum_{n\ge2}\,\dfrac1{n^\alpha\,\ln^{\beta}(n)}} converge {\Leftrightarrow} ({\alpha>1\;\text{ou}\;(\alpha=1\;\text{et}\; \beta>1)}

Par exemple, la série {\displaystyle\sum\dfrac1{n^2}} est convergente, et on montre que {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6}.

Utilisation des séries de référence

Proposition (utilisation des séries de référence de Riemann)
S’il existe {\begin{cases}\alpha>1\\M\ge0\end{cases}} tels que {0\le n^\alpha u_n\le M} pour {n\ge n_{0}}, alors l{\displaystyle\sum u_n} converge.
C’est notamment le cas si {\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^\alpha u_n=0}, c’est-à-dire si {u_n=\text{o}\Big(\dfrac1{n^\alpha}\Big)}.
S’il existe {M>0} tel que {u_n\ge\dfrac{M}{n}} pour {n\ge n_{0}}, alors {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} diverge.
C’est le cas si {u_n\sim\dfrac\lambda n}, où {\lambda>0}.
Proposition (règles de d'Alembert)
Soit {(u_n)} une suite de {\mathbb{R}^{+\ast}}. On suppose que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\alpha}.
Si {0\le\alpha\lt 1}, la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} est convergente. Si {\alpha>1}, la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} est divergente.
Si {\alpha=1} on ne peut rien dire : c’est le cas douteux de la règle de d’Alembert.
Toutefois, si {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1^+}, alors la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} est divergente.

Représentation décimale des réels

Proposition ”(développement
Pour tout réel {x} de {[0,1[}, il existe une unique suite {(a_{n})_{n\ge1}}, vérifiant les propriétés suivantes :

  • pour tout {n\ge1 }, {a_{n}\in\{0,1,\ldots,9\}}, et : {\forall\, n_{0}\in\mathbb{N},\;\exists\, n\ge n_{0},\;a_{n}\ne 9}.
  • on a l’égalité {x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}10^{-n}}, appelée développement décimal propre du réel {x}.

Ce résultat s’étend aux réels positifs en écrivant : {x=\lfloor x\rfloor+(x-\lfloor x\rfloor)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_{n}10^{-n}}.
Ici {\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{0}a_{n}10^{-n}=a_{-m}10^{m}+\cdots+a_{-2}10^{2}+a_{-1}10+a_{0}} est l’écriture décimale finie de l’entier {\lfloor x\rfloor}.

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