Matrices orthogonales

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Matrices orthogonales

Remarque préliminaire :

Soit {M} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}, de colonnes {C_1,\ldots,C_n}.
Alors le terme général de {A={M}^{\top}M} est {a_{ij}={C_i}^{\top}\,C_j}.

Définition (matrices orthogonales)
Soit {M} une matrice de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Les conditions suivantes sont équivalentes :
— la matrice {M} vérifie {{M}^{\top}M=\text{I}_n}.
— la matrice {M} est inversible et {M^{\,-1}={M}^{\top}}.
— les vecteurs-colonne de {M} forment une famille orthonormale.
Si ces conditions sont réalisées, on dit que {M} est une matrice orthogonale.

Remarques et exemples

Si {M} est une matrice orthogonale, il en est de même de {{M}^{\top}} (car {{M}^{\top}=M^{-1}}).

Une matrice {M} est donc orthogonale si et seulement si ses lignes forment une famille orthonormale.

Les matrices {R(\,\theta)=\begin{pmatrix}\cos \,\theta&-\sin\,\theta\cr \sin\,\theta&\cos\,\theta\end{pmatrix}}et {S(\,\theta)=\begin{pmatrix}\cos \,\theta&\sin\,\theta\cr \sin\,\theta&-\cos\,\theta\end{pmatrix}}sont orthogonales.

On verra plus loin que ce sont les seules les matrices orthogonales d’ordre {2}.

La matrice {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&1\cr 1&-2&2\cr 2&-1&-2\end{pmatrix}} est orthogonale.

Il en est de même de {M=\begin{pmatrix}\cos\,\theta\cos\varphi &-\sin\,\theta & \cos\,\theta\sin\varphi\cr \sin\,\theta\cos\varphi& \cos\,\theta & \sin\,\theta\sin\varphi\cr \sin\varphi & 0 &-\cos\varphi\end{pmatrix}}.

Proposition (le groupe orthogonal O(n))
On note {O(n)} ou {O_{n}(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre {n}.
C’est un groupe pour le produit des matrices (donc un sous-groupe de {GL(n,\mathbb{R})}).
On l’appelle le groupe orthogonal d’indice {n}.
Proposition (lien entre base orthonormale, isométrie et matrice orthogonale)
Soit {M} la matrice d’un endomorphisme {f} dans une base orthonormale de l’espace euclidien {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • l’application {f} est un automorphisme orthogonal de {E} (c’est-à-dire un élément du groupe {O(E)}).
  • la matrice {M} est une matrice orthogonale (c’est-à-dire un élément du groupe {O(n)}).

On peut interpréter la proposition précédente en disant que les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes orthogonaux dans les bases orthonormales.

Si on se place dans {\mathbb{R}^{n}} (avec son produit scalaire canonique), une matrice {M} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} est orthogonale si et seulement si l’endomorphisme {f} canoniquement associé à {M} est une isométrie vectorielle.

Proposition (matrices de passage entre bases orthonormales)
Soit {E} un espace euclidien, muni d’une base orthonormale {e=(e_i)_{1\le\,i\,\le\,n}}.
Soit {\varepsilon=(\varepsilon_j)_{1\le\,j\,\le\,n}} une famille de {n} vecteurs, et soit {M} la matrice de la famille {\varepsilon} dans la base {e}.
Alors la famille {\varepsilon} est une base orthonormale de {E} si et seulement si {M} est orthogonale.

Les matrices orthogonales sont donc les matrices de passage entre bases orthonormales.

Matrices orthogonales positives ou négatives

Proposition (déterminant d'une matrice orthogonale)
Si {M} est une matrice orthogonale, alors {\det M} est égal à {1} ou à {-1}.

Attention la réciproque est fausse!! Considérer par exemple la matrice {M=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.

Définition (matrices orthogonales positives ou négatives)
Soit {M} une matrice orthogonale d’ordre {n}.
Si {\det(M)=1}, on dit que {M} est une matrice orthogonale positive.
Si {\det(M)=-1}, on dit que {M} est une matrice orthogonale négative.

