Isométries en dimension 2

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Matrices orthogonales de taille 2

Proposition (matrices orthogonales d'ordre 2)
Les matrices orthogonales positives d’ordre {2} sont les matrices {R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\cr\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\text{\ avec\ }\theta\in\mathbb{R}}
Les matrices orthogonales négatives d’ordre {2} sont les matrices {S(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\cr\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}\text{\ avec\ }\theta\in\mathbb{R}}

Propriétés des matrices orthogonales positives d’ordre {2}

Pour tous réels {\theta} et {\varphi}, on a : {R(\theta)R(\varphi)=R(\varphi)R(\theta)=R(\theta+\varphi)}.
Il en découle que le groupe {SO(2)} est commutatif (c’est faux pour {SO(n)} si {n\ge3}).

On a {R(0)=I_2} et, pour tout réel {\theta} : {R(\theta)^{-1}=R(-\theta)}.
Pour tous réels {\theta} et {\varphi}, on a : {R(\theta)=R(\varphi)\Leftrightarrow\theta\equiv\varphi~[2\pi]}.

Propriétés des matrices orthogonales négatives d’ordre {2}

Pour tous réels {\theta} et {\varphi}, on a : {S(\theta)S(\varphi)=R(\theta-\varphi)}.

Pour tout réel {\theta}, on a {S(\theta)^{-1}={S(\theta)}^{\top}=S(\theta)}.
Toutes les matrices orthogonales négatives d’ordre {2} sont donc des matrices de symétrie.
Les automorphismes orthogonaux négatifs d’un plan sont des symétries orthogonales (à suivre…).

Angle de rotations et de vecteurs du plan

Proposition (angle d'une rotation dans le plan euclidien orienté)
Soit {E_2} un plan euclidien orienté, et soit {r} une isométrie vectorielle positive de {E_{2}}.
Il existe un réel {\theta} (défini modulo {2\pi}) vérifiant la propriété suivante : La matrice de {r} dans toute base orthonormale directe est égale à {R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\cr\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}}.
On dit alors que {r} est la rotation d’angle {\theta}, et on note {r=r(\theta)}.

On a en particulier {r(0)=\text{Id}} et {r(\pi)=-\text{Id}} (et ce sont les seules rotations involutives).
Dans {E_{2}}, les expressions “isométries vectorielles positives” et “rotations vectorielles” sont synonymes.

Remarques et propriétés

  • La rotation inverse de {r(\theta)} est {r(-\theta)}. Pour tous réels {\theta} et {\varphi}, on a : {r(\theta)r(\varphi)=r(\varphi)r(\theta)=r(\theta+\varphi)}
    Le groupe {SO(E_2)} est donc commutatif.

  • La matrice de la rotation {r(\theta)} dans toute base orthonormale indirecte est {R(-\theta)}.
    Si on inverse l’orientation de {E_2}, la mesure d’une rotation est donc changée en son opposée.
  • Si {r=r(\theta)}, avec {\theta\ne0~[2\pi]}, alors le seul vecteur invariant de {r} est {0}.

  • Si {r=r\bigl(\dfrac{\pi}{2}\bigr)}, et si {e_{1},e_{2}} forment une base orthonormale directe, alors {\begin{cases}r(e_{1})=e_{2}\\ r(e_{2})=-e_{1}\end{cases}}
Proposition (mesure de l'angle orienté de deux vecteurs unitaires)
Soit {E_2} un plan vectoriel euclidien orienté, et soit {u,v} deux vecteurs unitaires de {E_2}.
Il existe une et une seule rotation {r=r(\theta)} telle que {r(u)=v}.
On note {\widehat{(u,v)}=\theta~[2\pi]}, et on dit que {\theta}est une mesure (modulo {2\pi}) de l’angle orienté {\widehat{(u,v)}}.

La figure ci-dessous illustre cette propriété. La base {e_1,e_2}, orthonormale directe, n’est là que pour visualiser l’orientation positive choisie dans le plan. Tous les vecteurs considérés ici sont unitaires.
Il existe bien une unique rotation vectorielle {r=r(\theta)} telle que {v=r(u)}.
On commet souvent l’erreur de croire qu’il y a deux rotations transformant {u} en {v} (l’une “tournant” dans un sens, la deuxième tournant dans l’autre) ou même une infinité (selon le “nombre de tours effectués”).

La rotation {r} n’est qu’une application : seul compte où se trouve l’image {v} d’un vecteur {u}, et pas la manière dont on “passe” de {u} à {v}. L’erreur évoquée vient de la confusion entre la rotation {r} et les différentes mesures de son angle.
On se rend compte de l’unicité de la rotation {r} transformant {u} en {v}en se donnant un autre vecteur unitaire {u'}. La condition {v=r(u)} détermine en effet le vecteur {v'=r(u')} de manière unique.

Définition (mesure de l'angle orienté de deux vecteurs non nuls)
Dans un plan euclidien orienté {E_{2}}, soit {u,v} deux vecteurs non nuls.
On appelle mesure de l’angle orienté {\widehat{(u,v)}} la mesure {\theta} de l’angle orienté {\widehat{\Bigl(\dfrac{u}{\left\|u\right\|},\dfrac{v}{\left\|v\right\|}\Bigr)}}.
On note alors {\widehat{(u,v)}=\theta~[2\pi]}.
Proposition (calcul d'une mesure de l'angle orienté de deux vecteurs non nuls)
Soit {u,v} deux vecteurs non nuls dans un plan euclidien orienté {E_{2}}.
Une mesure {\theta} de l’angle {\widehat{(u,v)}} est donnée par : {\cos\theta=\dfrac{\left(u \mid v\right)}{\left\|u\right\|\left\|v\right\|}}, et {\sin\theta=\dfrac{[u,v]}{\left\|u\right\|\left\|v\right\|}}.

Rappel : {[u,v]} est le produit mixte de {u} et {v} (leur déterminant dans toute base orthonormale directe).

Classification des isométries d’un plan euclidien orienté

Proposition (automorphismes orthogonaux négatifs de E2)
On se place dans un plan euclidien orienté {E_{2}}, rapporté une base orthonormale directe {e=(e_{1},e_{2})}.
Soit {s} une isométrie négative de {E_{2}}. Soit {S(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\cr \sin\theta& -\cos\theta\end{pmatrix}} la matrice de {s} dans la base {e}.
Alors {s} est la réflexion par rapport à la droite dirigée par le vecteur {u=\cos\Bigl(\dfrac\theta2\Bigr)e_{1}+\sin\Bigl(\dfrac\theta2\Bigr)e_{2}}.

Classification des isométries d’un plan euclidien orienté {E_{2}}

Les isométries positives de {E_{2}} sont les rotations vectorielles.

Les isométries négatives de {E_{2}} sont les réflexions par rapport à des droites vectorielles.

Le fait que {E_2} soit orienté n’intervient pas dans cette classification, mais dans la possibilité de mesurer l’angle d’une rotation et l’angle polaire de l’axe d’une réflexion.

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