Produit mixte, produit vectoriel

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Produit mixte dans un espace euclidien orienté

Dans cette section on se place dans un espace vectoriel euclidien orienté {E}.

Il y a dans {E} des bases orthonormales directes et des bases orthonormales indirectes. En effet, si {\mathcal{B}=(e_1,e_2\ldots,e_n)} est orthonormale, {\mathcal{B}'=(-e_1,e_2,\ldots,e_n)} est orthonormale d’orientation contraire.

Proposition (produit mixte)
Soit {u_1,\ldots,u_n} une famille de {n} vecteurs d’un espace euclidien orienté {E} de dimension {n}.
Le déterminant {\det_{e}(u_1,u_2,\ldots,u_n)} est le même dans toute base orthonormale directe {e}.
Ce déterminant est appelé produit mixte de {u_1,u_2,\ldots,u_n} et il est noté {[u_1,u_2,\ldots,u_n]}.

Produit mixte et orientation

L’application “produit mixte” est une forme {n}-linéaire alternée sur {E}.
Si {e_1,e_2,\ldots,e_n} forment une base orthonormale directe, alors {[e_1,e_2,\ldots,e_n]=1}.
Si {e_1,e_2,\ldots,e_n} forment une base orthonormale indirecte, alors {[e_1,e_2,\ldots,e_n]=-1}.

Soit {u_1,u_2,\ldots,u_n} une famille de {n} vecteurs de {E}.
On a évidemment {[u_1,u_2,\ldots,u_n]\ne0} si et seulement si les {u_{k}} forment une base de {E}.
Si la base {u_1,u_2,\ldots,u_n} est directe (resp. indirecte) alors {[u_1,u_2,\ldots,u_n]>0} (resp. {\lt 0})

Produit mixte et produit scalaire

Soit {u,v} deux vecteurs d’un plan euclidien orienté {E}.
Alors on a l’égalité {\left(u \mid v\right)^2+[u,v]^2=\left\|u\right\|^2\left\|v\right\|^2}.

Dans {E} euclidien orienté de dimension {n}, on a : {\bigl|[u_1,u_2,\ldots,u_n]\bigr|\le\left\|{u_1}\right\|\,\left\|{u_2}\right\|\,\cdots\,\left\|{u_n}\right\|}
Si les {u_{k}} sont libres, ce résultat est une égalité {\Leftrightarrow} {u_{k}} sont orthogonaux deux à deux.

Produit mixte et applications linéaires

Soit {u_1,u_2,\ldots,u_n} une famille de {n} vecteurs de l’espace euclidien orienté {E}.
Pour tout endomorphisme {f} de {E}, on a : {[f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)]=(\det f)[u_1,u_2,\ldots,u_n]}
En particulier, si {\det(f)=1}, on a {[f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)]=[u_1,u_2,\ldots,u_n]}
Ainsi les applications linéaires de déterminant {1} conservent le produit mixte.

Interprétation du produit mixte dans un plan orienté

Soit {u,v} deux vecteurs d’un plan euclidien orienté {E_2}.
Alors {[u,v]} est l’aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteurs {u} et {v}.
L’aire orientée du triangle formé sur {u} et {v} est {\dfrac{1}{2}[u,v]}.

Interprétation du produit mixte en dimension {3}

On se place dans un espace euclidien orienté {E_{3}} de dimension {3}.
On identifie ici les éléments de {E_{3}} avec des points de l’espace.

On se donne un parallélépipède dont les arêtes issues de {A} sont {AB}, {AC}, et {AD}.
Son volume orienté est {[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]}.
Celui du tétraèdre {ABCD} est {\dfrac16[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]}.

On a représenté ci-dessous le parallélépipède.
Ici la base {\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}} est directe, donc {[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\gt 0}.

Le procédé de Schmidt transforme {\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}}en une base orthonormale directe {e_1,e_2,e_3}.
On peut alors écrire {\overrightarrow{AB}=be_1,\;\overrightarrow{AC}=c'e_1+ce_2,\;\overrightarrow{AD}=d''e_1+d'e_2+de_3}.

