Orthogonalité - Mathprepa

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Vecteurs orthogonaux

Définition (orthogonalité de deux vecteurs)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Deux vecteurs

{u}

{v}

{E}

sont dits orthogonaux s’ils vérifient

{\left(u \mid v\right)=0}

Remarques

ces notions dépendent évidemment du produit scalaire utilisé sur ${E}$ . si on en change, les vecteurs qui étaient orthogonaux ne le sont donc plus nécessairement.

la définition de l’orthogonalité est symétrique car ${\left(u \mid v\right)=\left({u}\mid{v}\right)}$ .

le seul vecteur ${u}$ qui est orthogonal à lui-même est le vecteur nul.
A fortiori, le seul vecteur ${u}$ qui est orthogonal à tous les vecteurs de ${E}$ est ${u=0}$ .

Définition (familles orthogonales ou orthonormales)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une famille

{(u_i)_{i\in I}}

de vecteurs de

{E}

est orthogonale si les

{u_i}

sont orthogonaux deux à deux.
Si de plus ils sont unitaires, alors la famille est dite orthonormale (ou orthonormée).

La famille ${(u_i)_{i\in I}}$ est orthonormale ${\Leftrightarrow\forall\,(i,j)\in I^2,\;\left({u_i}\mid{u_j}\right)=\delta_{ij}}$ (notations de Kronecker).

Deux exemples classiques

La base canonique de ${\mathbb{R}^n}$ est orthonormale pour le produit scalaire canonique.

On se place dans ${{\mathcal C}([0,2\pi],\mathbb{R})}$ muni du produit scalaire ${\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_0^{2\pi} f(t)\,g(t)\,\text{d}t}$ .
La famille des ${f_{n}:x\mapsto\cos(nx)}$ , avec ${n}$ dans ${\mathbb{N}}$ , est orthogonale pour ce produit scalaire.

Proposition (une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Si une famille

{(u_i)_{i\in I}}

est orthogonale et formée de vecteurs non nuls, alors c’est une famille libre.

C’est le cas notamment d’une famille ${(u_i)_{i\in I}}$ orthonormale.
En particulier, si ${\dim E=n\ge1}$ , une famille orthonormale de ${n}$ vecteurs est une base orthonormale.

Proposition (théorème de Pythagore)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Si

{(u_k)_{1\le\,k\,\le p}}

est orthogonale, alors

{\Big\|\displaystyle\sum_{k=1}^p u_k\Big\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^p\left\|{u_k}\right\|^2}

(relation de Pythagore).
Attention, la réciproque n’est vraie que si

{p=2}

.
Ainsi :

{\left(u \mid v\right)=0\Leftrightarrow\left\|{u+v}\right\|^2=\left\|u\right\|^2+\left\|v\right\|^2}

Orthogonal d’une partie

Définition (orthogonal d'une partie d'un espace préhilbertien)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel. Soit

{X}

une partie non vide de

{E}

.
L’orthogonal de ${X}$ , noté

{X^\bot}

, est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de

{X}

Définition
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel. Soit

{X,Y}

deux parties non vides de

{E}

.
On dit que les parties

{X}

{Y}

sont orthogonales si :

{\forall\, u\in X,\;\forall\, v\in Y,\;\left(u \mid v\right)=0}

.
Cela équivaut à l’inclusion

{Y\subset X^\bot}

(ou bien sûr à l’inclusion

{X\subset Y^\bot}

Propriétés

On a clairement ${\{0\}^\bot=E}$ , et ${E^\bot=\{0\}}$ . Si ${X\subset Y}$ , alors ${Y^\bot\subset X^\bot}$ .

L’orthogonal ${X^\bot}$ de ${X}$ est toujours un sous-espace de ${E}$ , même si ${X}$ n’en est pas un.

Si ${X}$ est une partie non vide de ${E}$ , alors ${X^\bot=\text{Vect}(X)^\bot}$ .
En particulier, si ${X=\text{Vect}\{u_j,\;j\in J\}}$ , alors : ${v\in X^{\bot}\Leftrightarrow\forall\, j\in J,\;\left(u_{j}\mid{v}\right)=0}$ .

