Produit scalaire, norme et distance

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Dans tout le chapitre, {E} désigne un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}.

Produit scalaire sur un {\mathbb{R}} espace vectoriel

Définition (produit scalaire sur un ℝ-espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}. Soit {f} une application de {E\times E} dans {\mathbb{R}}.
On dit que {f:~E\times E\to\mathbb{R}} est un produit scalaire sur {E} si elle vérifie les propriétés suivantes :

  • l’application {f} est bilinéaire.
  • pour tous vecteurs {u,v} de {E}, on a : {f(u,v)={f(v,u)}} (on dit que {f} est symétrique).
  • pour tou vecteur {u} de {E}, on a : {f(u,u)\ge0} (on dit que {f} est positive).
  • pour tout vecteur {u} de {E}, on a : {f(u,u)=0\Leftrightarrow u=0} (on dit que {f} est définie).

Rappelons que la bilinéarité s’écrit : {\begin{cases}\forall\,(u,u',v,v')\in E^4\\\forall\, (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\end{cases}\quad\begin{cases}f(\alpha u+\beta u',v)=\alpha f(u,v)+\beta f(u',v)\\f(u,\alpha v+\beta v')=\alpha f(u,v)+\beta f(u,v')\end{cases}}
Si le caractère symétrique de {f} est établi, la “linéarité à droite” équivaut à la “linéarité à gauche”.
Un produit scalaire sur {E} est donc une “forme bilinéaire symétrique définie positive”.

Définition (espace préhilbertien réel, espace euclidien)
Un {\mathbb{R}} espace vectoriel {E} muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien réel.
Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.

Notations

Plutôt que de noter {f(u,v)}, on note souvent {\lt u,v>}, ou {u\cdot v}, ou {\left(u \mid v\right)}.

Avec la notation {\left({\cdot}\mid{\cdot}\right)}, que nous utiliserons, la définition d’un produit scalaire devient : {\begin{array}{l}\forall\, (u,u',v,v')\in E^4,\ \forall\, (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2\\\\\begin{cases}\left({\alpha u+\beta u'}\mid{v}\right)=\alpha\left(u \mid v\right)+\beta\left({u'}\mid{v}\right)\\\left({u}\mid{\alpha v+\beta v'}\right)=\alpha\left(u \mid v\right)+\beta\left({u}\mid{v'}\right)\\\left(u \mid v\right)=\left({u}\mid{v}\right)\qquad\left({u}\mid{u}\right)\ge0\ \;\text{et}\;\ \left({u}\mid{u}\right)=0\Leftrightarrow u=0\end{cases}\end{array}}

Proposition (produit scalaire canonique sur ℝ^n)
Soit {u=(x_1,\ldots,x_n)} et {v=(y_1,\ldots,y_n)} deux éléments quelconques de {\mathbb{R}^n}.
En posant {\left(u \mid v\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\,x_k\,y_k}, on définit un produit scalaire sur {\mathbb{R}^{n}}.
On l’appelle le produit scalaire canonique de {\mathbb{R}^n}.

Notation matricielle :

si on note {[u]} la matrice-colonne associée à {u\in\mathbb{R}^n}, alors {\left(u \mid v\right)={[u]}^{\top}\,[v]}.

Proposition (un produit scalaire entre fonctions continues sur un segment)
Soit {E={\mathcal C}([a,b],\mathbb{R})} l’espace des fonctions continues de {[a,b]} dans {\mathbb{R}}, avec {a\lt b}.
En posant {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_a^b f(t)\,g(t)\,\text{d}t}, on définit un produit scalaire sur {E}.

Norme et distance associée

Proposition (norme et distance associée à un produit scalaire)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Pour tout vecteur {u} de {E}, on appelle norme de {u} la quantité {\left\|u\right\|=\sqrt{\left({u}\mid{u}\right)}}.
Pour tous vecteurs {u,v} on appelle distance de {u} à {v} la quantité {d(u,v)=\left\|{u-v}\right\|}.
Les applications “norme” et “distance” sont dites associées au produit scalaire sur {E}.
Définition (vecteurs unitaires)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Un vecteur {u} de {E} est dit unitaire (ou encore normé) si {\left\|u\right\|=1}.
Proposition (inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Pour tous {u,v} de {E}, on a “l’inégalité de Cauchy-Schwarz” : {\left|{\left(u \mid v\right)}\right|\le\,\left\|u\right\|\,\left\|v\right\|}.
Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si {u} et {v} sont liés.

