Variables aléatoires

Plan du chapitre "Probabilités"

Variable aléatoire sur {\Omega}

Définition (variable aléatoire sur Ω)
Soit {\Omega} un univers fini. Soit {E} un ensemble.
Toute application {\text{X}\colon\Omega\to E} est appelée une variable aléatoire.
Si {E=\mathbb{R}}, on dit que {X} est une variable aléatoire réelle.

Remarque :

La définition d’une variable aléatoire ne nécessite pas la connaissance d’une probabilité {\mathbb{P}}.
En revanche, si {\text{X}} est une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini {(\Omega,\mathbb{P})}, on sera intéressé à la connaissance des probabilités des événements {(\text{X}=x)} (à suivre…).

Définition (variable indicatrice d'un événement)
Soit {\Omega} un univers fini. Soit {A} un événement.
On appelle indicatrice de l’événement {A} la variable aléatoire réelle {\chi_{A}} définie par {\forall\, \omega\in A,\; \chi_{A}(\omega)=1,\;\text{et}\;\forall\, \omega\notin A,\; \chi_{A}(\omega)=0}
Proposition (événements liés à une variable aléatoire)
Soit {\text{X}:\Omega\to E} une variable aléatoire sur {\Omega}.
Soit {x} un élément de {E}, et soit {U} une partie de {E}.
L’événement {\text{X}^{-1}(\{x\})=\{\omega\in\Omega,\;\text{X}(\omega)= x\}} est noté {(X=x)}.
L’événement {\text{X}^{-1}(U)=\{\omega\in\Omega,\;\text{X}(\omega)\in U\}} est noté {(X\in U)}.

Remarque :

Soit {\text{X}} une variable aléatoire réelle sur {\Omega}.
On considère souvent les événements notés {(\text{X}\le a)}, {(a\le \text{X}\le b)}, {(\text{X}>a)}, etc.

Loi et fonction de répartition d’une variable aléatoire

Définition (loi d'une variable aléatoire, première définition)
Soit {(\Omega,\mathbb{P})} un espace probabilisé fini. Soit {\text{X}:\Omega\to E} une variable aléatoire.
L’ensemble fini {\text{X}(\Omega)} peut-être considéré comme un nouvel univers.
L’application {\mathbb{P}_{\text{X}}} définie par : {\forall\, A\subset \text{X}(\Omega),\;\mathbb{P}_{\text{X}}(A)=\mathbb{P}(\text{X}\in A)} est une probabilité sur {\text{X}(\Omega)}.
Cette probabilité est appelée loi de la variable aléatoire {\text{X}}.
Définition (loi d'une variable aléatoire, deuxième définition)
Soit {(\Omega,\mathbb{P})} un espace probabilisé fini. Soit {\text{X}:\Omega\to E} une variable aléatoire.
Posons {\text{X}(\Omega)=\{x_{i},\;0\le i\le n\}}, les {x_{i}} étant ici distincts deux à deux.
Les événements {(\text{X}=x_{i})} constituent alors un système complet d’événements.
La loi de {\text{X}} est la donnée des probabilités {p_{i}=\mathbb{P}(\text{X}=x_{i})}. On a bien sûr {\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_{i}=1}.

Équivalence des deux définitions

Les deux définitions précédentes sont deux façons équivalentes de se donner la loi de {\text{X}}.

