Produit mixte, produit vectoriel

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Produit mixte dans un espace euclidien orienté

Dans cette section on se place dans un espace vectoriel euclidien orienté ${E}$ .

Il y a dans ${E}$ des bases orthonormales directes et des bases orthonormales indirectes. En effet, si ${\mathcal{B}=(e_1,e_2\ldots,e_n)}$ est orthonormale, ${\mathcal{B}'=(-e_1,e_2,\ldots,e_n)}$ est orthonormale d’orientation contraire.

Proposition (produit mixte)
Soit

{u_1,\ldots,u_n}

une famille de

{n}

vecteurs d’un espace euclidien orienté

{E}

de dimension

{n}

.
Le déterminant

{\det_{e}(u_1,u_2,\ldots,u_n)}

est le même dans toute base orthonormale directe

{e}

.
Ce déterminant est appelé produit mixte de

{u_1,u_2,\ldots,u_n}

et il est noté

{[u_1,u_2,\ldots,u_n]}

Produit mixte et orientation

L’application “produit mixte” est une forme ${n}$ -linéaire alternée sur ${E}$ .
Si ${e_1,e_2,\ldots,e_n}$ forment une base orthonormale directe, alors ${[e_1,e_2,\ldots,e_n]=1}$ .
Si ${e_1,e_2,\ldots,e_n}$ forment une base orthonormale indirecte, alors ${[e_1,e_2,\ldots,e_n]=-1}$ .

Soit ${u_1,u_2,\ldots,u_n}$ une famille de ${n}$ vecteurs de ${E}$ .
On a évidemment ${[u_1,u_2,\ldots,u_n]\ne0}$ si et seulement si les ${u_{k}}$ forment une base de ${E}$ .
Si la base ${u_1,u_2,\ldots,u_n}$ est directe (resp. indirecte) alors ${[u_1,u_2,\ldots,u_n]>0}$ (resp. ${\lt 0}$ )

Produit mixte et produit scalaire

Soit ${u,v}$ deux vecteurs d’un plan euclidien orienté ${E}$ .
Alors on a l’égalité ${\left(u \mid v\right)^2+[u,v]^2=\left\|u\right\|^2\left\|v\right\|^2}$ .

Dans ${E}$ euclidien orienté de dimension ${n}$ , on a : ${\bigl|[u_1,u_2,\ldots,u_n]\bigr|\le\left\|{u_1}\right\|\,\left\|{u_2}\right\|\,\cdots\,\left\|{u_n}\right\|}$
Si les ${u_{k}}$ sont libres, ce résultat est une égalité ${\Leftrightarrow}$ ${u_{k}}$ sont orthogonaux deux à deux.

Produit mixte et applications linéaires

Soit ${u_1,u_2,\ldots,u_n}$ une famille de ${n}$ vecteurs de l’espace euclidien orienté ${E}$ .
Pour tout endomorphisme ${f}$ de ${E}$ , on a : ${[f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)]=(\det f)[u_1,u_2,\ldots,u_n]}$
En particulier, si ${\det(f)=1}$ , on a ${[f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)]=[u_1,u_2,\ldots,u_n]}$
Ainsi les applications linéaires de déterminant ${1}$ conservent le produit mixte.

Interprétation du produit mixte dans un plan orienté

Soit ${u,v}$ deux vecteurs d’un plan euclidien orienté ${E_2}$ .
Alors ${[u,v]}$ est l’aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteurs ${u}$ et ${v}$ .
L’aire orientée du triangle formé sur ${u}$ et ${v}$ est ${\dfrac{1}{2}[u,v]}$ .

Interprétation du produit mixte en dimension ${3}$

On se place dans un espace euclidien orienté ${E_{3}}$ de dimension ${3}$ .
On identifie ici les éléments de ${E_{3}}$ avec des points de l’espace.

On se donne un parallélépipède dont les arêtes issues de ${A}$ sont ${AB}$ , ${AC}$ , et ${AD}$ .
Son volume orienté est ${[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]}$ .
Celui du tétraèdre ${ABCD}$ est ${\dfrac16[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]}$ .

On a représenté ci-dessous le parallélépipède.
Ici la base ${\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}}$ est directe, donc ${[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\gt 0}$ .