Les deux exemples classiques

  • On se place dans {\mathbb{R}^{n}}, muni de son produit scalaire canonique.
    Pour tout vecteur {u=(x_1,\ldots,x_n)}, on a {\left\|u\right\|=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^n\,x_k^2\Bigr)^{1/2}}.
    L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit : {\bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^n\,x_k\,y_k\bigr)^2\,\le\,\displaystyle\sum_{k=1}^n\,x_k^2\,\displaystyle\sum_{k=1}^n\,y_k^2}
  • Dans {{\mathcal C}([a,b],\mathbb{R})} muni de {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_a^b f(t)\,g(t)\,\text{d}t}, on a : {\left\|{f}\right\|=\sqrt{\displaystyle\int_a^b f(t)^2\,\text{d}t}}.
    L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit alors : {\Bigl(\displaystyle\int_a^bf(t)\,g(t)\,\text{d}t\Bigr)^{2}\le\displaystyle\int_a^bf(t)^2\,\text{d}t\,\displaystyle\int_a^bg(t)^2\,\text{d}t}
Proposition (propriétés de la norme associée à un produit scalaire)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.

  • pour tout vecteur {u} de {E}, on a l’inégalité {\left\|u\right\|\ge 0}, et l’équivalence {\left\|u\right\|=0\Leftrightarrow u=0}.
  • pour tout vecteur {u} de {E}, et pour tout réel {\lambda}, on a : {\left\|{\lambda u}\right\|=\left|\lambda\right|\,\left\|u\right\|}.
  • pour tous vecteurs {u,v} de {E}, on a l’inégalité triangulaire : {\left\|{u+v}\right\|\le \left\|u\right\|+\left\|v\right\|}.
    cette inégalité est une égalité si et seulement si {u} et {v} sont “positivement liés”.

Remarques

  • l’expression “positivement liés” signifie l’existence de {\lambda\in\mathbb{R}^{+}} tel que {v=\lambda u} ou {u=\lambda v}.
  • pour tous {u,v} de {E}, on a l’encadrement : {\bigl|\,\left\|u\right\|-\left\|v\right\|\,\bigr|\le\left\|{u\pm v}\right\|\le \left\|u\right\|+\left\|v\right\|}.
  • Si {u} est non nul, les vecteurs {\pm\dfrac{u}{\left\|u\right\|}} sont les seuls vecteurs unitaires de la droite {\mathbb{R} u}.
Proposition (propriétés de la distance associée à un produit scalaire)
Soit {E} un espace préhilbertien réel. On note {d(u,v)} la distance associée.
Pour tous vecteurs {u,v,w} de {E}, on a :

  • {d(u,v)=d(v,u)} (l’application distance est symétrique)
  • {d(u,v)\ge0} (positivité, et {\bigl(d(u,v)=0\Leftrightarrow u=v\bigr)} (axiome de séparation)
  • {d(u,v)=d(u+w,v+w)} (la distance est invariante par translation)
  • {d(u,v)\le d(u,w)+d(w,v)} (inégalité triangulaire.
    (c’est une égalité si et seulement si {w} appartient au segment {[u;v]})

Remarques

La notion de distance est surtout utilisée dans le cadre de la géométrie affine.
On parle alors de la distance {d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|} entre deux points {A} et {B}.

Avec ces notations, {d(A,B)\le d(A,C)+d(C,B)} (égalité {\Leftrightarrow C} est sur {[A;B]})

Proposition (un développement usuel)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Pour tous {u,v} de {E}, et tous réels {\alpha,\beta} on a:{\left\|{\alpha u+\beta v}\right\|^2=\alpha^2\left\|u\right\|^2+2\alpha\beta\left(u \mid v\right)+\beta^2\left\|v\right\|^2}

En particulier, {\begin{cases}\left\|{u+v}\right\|^2=\left\|u\right\|^2+2\left(u \mid v\right)+\left\|v\right\|^2\\\left\|{u-v}\right\|^2=\left\|u\right\|^2-2\left(u \mid v\right)+\left\|v\right\|^2\end{cases}}

Par addition, on en déduit : {\forall\, (u,v)\in E^2,\;\left\|{u+v}\right\|^2+\left\|{u-v}\right\|^2=2\left(\left\|u\right\|^2+\left\|v\right\|^2\right)}.

Cette égalité est connue sous le nom d’identité du parallélogramme.

Proposition (formule de polarisation)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Pour tous vecteurs {u,v} de {E}, on a : {\left(u \mid v\right)=\dfrac12\,\left(\left\|{u+v}\right\|^2-\left\|u\right\|^2-\left\|v\right\|^2\right)}.

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