Pour toute partie non vide de ${E}$ , on a l’inclusion ${X\subset X^{\bot\bot}}$
(on exprime cette propriété en disant que ${X}$ est inclus dans son “double orthogonal”).
Cette inclusion peut être stricte, notamment si ${X}$ n’est pas un sous-espace de ${E}$ .
Par exemple, dans ${\mathbb{R}^{3}}$ muni de son produit scalaire canonique (et en notant ${e_{1},e_{2},e_{3}}$ les vecteurs de la base canonique) : si ${X=\{e_{1},e_{2}\}}$ , alors ${X^{\bot}=\mathbb{R} e_{3}}$ , puis ${X^{\bot\bot}=\mathbb{R} e_{1}\oplus\mathbb{R} e_{2}}$ .

Si ${F}$ est un sous-espace de ${E}$ , alors ${F\cap F^\bot=\{0\}}$ (la somme ${F+F^\bot}$ est directe).
La proposition suivante généralise ce résultat :

Proposition (sommes directes orthogonales)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Soit

{(F_j)_{j\in J}}

une famille de sous-espaces de

{E}

, orthogonaux deux à deux.
Alors la somme

{G=\sum F_j}

est directe, et on note

{G=\overset{\perp}{\oplus} F_j}

(dans cette situation, on parle de somme directe orthogonale).

Algorithme d’orthonormalisation de Schmidt

Proposition (principe de l'algorithme)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel. Soit

{(e_k)_{1\le k \le n}}

une famille libre de

{E}

.
Pour tout

{k}

{\{1,\ldots,n\}}

, on pose

{\varepsilon_k=\dfrac1{\left\|{u_k}\right\|}u_k}

, où

{u_k=e_k-\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1}\left({\varepsilon_j}\mid{e_k}\right)\varepsilon_j}

La première étape de l’algorithme consiste bien sûr à poser ${\varepsilon_{1}=\dfrac1{\left\|{e_1}\right\|}\,e_1}$

Proposition (preuve de l'algorithme)
Avec les notations précédentes, l’algorithme de Schmidt se termine.
Pour tout

{k}

{\{1,\ldots,n\}}

, on a

{\text{Vect}\{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_k\}=\text{Vect}\{e_1,\ldots,e_k\}}

, et

{ \left({\varepsilon_k}\mid{e_k}\right)>0}

.
La famille

{(\varepsilon_k)_{1\le k \le n}}

ainsi construite est donc une famille orthonormée.

Illustration du procédé

On illustre le passage d’une famille libre ${e=(e_1,e_2,e_3)}$ à une famille orthonormale ${\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)}$ .

On a conservé les notations de la proposition en ce qui concerne les vecteurs ${u_2}$ et ${u_3}$ .
On a cependant noté ${p(e_2)=\left({\varepsilon_1}\mid{e_2}\right)\varepsilon_1}$ , donc ${u_2=e_2-p(e_2)}$ .
De même, on a noté ${q(e_3)=\left({\varepsilon_1}\mid{e_3}\right)\varepsilon_1+\left({\varepsilon_2}\mid{e_3}\right)\varepsilon_2}$ , donc ${u_3=e_3-q(e_3)}$ .
On voit bien, ce qui sera repris plus tard, que :

${p(e_2)}$ est la “projection orthogonale” de ${e_2}$ sur la droite engendrée par ${\varepsilon_1}$ (donc par ${e_1}$ )

${q(e_3)}$ est la projection orthogonale de ${e_3}$ sur le plan engendré par ${\varepsilon_1,\varepsilon_2}$ (donc par ${e_1,e_2}$ )

Si on se place dans un espace ${E}$ de dimension finie, le résultat ci-dessous découle immédiatement de l’algorithme d’orthonormalisation appliqué à une base quelconque ${e}$ de ${E}$ .