Remarques

Si on échange deux colonnes (ou deux lignes) d’une matrice orthogonale positive, on obtient une matrice orthogonale négative (et réciproquement).
C’est la même chose si on remplace une colonne (ou une ligne) par son opposée.

Il existe des matrices orthogonales positives (considérer par exemple {I_{n}}).
Il existe des matrices orthogonales négatives (changer un coefficient diagonal de {I_{n}} en {-1}).

Pour {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, on sait que {\det(-M)=(-1)^{n}\det(M)} : il en résulte que si {M} est orthogonale, les matrices {M} et {-M} ont la même “orientation” si {n} est pair, et sont d’orientation contraire sinon.

Comatrice d’une matrice orthogonale

Si {M} appartient à {O(n)} alors {\text{Com}(M)=\varepsilon M}, avec {\varepsilon=\det(M)=\pm1}.
En comparant un coefficient non nul de {M} avec son cofacteur, on peut donc déterminer {\varepsilon}.

Considérons par exemple la matrice {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&1\cr 1&-2&2\cr 2&-1&-2\end{pmatrix}}, qui est élément de {O(3)}.
Le coefficient {m_{11}=\dfrac23} et son cofacteur égaux. On est donc certain que {\det(M)=1}.

Proposition (le groupe spécial orthogonal SO(n))
On note {SO(n)}, ou {SO_{n}(\mathbb{R})}, l’ensemble des matrices orthogonales positives d’ordre {n}.
L’ensemble {SO(n)} est un sous-groupe de {O(n)}, appelé groupe spécial orthogonal d’indice {n}.

L’ensemble des matrices orthogonales négatives (le complémentaire de {SO(n)} dans {O(n)}) n’est pas un groupe : non seulement il ne contient pas le neutre {I_{n}}, mais il n’est pas stable : en effet si {M} et {N} sont orthogonales négatives, alors {MN} est orthogonale positive.

En revanche, l’inverse d’une matrice orthogonale négative est encore orthogonale négative.

La matrice {I_{n}} est orthogonale positive, alors que {-I_{n}} n’est dans {SO(n)} que si {n} est pair.

Isométries positives, négatives

Définition (isométries positives ou négatives)
Si {f} est une isométrie vectorielle de {E}, alors {\det(f)} est égal à {1} ou à {-1}.
Si {\det(f)=1}, on dit que {f} est une isométrie positive.
Si {\det(f)=-1}, on dit que {f} est une isométrie négative.
Proposition (le groupe spécial orthogonal d'un espace euclidien)
Soit {E} un espace euclidien. On note {SO(E)} l’ensemble des isométries positives de {E}.
L’ensemble {SO(E)} est un sous-groupe de {O(E)}, appelé groupe spécial orthogonal de {E}.

Remarques

L’application {\text{Id}} est dans {SO(E)}.
Mais {-\text{Id}} est dans {SO(E)} si et seulement si {\dim(E)} est paire.

La réflexion {s} par rapport à un hyperplan est toujours un automorphisme orthogonal négatif.

Un demi-tour de {E} est une isométrie positive si {\dim(E)} est impaire, et négative sinon.

Proposition (isométries positives ou négatives dans un espace orienté)
Soit {f} une isométrie vectorielle d’un espace euclidien orienté {E}.
Soit {e} une base orthonormée de {E}. On sait que {f} transforme {e} en une base orthonormée {\varepsilon}.
Si {f} est une isométrie positive, alors les bases {e} et {\varepsilon} ont la même orientation.
Si {f} est une isométrie négative, alors les bases {e} et {\varepsilon} sont d’orientation contraire.

Ainsi les isométries positives conservent l’orientation, alors que les isométries négatives l’inversent.

Proposition (conservation du produit mixte par une isométrie positive)
Soit {f} une isométrie vectorielle positive d’un espace euclidien orienté {E}.
Alors pour tous vecteurs {u_1,u_2,\ldots,u_n} de {E}, on a : {[f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)]=[u_1,u_2,\ldots,u_n]}

On peut donc dire que les isométries vectorielles positives conservent le produit mixte (donc l’aire orientée en dimension {2}, et le volume orienté en dimension {3}).

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