Isométries vectorielles

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Isométries vectorielles

Définition (isométries vectorielles, automorphismes orthogonaux)
Soit {E} un espace euclidien. Soit {f} une application de {E} dans lui-même.
On dit que {f} est une isométrie vectorielle (ou encore : un automorphisme orthogonal) si {f} est linéaire et si elle “conserve la norme”, c’est-à-dire si : {\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\left\|u\right\|}.

Les expressions “automorphisme orthogonal” et “isométrie vectorielle” sont donc synonymes.
Toute isométrie vectorielle {f} de {E} est effectivement un automorphisme de {E}.

Soit {f} un automorphisme orthogonal et soit {u} un vecteur non nul de {E} : s’il existe un réel {\lambda} tel que {f(u)=\lambda u}, alors nécessairement {\lambda} est dans {\{-1,1\}}.

Proposition (caractérisation des isométries vectorielles)
Soit {f} un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien {E}.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • {f} est une isométrie vectorielle (c’est-à-dire elle conserve la norme).
  • {f} conserve le produit scalaire : {\forall\, (x,y)\in E^2,\;\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left(x \mid y\right)}.
  • {f} transforme toute base orthonormale de {E} en une base orthonormale de {E}.
  • {f} transforme une base orthonormale de {E} en une base orthonormale de {E}.

Le groupe orthogonal

Les applications {\text{Id}} et {-\text{Id}} sont des automorphismes orthogonaux de {E}.
Le composé de deux automorphismes orthogonaux de {E} est un automorphisme orthogonal de {E}.
Enfin, si {f} est un automorphisme orthogonal alors {f^{-1}} est un automorphisme orthogonal.

On peut résumer ces propriétés de la façon suivante :

Proposition (groupe orthogonal d'un espace euclidien)
Soit {E} un espace euclidien. On note {O(E)} l’ensemble des automorphismes orthogonaux de {E}.
Alors {O(E)} est un groupe pour la composition des applications, appelé groupe orthogonal de {E}.

Symétries vectorielles orthogonales

Définition (symétries vectorielles orthogonales d'un espace euclidien)
Soit {E} un espace euclidien, et soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
La symétrie par rapport à {F} parallèlement à {F^\bot} est appelée symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Si {F} est un hyperplan, on dit que {f} est la réflexion par rapport à {F}.
Si {F} est une droite, on dit que {f} est le demi-tour (ou retournement) d’axe {F}.

Si {s} est la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à {F}, {-s} est celle par rapport à {F^\bot}.

Subtilités de terminologie

Soit {E} un espace euclidien. Soit {s} une application linéaire involutive de {E}, c’est-à-dire telle que {s^{2}=\text{Id}}.
On sait que {s} est la symétrie vectorielle de {E} par rapport à {F=\text{Inv}(f)} parallèlement à {G=\text{Opp}(f)}.

Alors {s} est une symétrie vectorielle orthogonale (c’est-à-dire {G=F^{\bot}}) si et seulement si {s} est un automorphisme orthogonal (c’est-à-dire conserve la norme).

En revanche, une projection orthogonale {p} n’est pas un automorphisme orthogonal, sauf si {p=\text{Id}_{E}}.

Illustration en dimension {3}

Sur la figure ci-dessous, on se place dans un espace euclidien de dimension {3}.
La droite {D} et le plan {P} sont orthogonaux. La droite {D} est dirigée par le vecteur unitaire {k}.
On a représenté la réflexion {s} par rapport au plan vectoriel {P} et la projection orthogonale {p} sur {P}.
On a {p(u)=u-\left(u\mid k\right)k}, et {s(u)=u-2\left(u\mid k\right)k}.
L’application {-s} est la symétrie orthogonale par rapport à {D}.

Proposition (matrice d'une symétrie vectorielle orthogonale dans une base orthonormée)
Soit {E} un espace euclidien, et soit {s} une symétrie vectorielle orthogonale de {E}.
Alors on a l’égalité {\left({s(u)}\mid{v}\right)=\left({u}\mid{s(v)}\right)} pour tous vecteurs {u} et {v}.
Il en résulte que la matrice de {s} dans toute base orthonormale est symétrique.

Réflexion échangeant deux vecteurs de même norme

Soit {E} un espace vectoriel euclidien.
Soit {a,b} deux vecteurs distincts non nuls, tels que {\left\|{a}\right\|=\left\|b\right\|}.
Alors il existe une unique réflexion vectorielle qui échange {a} et {b}.
Cette application est la réflexion par rapport à l’hyperplan vectoriel {P}orthogonal au vecteur {a-b}.

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