  • En effet, si on se donne la loi de {\text{X}} au sens de la première définition, on se donne également les probabilités {p_{i}=\mathbb{P}(\text{X}=x_{i})} (considérer les singletons {A=\{x_{i}\}} de {\text{X}(\Omega)}).
  • Réciproquement, si on se donne les probabilités {p_{i}=\mathbb{P}(\text{X}=x_{i})} pour chacun des {x_{i}} de {\text{X}(\Omega)}), alors on connaît la probabilité {\mathbb{P}(\text{X}\in A)} pour chaque partie {A} de {\text{X}(\Omega)}.
    Il suffit en effet d’écrire {\mathbb{P}(A)=\displaystyle\sum_{x_{i}\in A}\mathbb{P}(\text{X}=x_{i})} (somme finie).
Définition (fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle)
Soit {(\Omega,\mathbb{P})} un espace probabilisé fini, et soit {\text{X}:\Omega\to \mathbb{R}} une variable aléatoire réelle.
Pour tout {x\in\mathbb{R}}, on pose {\text{F}_{\text{X}}(x)=\mathbb{P}(\text{X}\le x)}.
La fonction {\text{F}_{\text{X}}:\mathbb{R}\to[0,1]} est appelée fonction de répartition de {\text{X}}.
Proposition (croissance et limites en ±∞ d'une fonction de répartition)
Soit {\text{F}_{\text{X}}} la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle {\text{X}}.
Alors la fonction {\text{F}_{\text{X}}} est croissante sur {\mathbb{R}}.
Pour tout {x\lt \min(X(\Omega))}, on a {F_X(x)=0}.
Pour tout {x\ge \max(X(\Omega))}, on a {F_X(x)=1}.
Démonstration
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{\vartriangleright} Remarques

Soit {X} une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini {(\Omega,\mathbb{P})}.

On note {\text{X}(\Omega) =\{x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\}}, avec {x_{0}\lt x_{1}\lt \cdots\lt x_{n}}.

  • La fonction de répartition {\text{F}_{\text{X}}} est en escaliers sur {\mathbb{R}}.
    Plus précisément {\forall\, x\lt x_{0},\;\text{F}_{\text{X}}(x)=0,\;\text{et}\;\forall\, x\ge x_{n},\;\text{F}_{\text{X}}(x)=1}, et :{\text{F}_{\text{X}}(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^{k}\mathbb{P}(\text{X}=x_{j})\text{\ sur\ }[x_{k},x_{k+1}[\text{\ avec\ }k\in [[ 0,n[[}
    Inversement {\mathbb{P}(x_{0})=\text{F}_{\text{X}}(x_{0})} et : {\forall\, k\in[[ 1,n]],\;\mathbb{P}(\text{X}=x_{k})=\text{F}_{\text{X}}(x_{k})-\text{F}_{\text{X}}(x_{k-1})}.
    Cette égalité permet donc de retrouver la loi de {\text{X}} à partir de sa fonction de répartition.

    La fonction {\text{F}_{\text{X}}} est discontinue en chaque point {x_{k}}{\mathbb{P}(\text{X}=x_{k})>0}, et la valeur de {\mathbb{P}(\text{X}=x_{k})} est alors le “saut de discontinuité” de la fonction {\text{F}_{\text{X}}} en ce point.

  • Pour {a\lt b} on a : {\begin{cases}\mathbb{P}(\text{X}>a)=1-\text{F}_{\text{X}}(a)\\\text{F}_{\text{X}}(b)-\text{F}_{\text{X}}(a)=\mathbb{P}(a\lt \text{X}\le b)\end{cases}} 

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{\vartriangleright} Image d’une variable aléatoire par une fonction

Proposition
Soit {\text{X}:\Omega\to E} une variable aléatoire sur {\Omega}.
Soit {\varphi} une fonction définie sur {E} (en tout cas sur {\text{X}(\Omega)}) et à valeurs dans un ensemble {F}.
La fonction {\text{Y}=\varphi\circ \text{X}} (par convention notée {\varphi(\text{X})}) est donc une variable aléatoire sur {\Omega}.

On sait que la loi {\mathbb{P}_{\text{Y}}} de {\text{Y}} est une probabilité sur {\text{Y}(\Omega)}.

Pour tout {B\subset \text{Y}(\Omega)}, on a : {\begin{array}{rl}\mathbb{P}_{\text{Y}}(B)&=\mathbb{P}(\text{Y}\in B)=\mathbb{P}(\varphi(\text{X})\in B)\\\\&=\mathbb{P}(\text{X}\in\varphi^{-1}(B))=\mathbb{P}_{\text{X}}(\varphi^{-1}(B))\end{array}}
En particulier : {\forall\, y_{n}\in \text{Y}(\Omega),\;\mathbb{P}(\text{Y}=y_{n})=\displaystyle\sum_{\varphi(x_{k})=y_{n}}\mathbb{P}(\text{X}=x_{k})}.

