Convergence absolue

Plan du chapitre "Séries numériques"
Définition (convergence absolue d'une série numérique)
On dit que la série {\displaystyle\sum u_n} est absolument convergente si la série {\displaystyle\sum\left|u_n\right|} est convergente.
Proposition (la convergence absolue implique la convergence)
Si {\displaystyle\sum u_n} est absolument convergente, alors elle est convergente et {\Bigl|\displaystyle\sum_{n=0}^\infty u_n\Bigr|\le\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left|u_n\right|}.
Définition (complément: série semi-convergente)
Si {\displaystyle\sum u_n} est convergente, mais n’est pas absolument convergente, elle est dite semi-convergente.

La série harmonique alternée {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}} est sans doute l’exemple type de série semi-convergente.

Proposition (critère suffisant de convergence absolue par domination)
Soit {(z_{n})} une suite complexe, et soit {(v_{n})} une suite d’éléments de {\mathbb{R}^{+}}.
Si {z_{n}=\texttt{O}(v_{n})}, et si {\displaystyle\sum v_{n}} converge, alors {\displaystyle\sum z_{n}} est absolument convergente.
Définition (produit de Cauchy de deux séries numériques)
Soit {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum v_{n}} deux séries à termes réels ou complexes.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, soi {w_{n}=\displaystyle\sum_{p+q=n}u_{p}v_{q}=\displaystyle\sum_{p=0}^{n}u_{p}\,v_{n-p}=\displaystyle\sum_{q=0}^{n}u_{n-q}\,v_{q}}.
On dit que la série {\displaystyle\sum w_{n}} est le produit de Cauchy des deux séries {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum v_{n}}.
Proposition (convergence absolue du produit de Cauchy de deux séries ACV)
Soit {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum v_{n}} deux séries numériques absolument convergentes.
Alors leur série produit de Cauchy {\displaystyle\sum w_{n}} est absolument convergente et : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}w_{n}=\Bigl(\displaystyle\sum_{p=0}^{+\infty}u_{p}\Bigr)\Bigl(\displaystyle\sum_{q=0}^{+\infty}v_{q}\Bigr)}

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