Alors (et on obtient bien le volume du parallélépipède, En effet, {bc} est l’aire du parallélogramme de base, et {d} est la hauteur du parallélépipède) : {[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\det_{e}\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\bigr)=bcd}

Produit vectoriel

Proposition (produit vectoriel dans un espace euclidien orienté de dimension 3)
Soit {u,v} deux vecteurs d’un espace euclidien orienté {E} de dimension {3}.
Il existe un unique vecteur {a} de {E} tel que : {\forall\, w\in E,\; [u,v,w]=\left(a\mid w\right)}.
Ce vecteur {a} est appelé produit vectoriel de {u} par {v}, et il est noté {u\wedge v}.
On a donc l’égalité, pour tous vecteurs {u,v,w} de {E} : {[u,v,w]=\left({(u\wedge v)}\mid{w}\right)}.

Remarques et propriétés

  • Alors que le produit mixte existe en dimension {n}, le produit vectoriel n’existe qu’en dimension {3}.
  • L’application {(u,v)\mapsto u\wedge v} est bilinéaire alternée : {\forall\, (u,v)\in E^2,\;u\wedge v=-v\wedge u}.
    Pour tous vecteurs {u,v,w}, on peut écrire : {[u,v,w]=\left((u\wedge v)\mid w\right)=\left({u}\mid{(v\wedge w)}\right)}.
  • Le vecteur {u\wedge v} est orthogonal à {u} et à {v}.
    On a : {u\wedge v=0\Leftrightarrow u,v} sont liés.
    Si {u,v} sont libres, alors {u,v,u\wedge v} forment une base directe.
  • Si {u,v} sont unitaires et orthogonaux, alors {u,v,w} est une base orthonormale directe.
    Si {i,j,k} est orthonormale directe on a : {\begin{array}{lll}i\wedge j=k&\quad {j}\wedge {k}=i&\quad {k}\wedge {i}=j\cr {j}\wedge {i}=-k&\quad {k}\wedge {j}=-i&\quad {i}\wedge {k}=-j\end{array}}
  • On suppose que {E} est muni d’une base orthonormale directe {i,j,k}.
    Soit {u=xi+yj+zk} et {v=x'i+y'j+z'k}.
    Alors le produit vectoriel {u\wedge v} se calcule en écrivant : {\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}x'\cr y'\cr z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}yz'-zy'\cr zx'-xz'\cr xy'-yx'\end{pmatrix}}
  • Soit {u,v} deux vecteurs de {E}.
    On a l’égalité : {\left(u \mid v\right)^2+\left\|{u\wedge v}\right\|^2=\left\|u\right\|^2\,\left\|v\right\|^2}.
    En particulier {\left\|{u\wedge v}\right\|\le\left\|u\right\|\,\left\|v\right\|}, avec égalité si et seulement si {\left(u \mid v\right)=0}.
  • L’aire du parallélogramme {ABDC} est {\bigl\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\bigr\|}.
    Celle du triangle {ABC} est {\dfrac12\bigl\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\bigr\|}.
  • Distance d’un point à une droite :
    Soit {\mathcal{D}} la droite passant {\Omega} et dirigée par {u}. Alors {d(M,\mathcal{D})=\dfrac{\bigl\|\,\overrightarrow{\Omega M}\wedge u\,\bigr\|}{\left\|u\right\|}}.
Proposition (formule du double produit vectoriel)
Pour tous vecteurs {u,v,w}, on a : {u\wedge(v\wedge w)=\left(u\mid w\right)v-\left(u \mid v\right)w}.
Proposition (problème de la division vectorielle)
Soit {a,b} dans {E}, avec {a} non nul; on cherche les vecteurs {u} de {E} tels que {a\wedge u=b}.
Si {\left(a\mid b\right)\ne0}, il n’y a pas de solution, sinon on obtient les {u=u_0+\lambda a}, avec {u_0=\dfrac1{\left\|{a}\right\|^2}\;b\wedge a}.

On illustre ci-dessous le problème de la division vectorielle.
On y voit deux vecteurs {a} et {b} qui sont orthogonaux.
On cherche les vecteurs {u} (nécessairement orthogonaux à {b}) tels que {a\wedge u=b}.
Les solutions {u} sont
Le vecteur {u_0} est la seule solution qui soit orthogonale à {a}.
Les autres solutions forment la droite affine {\mathcal{D}}passant par {u_0} et dirigée par {a}.

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