Les cas usuels de fonctions d’une variable aléatoire sont {\text{Y}=a\text{X}+b}, {\text{Y}=\text{X}^{2}}, {\text{Y}=\left|\text{X}\right|}, etc.

Si {\text{Y}=\text{X}^{2}}, par exemple, on écrira : {\forall\, a\in\mathbb{R}^{+*},\ \mathbb{P}(\text{Y}=a)=\mathbb{P}(\text{X}=\sqrt{a})+\mathbb{P}(\text{X}=-\sqrt{a})}

Trois lois usuelles

Dans les exemples qui suivent, on considère une variable aléatoire réelle {\text{X}} attachée à une expérience aléatoire dont on note {\Omega} l’univers fini.

{\vartriangleright} Loi uniforme sur un intervalle de {n} entiers consécutifs

Soit {[[ a,b]]} un intervalle de {n} entiers consécutifs (donc {b=a+n-1})
Le plus souvent, il s’agit de {[[ 0,n-1]]} ou de {[[ 1,n]]}.

On dit que {\text{X}} suit la loi uniforme sur {[[ a,b]]}, et on note {\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{U}([[ a,b]])} si :{\begin{cases}\text{X}(\Omega)=[[ a,b]]=[[ a,a+n-1]]\\\forall\, k\in[[ a,b]],\;\mathbb{P}(\text{X}=k)=\dfrac{1}{n}\end{cases}}

Remarque : si {\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{U}([[ a,b]])}, alors {\text{Y}=\text{X}-a+1\rightsquigarrow\mathcal{U}([[ 1,n]])}.

{\vartriangleright} Loi de Bernoulli {\mathcal{B}(p)} avec {0\le p\le 1}

Soit {p} dans {[0,1]}. Dans ce contexte, on note souvent {q=1-p}.
On dit que {\text{X}} suit la loi de Bernoulli de paramètre {p}, et on note {\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{B}(p)} si : {\text{X}(\Omega)=\{0,1\},\quad\mathbb{P}(\text{X}=1)=p,\quad\mathbb{P}(\text{X}=0)=1-p}

On modélise ainsi une « épreuve de Bernoulli de paramètre {p} », c’est-à-dire une expérience aléatoire qui ne possède deux issues possibles : le « succès » (ici la valeur {1}) avec la probabilité {p}, et l’« échec » (ici la valeur {0}) avec la probabilité {q=1-p}.

Avec ce modèle, on peut dire que {\text{X}} est la variable indicatrice de l’événement “l’expérience s’est soldée par un succès”.

Remarque : si {\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{B}(p)}, alors {\text{Y}=1-\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{B}(q)}.

{\vartriangleright} Loi binomiale {\mathcal{B}(n,p)} de paramètres {n\in \mathbb{N}^*} et {p \in [0,1]}

Soit {n} dans {\mathbb{N}^{*}}. Soit {p} dans {[0,1]} (dans ce contexte, on note souvent {q=1-p}).
On dit que {\text{X}} suit la loi binomiale de paramètres {n,p}, et on note {\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{B}(n,p)} si:
{\text{X}(\Omega)=[[ 0,n]]\quad\;\text{et}\;\quad\forall\, k\in[[ 0,n]],\;\mathbb{P}(\text{X}=k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}}

On modélise ainsi une expérience aléatoire consistant en la répétition de {n} épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p} (l’indépendance est une notion qui sera évoquée plus loin et on la prend ici dans son sens intuitif : les conditions de l’expérience sont telles que le résultat d’une de ces épreuves de Bernoulli “n’influe” pas sur celui des autres épreuves).

Avec ce modèle, on peut dire que {\text{X}} est la variable qui compte le nombre de succès dans cette répétition de {n} épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p}.

Un autre modèle où intervient la loi {\mathcal{B}(n,p)} est l’expérience aléatoire consistant à effectuer {n} tirages successifs “avec remise” d’une boule dans une urne contenant une proportion {p} de boules blanches, et de compter le nombre de boules blanches obtenues après ces {n} tirages. Le fait que le tirage s’effectue avec remise est important pour garantir l’indépendance des résultats des tirages successifs.

Remarque : si {\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{B}(n,p)}, alors {\text{Y}=n-\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{B}(n,q)} (on rappelle que {q=1-p}).

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