Hyperplans affines d’un espace euclidien

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Vecteur normal à un hyperplan d’un espace euclidien

Définition (vecteur normal à un hyperplan affine)
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}, de direction un hyperplan vectoriel {H}.
On appelle vecteur normal à {\mathcal{H}} tout vecteur non nul de la droite vectorielle {D=H^{\bot}}.
Proposition (caractérisation d'un hyperplan par un point et un vecteur normal)
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}. Soit {\overrightarrow{n}} un vecteur normal à {\mathcal{H}}.
Soit {A} un point de {\mathcal{H}}. Alors on a l’équivalence : {M\in\mathcal{H}\Leftrightarrow \left({\overrightarrow{A M}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)=0}.

Un hyperplan affine {\mathcal{H}} est donc déterminé par la donnée d’un point {\Omega} et d’un vecteur normal {\overrightarrow{n}}.

Proposition
Soit {\overrightarrow{n}} un vecteur non nul d’un espace euclidien {E}. Soit {A} un point quelconque de {E}.
On considère l’application {f} définie sur {E} par {f(M)=\left({\overrightarrow{AM}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)}.
On appelle lignes de niveau de {f} les ensembles {\mathcal{H}_{\lambda}=\{M\in E,\;f(M)=\lambda\}}.
Les lignes de niveau de {f} sont les hyperplans affines de vecteur normal {\overrightarrow{n}}.
En particulier {\mathcal{H}_{0}} est l’hyperplan de vecteur normal {\overrightarrow{n}} et qui passe par {A}.

Équations d’un hyperplan dans une base orthonormale

Proposition (normale et équations d'un hyperplan affine)
Soit {E} un espace euclidien muni d’une base orthonormée {e}.
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine de {E}, de direction {H}, et soit {\overrightarrow{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\alpha_ke_k} un vecteur non nul de {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • le vecteur {\overrightarrow{n}} est normal à l’hyperplan vectoriel {H} (à l’hyperplan affine {\mathcal{H}}).
  • une équation de {H} est {\left(a\mid u\right)=0}, c’est-à-dire {\displaystyle\sum_{k=1}^na_kx_k=0}.
  • une équation de {\mathcal{H}} est {\left(a\mid u\right)=\lambda}, avec {\lambda} réel, c’est-à-dire {\displaystyle\sum_{k=1}^na_kx_k=\lambda}.

Exemples dans {\mathbb{R}^{2}}

On se place dans l’espace euclidien {\mathbb{R}^{2}}, avec son produit scalaire canonique.

  • La normale à la droite vectorielle d’équation {2x+5y=0} est dirigée par {\overrightarrow{n}=(2,5)}.
    Soit {\mathcal{D}} la droite affine orthogonale au vecteur {\overrightarrow{n}=(2,5)} et passant par {\Omega(4,1)}.
    La droite {\mathcal{D}} a pour équation {2(x-4)+5(y-1)=0}, donc {2x+5y=13}.
  • Soit {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} deux droites affines de {\mathbb{R}^{2}}, de directions respectives {D} et {D'}.
    On dit que {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} sont perpendiculaires si {D^\bot= D'}, c’est-à-dire si la direction de chaque droite affine est le supplémentaire orthogonal de la direction de l’autre.
    Cela équivaut aussi à dire que les vecteurs normaux à {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} sont orthogonaux.
    Supposons que les équations de {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} soient {\begin{cases}a x+b y=\lambda\\a'x+b'y=\mu\end{cases}}

    Alors les droites affines {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} sont perpendiculaires si et seulement si {aa'+bb'=0}.

Exemples dans {\mathbb{R}^{3}}

On se place dans l’espace euclidien {\mathbb{R}^{3}}, avec son produit scalaire canonique.

  • La normale au plan vectoriel d’équation {2x+5y-3z=0} est dirigée par {\overrightarrow{n}=(2,5,-3)}.
    Soit {\mathcal{P}} le plan affine orthogonal au vecteur {\overrightarrow{n}=(1,3,-2)} et passant par {\Omega(4,-5,-7)}.
    Le plan {\mathcal{P}} a pour équation {(x-4)+3(y+5)-2(z+7)=0}, donc {x+3y-2z=3}.
  • Soit {\mathcal{P}} et {\mathcal{P}'} deux plans affines de {\mathbb{R}^{3}}, de directions {P} et {P'}.
    On dit que {\mathcal{P}} et {\mathcal{P}'} sont perpendiculaires si {P^\bot\subset P'}, c’est-à-dire si {(P')^\bot\subset P}.
    Cela signifie que la direction de chacun des deux plans contient un vecteur normal à l’autre.
    Cela équivaut aussi à dire que leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
    Supposons que les équations de {\mathcal{P}} et {\mathcal{P}'} soient {\begin{cases}ax+by+cz=\lambda\\a'x+b'y+c'z=\lambda'\end{cases}}

    Alors {\mathcal{P}} et {\mathcal{P}'} sont perpendiculaires si et seulement si {aa'+bb'+cc'=0}.