Le procédé de Schmidt transforme ${\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}}$ en une base orthonormale directe ${e_1,e_2,e_3}$ .
On peut alors écrire ${\overrightarrow{AB}=be_1,\;\overrightarrow{AC}=c'e_1+ce_2,\;\overrightarrow{AD}=d''e_1+d'e_2+de_3}$ .

Alors (et on obtient bien le volume du parallélépipède, En effet, ${bc}$ est l’aire du parallélogramme de base, et ${d}$ est la hauteur du parallélépipède) : ${[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\det_{e}\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\bigr)=bcd}$

Produit vectoriel

Proposition (produit vectoriel dans un espace euclidien orienté de dimension 3)
Soit

{u,v}

deux vecteurs d’un espace euclidien orienté

{E}

de dimension

{3}

.
Il existe un unique vecteur

{a}

{E}

tel que :

{\forall\, w\in E,\; [u,v,w]=\left(a\mid w\right)}

.
Ce vecteur

{a}

est appelé produit vectoriel de

{u}

par

{v}

, et il est noté

{u\wedge v}

.
On a donc l’égalité, pour tous vecteurs

{u,v,w}

{E}

{[u,v,w]=\left({(u\wedge v)}\mid{w}\right)}

Remarques et propriétés

Alors que le produit mixte existe en dimension ${n}$ , le produit vectoriel n’existe qu’en dimension ${3}$ .

L’application ${(u,v)\mapsto u\wedge v}$ est bilinéaire alternée : ${\forall\, (u,v)\in E^2,\;u\wedge v=-v\wedge u}$ .
Pour tous vecteurs ${u,v,w}$ , on peut écrire : ${[u,v,w]=\left((u\wedge v)\mid w\right)=\left({u}\mid{(v\wedge w)}\right)}$ .

Le vecteur ${u\wedge v}$ est orthogonal à ${u}$ et à ${v}$ .
On a : ${u\wedge v=0\Leftrightarrow u,v}$ sont liés.
Si ${u,v}$ sont libres, alors ${u,v,u\wedge v}$ forment une base directe.

Si ${u,v}$ sont unitaires et orthogonaux, alors ${u,v,w}$ est une base orthonormale directe.
Si ${i,j,k}$ est orthonormale directe on a : ${\begin{array}{lll}i\wedge j=k&\quad {j}\wedge {k}=i&\quad {k}\wedge {i}=j\cr {j}\wedge {i}=-k&\quad {k}\wedge {j}=-i&\quad {i}\wedge {k}=-j\end{array}}$

On suppose que ${E}$ est muni d’une base orthonormale directe ${i,j,k}$ .
Soit ${u=xi+yj+zk}$ et ${v=x'i+y'j+z'k}$ .
Alors le produit vectoriel ${u\wedge v}$ se calcule en écrivant : ${\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}x'\cr y'\cr z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}yz'-zy'\cr zx'-xz'\cr xy'-yx'\end{pmatrix}}$

Soit ${u,v}$ deux vecteurs de ${E}$ .
On a l’égalité : ${\left(u \mid v\right)^2+\left\|{u\wedge v}\right\|^2=\left\|u\right\|^2\,\left\|v\right\|^2}$ .
En particulier ${\left\|{u\wedge v}\right\|\le\left\|u\right\|\,\left\|v\right\|}$ , avec égalité si et seulement si ${\left(u \mid v\right)=0}$ .

L’aire du parallélogramme ${ABDC}$ est ${\bigl\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\bigr\|}$ .
Celle du triangle ${ABC}$ est ${\dfrac12\bigl\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\bigr\|}$ .

Distance d’un point à une droite :
Soit ${\mathcal{D}}$ la droite passant ${\Omega}$ et dirigée par ${u}$ . Alors ${d(M,\mathcal{D})=\dfrac{\bigl\|\,\overrightarrow{\Omega M}\wedge u\,\bigr\|}{\left\|u\right\|}}$ .

Proposition (formule du double produit vectoriel)
Pour tous vecteurs

{u,v,w}

, on a :

{u\wedge(v\wedge w)=\left(u\mid w\right)v-\left(u \mid v\right)w}

Proposition (problème de la division vectorielle)
Soit

{a,b}

dans

{E}

, avec

{a}

non nul; on cherche les vecteurs

{u}

{E}

tels que

{a\wedge u=b}

.
Si

{\left(a\mid b\right)\ne0}

, il n’y a pas de solution, sinon on obtient les

{u=u_0+\lambda a}