Proposition (existence de bases orthonormales dans un espace euclidien)
Soit

{E}

un espace euclidien (c’est-à-dire un espace préhilbertien réel de dimension finie).
Alors, dans l’espace vectoriel

{E}

, il existe des bases orthonormales.

Proposition (théorème de la base orthonormée incomplète)
Soit

{E}

un espace euclidien de dimension

{n\ge 1}

.
Soit

{\varepsilon=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,\varepsilon_{p})}

une famille orthonormée de

{E}

, avec

{p\lt n}

(donc non génératrice).
Alors on peut compléter

{\varepsilon}

en une base orthonormée

{\varepsilon'=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,\varepsilon_{p},\varepsilon_{p+1},\ldots,\varepsilon_{n})}

{E}

Calculs dans une base orthonormale

Proposition (expressions des coordonnées dans une base orthonormale)
Soit

{E}

un espace euclidien de dimension

{n\ge 1}

.
Soit

{\varepsilon=(\varepsilon_k)_{1\le\,k\,\le\,n}}

une base orthonormale de

{E}

.
Pour tout vecteur

{u}

{E}

, on a :

{u=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({u}\mid{\varepsilon_k}\right)\varepsilon_k}

Tout vecteur ${u}$ de ${E}$ est donc entièrement déterminé par ses produits scalaires sur les vecteurs de ${\varepsilon}$ .
Les applications coordonnées dans la base ${\varepsilon}$ sont les applications ${u\mapsto \left({u}\mid{\varepsilon_k}\right)}$ .

Proposition (expressions du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormale)
Soit

{E}

un espace euclidien de dimension

{n\ge 1}

.
Soit

{\varepsilon=(\varepsilon_k)_{1\le\,k\,\le\,n}}

une base orthonormale de

{E}

.
Pour tous vecteurs

{x=\displaystyle\sum_{k=1}^n\,x_k\,\varepsilon_k}

{y=\displaystyle\sum_{k=1}^n\,y_k\,\varepsilon_k}

, on a :

{\left(x \mid y\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\,x_k\,y_k\ \;\text{et}\;\ \left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\,x_k^2}

Expression matricielle du produit scalaire dans une base orthonormale

Soit ${\varepsilon=(\varepsilon_k)_{1\le\,k\,\le\,n}}$ une base orthonormale de ${E}$ .

Notons ${X,Y}$ les matrices-colonnes des coordonnées de ${x,y}$ dans ${\varepsilon}$ . Alors ${\left(x \mid y\right)={X}^{\top}Y}$ ,.

Expression matricielle du produit scalaire dans une base quelconque

Si la base ${\varepsilon}$ de ${E}$ est quelconque, alors on a seulement : ${\left(x \mid y\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{n}\,x_j\,y_k\left({\varepsilon_{j}}\mid{\varepsilon_{k}}\right)}$
On peut alors écrire : ${\left(x \mid y\right)={X}^{\top}GY}$ , où ${G}$ est la matrice des ${\left({\varepsilon_{i}}\mid{\varepsilon_{j}}\right)}$ , pour ${1\le i,j\le n}$ .

Matrice d’une famille de vecteurs dans une base orthonormale

Soit ${\varepsilon=(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}$ une base orthormée de ${E}$ , et soit ${v=(v_{j})_{1\le j\le n}}$ une famille de ${n}$ vecteurs de ${E}$ .

Soit ${A=(a_{i,j})}$ la matrice de la famille ${v}$ dans la base ${\varepsilon}$ . Alors ${a_{i,j}=\left({\varepsilon_{i}}\mid{v_{j}}\right)}$ pour tous ${i,j}$ .

Si on note ${\varepsilon}$ la base orthonormée obtenue à partir d’une base quelconque ${e}$ de ${E}$ par l’algorithme de Schmidt, alors les matrices de passage ${P_{e,\varepsilon}}$ (de ${e}$ à ${\varepsilon}$ ) et ${P_{\varepsilon,e}}$ (de ${\varepsilon}$ à ${e}$ , inverse de la matrice précédente) sont triangulaires supérieures avec coefficients diagonaux strictement positifs.

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