    Sur la figure ci-dessous, on a représenté deux plans affines {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_{2}}.
    Ces plans se coupent suivant une droite affine {\Delta}. Soit {\Omega} un point de {\Delta}.
    Puisque la droite {\mathcal{D}_1} passant par {\Omega} et orthogonale à {\mathcal{P}_{2}} est dans {\mathcal{P}_1}, les plans {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_{2}} sont perpendiculaires. De même, la droite {\mathcal{D}_{2}} passant par le point {\Omega} et orthogonale au plan affine {\mathcal{P}_1} est dans le plan affine {\mathcal{P}_{2}}.

Calcul de la distance à un hyperplan affine

Proposition (distance d'un point à un hyperplan affine)
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}.
Soit {A} un point de {\mathcal{H}}, et soit {\overrightarrow{n}} un vecteur normal unitaire à {\mathcal{H}}.
Pour tout point {M} de {E}, on a : {d(M,\mathcal{H})=\big|\left({\overrightarrow{AM}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)\big|}.

Si {\overrightarrow{n}} n’est pas unitaire, la distance de {M} à {\mathcal{H}} s’écrit : {d(M,\mathcal{H})=\dfrac{1}{\|\overrightarrow{n}\|}\left|{\left(\overrightarrow{AM}\mid\overrightarrow{n}\right)}\right|}

Cas particulier : distance à une droite affine dans {\mathbb{R}^{2}}

On se place dans l’espace euclidien {\mathbb{R}^{2}}, avec son produit scalaire canonique.
Soit {\mathcal{D}} une droite affine d’équation {ax+by=h}. Soit {M(x_{0},y_{0})} un point quelconque.
Alors la distance du point {M} à la droite {\mathcal{D}} est donnée par : {d(M,\mathcal{D})=\dfrac{\left|{ax_{0}+by_{0}-h}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}.

Cas particulier : distance à un plan affine dans {\mathbb{R}^{3}}

On se place dans l’espace euclidien {\mathbb{R}^{3}}, avec son produit scalaire canonique.

Soit {\mathcal{P}} un plan affine d’équation {ax+by+cz=h}. Soit {M(x_{0},y_{0},z_{0})} un point quelconque.

Alors la distance du point {M} au plan {\mathcal{P}} est donnée par : {d(M,\mathcal{P})=\dfrac{\left|{ax_{0}+by_{0}+cz_{0}-h}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.

Distance à une droite affine dans {\mathbb{R}^{3}}

On se place dans {\mathbb{R}^{3}}, avec son produit scalaire et son orientation canoniques.
Soit {\mathcal{D}} une droite affine, passant par un point {A} et dirigée par un vecteur unitaire {u}.
Alors la distance du point {M} à la droite {\mathcal{D}} est donnée par : {d(M,\mathcal{D})=\|\overrightarrow{A M}\wedge u \|}.

Si {\mathcal{D}} est l’intersection de plans perpendiculaires {\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2}, alors :{d(M,\mathcal{D})^2=d(M,\mathcal{P}_1)^2+d(M,\mathcal{P}_2)^2}

Orientation d’un hyperplan par un vecteur normal

Proposition (orientation d'un hyperplan affine par un vecteur normal)
Soit {E} un espace euclidien orienté de dimension {n}.
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine, de direction {H}, et soit {\overrightarrow{n}} un vecteur normal à {\mathcal{H}}.
On oriente la droite {D=H^{\bot}} par la donnée du vecteur {\overrightarrow{n}}.
On en déduit une orientation de {H} (donc de {\mathcal{H}}) : une base orthonormale {e=(e_1,\ldots,e_{n-1})} de {H} est dite directe si {(e_1,\ldots,e_{n-1},e_n)} est une base orthonormale directe de {E}.

Si on inverse l’orientation de {D} (en choisissant {-\overrightarrow{n}} plutôt que {\overrightarrow{n}}), celle de {\mathcal{H}} s’en trouve inversée.

Illustration en dimension {3}

Sur la figure ci-dessous, on suppose {\dim E=3}.
La droite {\mathcal{D}} est la normale en {\Omega} au plan affine {\mathcal{P}}. On oriente {\mathcal{D}} par le choix de {e_3} unitaire.
Il en découle une orientation positive du plan {\mathcal{P}} : le repère orthonormal {(\Omega,e_1,e_2)} de {\mathcal{P}} est direct dans le plan {\mathcal{P}} si et seulement si le repère orthonormal {(\Omega,e_1,e_2,e_3)} est direct dans l’espace {E}.

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