Projections orthogonales

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Supplémentaire orthogonal

Proposition (supplémentaire orthogonal d'un sous-espace de dimension finie)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {F} un sous-espace vectoriel de dimension finie de {E}. Alors {E=F\oplus F^\bot}.
Le sous-espace {F^\bot} est appelé le supplémentaire orthogonal de {F}.

Le cadre du résultat précédent est : {F} sous-espace de dimension finie de {E} (qui lui est de dimension quelconque). Évidemment, il n’y a pas d’hypothèse à faire sur {F} si {E} est lui-même de dimension finie.

Proposition (dimension du supplémentaire orthogonal en dimension finie)
Soit {E} un espace euclidien, donc de dimension finie {n}.
Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}. Alors {\dim(F^{\bot})=n-\dim(F)}.
On a l’égalité {F=F^{\bot\bot}}. Ainsi {F} est lui-même le supplémentaire orthogonal de {F^\bot}.

Si on est en dimension finie, on pourra donc dire des sous-espaces {F} et {F^{\bot}} qu’ils sont supplémentaires orthogonaux l’un de l’autre.

Supplémentaire orthogonal et bases orthonormées

Soit {F} un sous-espace vectoriel de l’espace euclidien {E}.
Soit {e} une base orthonormale de {F} et {e'} une base orthonormale de {F^\bot}.
Alors {e\cup e'} (obtenue par juxtaposition) est une base orthonormale de {E}.

Réciproquement, si on complète une base orthonormale {e_1,\ldots,e_p} de {F} en une base orthonormale {e_1,\ldots,e_p,e_{p+1},\ldots,e_n} de {E}, alors {e_{p+1},\ldots,e_n} est une base orthonormale de {F^\bot}.

Sur la figure ci-dessous, on s’est placé dans un espace euclidien {E} de dimension {3}.
Ici, le plan vectoriel {P} et la droite vectorielle {D} sont supplémentaires orthogonaux l’un de l’autre.
Si {(e_1,e_2)} est une base de {P} et si {e_3} est une base de {D}, alors la famille {(e_1,e_2,e_3)} est une base orthonormale de {E}si et seulement si {(e_1,e_2)} est une base orthonormale de {P} et {e_3} est unitaire.

Projection orthogonale

Proposition (projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {F} un sous-espace vectoriel de dimension finie de {E}.
La projection {p_F} sur {F} parallèlement à {F^\bot} est appelée projection orthogonale sur {F}.
Soit {\varepsilon=\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_p} une base orthonormale de {F}.
Alors pour tout vecteur {u} de {E}, on a l’égalité : {p_F(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^p\left({u}\mid{\varepsilon_k}\right)\varepsilon_k}.

Si {p} est la projection orthogonale sur {F}, alors {\text{Id}-p} est la projection orthogonale sur {F^\bot}.

Projection orthogonale sur une droite ou un hyperplan

Soit {a} un vecteur non nul de l’espace préhilbertien réel {E}.
La projection orthogonale sur la droite {\mathbb{R} a} est définie par {p_a(u)=\dfrac{\left(a\mid u\right)}{\left\|{a}\right\|^2}\,a}.
Bien sûr, si {a} est unitaire : {p_a(u)=\left(a\mid u\right)a}.

On suppose {E} de dimension finie, et on considère l’hyperplan {H=(\mathbb{R} a)^\bot}.
La projection orthogonale sur {H=(\mathbb{R} a)^\bot} est définie par {p_H:u\mapsto p_H(u)=u-\dfrac{\left(a\mid u\right)}{\left\|{a}\right\|^2}\,a}.

Illustration en dimension {3}

Sur la figure ci-dessous, on suppose {\dim E=3}.
Soit {e_1,e_2} une base orthonormale du plan {P}, et soit {e_3} un vecteur unitaire de la droite {P^\bot}.
On s’est donné un vecteur {u} de {E}.
Chaque {u_k=\left({u}\mid{e_k}\right)e_k} est la projection orthogonale de {u} sur la droite engendrée par {e_k}.
Le vecteur {u_1+u_2=\left({u}\mid{e_1}\right)e_1+\left({u}\mid{e_2}\right)e_2} est le projeté orthogonal de {u} sur {P}.

Retour au procédé de Schmidt

Soit {E} un espace préhilbertien réel. Soit {e=(e_k)_{1\le k \le n}} une famille libre de {E}.
Le procédé de Schmidt transforme la famille {e} en une famille orthonormale {\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_p)}.
La formation du vecteur {\varepsilon_k} peut être interprétée de la manière suivante :

  • Soit {F_{k-1}=\text{Vect}(e_1,\ldots,e_{k-1})=\text{Vect}(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{k-1})}.
    La projection orthogonale {v_k} de {e_k} sur {F_{k-1}} est {v_k=\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1}\left({e_k}\mid{\varepsilon_j}\right)\varepsilon_j}.
  • On en déduit {u_k=e_k-v_k}, orthogonal à {F_{k-1}} et non nul.
    Il suffit alors de normer le vecteur {u_k} pour obtenir le vecteur {\varepsilon_k}.
Proposition (caractérisations des projections orthogonales)
Soit {p} une projection vectorielle de l’espace euclidien {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • la projection {p} est une projection orthogonale.
  • pour tous vecteurs {u,v} de {E}, on a l’égalité {\left(p(u)\mid v\right)=\left({u}\mid{p(v)}\right)}.
  • la matrice de {p} dans toute base orthonormale est symétrique.
  • la matrice de {p} dans une base orthonormale est symétrique.

Proposition (une autre caractérisation des projections orthogonales)
Soit {p} une projection vectorielle de l’espace euclidien {E}.
Alors {p} est une projection orthogonale si et seulement si : {\forall\, u\in E,\;\left\|{p(u)}\right\|\le \left\|u\right\|}.

Distance à un sous-espace

Définition (distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel)
Soit {E} un espace préhilbertien réel. Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Pour tout {u\in E}, on appelle distance de {u} à {F} la quantité {d(u,F)=\inf\{\left\|{u-w}\right\|,\,w\in F\}}.
Proposition (caractérisation du projeté orthogonal)
Soit {E} un espace préhilbertien réel, et soit {F} un sous-espace de dimension finie de {E}.
Soit {p} la projection orthogonale de {E} sur {F}.
Alors {p(u)} vérifie {\left\|{u-p(u)}\right\|=d(u,F)}, et il est le seul dans {F} à posséder cette propriété.

Interprétation

Parmi tous les vecteurs de {F}, le projeté orthogonal de {u} est celui qui est “le plus proche” de {u}.

On illustre ci-dessous la projection orthogonale {p(u)} de {u} sur {F}.

Pour tout vecteur {w} de {F}, on a : {\begin{array}{rl}\left\|{u-w}\right\|^{2}&=\left\|{u-p(u)+p(u)-w}\right\|^{2}\\&=\left\|{u-p(u)}\right\|^{2}+\left\|{p(u)-w}\right\|^{2}\ge \left\|{u-p(u)}\right\|^{2}\end{array}}
(avec égalité si et seulement si {w=p(u)}).

De plus : {d(u,F)^{2}=\left\|{u-p(u)}\right\|^{2}=\left\|u\right\|^{2}-\left\|{p(u)}\right\|^{2}}.

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