Indépendance de variables aléatoires

Plan du chapitre "Probabilités"

Couples de variables aléatoires indépendantes

Définition (indépendance de deux variables aléatoires)
Soit {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} un couple de variables aléatoires sur un espace probabilisé fini {(\Omega,\mathbb{P})}.
On dit que {\text{X}} et {\text{Y}} sont indépendantes si : {\forall\, (x,y)\in \text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega),\;\mathbb{P}(\text{X}=x,\text{Y}=y)=\mathbb{P}(\text{X}=x)\,\mathbb{P}(\text{Y}=y)}

Remarques

  • L’indépendance de {\text{X}} et {\text{Y}} implique que, pour tout {x} de {\text{X}(\Omega)} tel que {\mathbb{P}(\text{X}=x)>0}, la loi conditionnelle de {\text{Y}} sachant {(\text{X}=x)} est égale à la loi de {\text{Y}}.
    Autrement dit :
    {\begin{cases}\forall\, (x,y)\in \text{X}(\omega)\text{\ (avec\ }\mathbb{P}(\text{X}=x)>0)\\\forall\, y \in \text{Y}(\omega)\end{cases}\;\mathbb{P}_{(\text{X}=x)}(\text{Y}=y)=\mathbb{P}(\text{Y}=y)}
  • L’indépendance de {\text{X}} et {\text{Y}} signifie que, pour tout {(x,y)} de {\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}, les événements {(\text{X}=x)} et {(\text{Y}=y)} sont indépendants.
  • En général, l’indépendance de deux variables aléatoires résulte du modèle décrivant l’expérience. C’est plus une hypothèse a priori qu’une conséquence d’un calcul.
  • Si une variable aléatoire {\text{X}} est constante (ou seulement “presque constante”) elle est indépendante de toute autre variable aléatoire.
Proposition (caractérisation de l'indépendance de deux variables aléatoires)
Soit {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} un couple de variables aléatoires sur {(\Omega,\mathbb{P})}.
Alors {\text{X},\text{Y}} sont indépendantes si et sulement si : {\begin{cases}\forall\, A\subset \text{X}(\Omega)\\\forall\, B\subset \text{Y}(\Omega)\end{cases},\quad\mathbb{P}(\text{X}\in A,\text{Y}\in B)=\mathbb{P}(\text{X}\in A)\,\mathbb{P}(\text{Y}\in B)}
Démonstration
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Proposition (fonctions de deux variables aléatoires indépendantes)
Soit {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} un couple de variables aléatoires indépendantes sur {(\Omega,\mathbb{P})}.
Soit {\text{X}'=\varphi(\text{X})} une fonction de {\text{X}} et {\text{Y}'=\psi(\text{Y})} une fonction de {\text{Y}}.
Alors les variables aléatoires {\text{X}'} et {\text{Y}'} sont indépendantes.
Démonstration
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Variables mutuellement indépendantes

Définition (variables aléatoires mutuellement indépendantes)
Soit {(\text{X}_{i})_{1\le i\le n}} une suite finie de variables aléatoires sur {(\Omega,\mathbb{P})}.
On dit que ces variables sont mutuellement indépendantes si :
{\forall\, (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\in \text{X}_{1}(\Omega)\times \text{X}_{2}(\Omega)\times\cdots\times \text{X}_{n}(\Omega)}, les événements {(\text{X}_{1}=x_{1}),(\text{X}_{2}=x_{2}),\ldots,(\text{X}_{n}=x_{n})} sont mutuellement indépendants.
Rappelons que cela signifie :
pour toute partie {J} de {[[ 1,n]],\;\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcap_{j\in J}(\text{X}_{j}=x_{j})\Bigr)=\displaystyle\prod_{j\in J}\mathbb{P}(\text{X}_{j}=x_{j})}.
Proposition (caractérisation de l'indépendance mutuelle de n variables aléatoires)
Soit {(\text{X}_{i})_{1\le i\le n}} une suite finie de variables aléatoires sur {(\Omega,\mathbb{P})}.
Elles sont mutuellement indépendantes si et seulement si :
{\begin{array}{l}\begin{cases}\forall\, A_{1}\subset \text{X}_{1}(\Omega),\;\forall\, A_{2}\subset \text{X}_{2}(\Omega),\;\ldots,\;\forall\, A_{n}\subset \text{X}_{n}(\Omega)\\\text{pour toute partie\ }J\text{\ de l'intervalle\ }[[ 1,n]]\end{cases}\\\\\text{on a l'égalité : }\mathbb{P}\Bigl(\displaystyle\bigcap_{j\in J}(\text{X}_{j}\in A_{j})\Bigr)=\displaystyle\prod_{j\in J}\mathbb{P}(\text{X}_{j}\in A_{j})\end{array}}.

{\vartriangleright} La loi binomiale comme somme de variables de Bernoulli indépendantes

Soit {\text{X}} une variable aléatoire réelle suivant la loi binomiale {\mathcal{B}(n,p)} de paramètres {n\in \mathbb{N}^*} et {p \in [0,1]}.
On sait que {\text{X}} représente le nombre de succès dans une répétition de {n} épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p}.
Soit {\text{X}_{i}} la variable de Bernoulli de paramètre {p} associée à l’épreuve n°{i}.
Avec ces notations, on a {\text{X}=\text{X}_{1}+\text{X}_{2}+\cdots+\text{X}_{n}}.

Remarques

  • Dans la pratique, si on réalise {n} expériences aléatoires mutuellement indépendantes (les résultats d’une ou plusieurs d’entre elles n’affectent pas le résultat des autres : ce sont les conditions générales de ces expériences qui permettent d’émettre cette hypothèse) et si on attache à chacune de ces expériences une variable aléatoire {\text{X}_{i}}, alors les {\text{X}_{i}} sont mutuellement indépendantes.
  • Si {\text{X}_{1},\text{X}_{2},\ldots,\text{X}_{n}} sont mutuellement indépendantes, il est de même des {(\text{X}_{j})_{j\in J}}, avec {J\subset [[ 1,n]]}.
    En particulier les variables aléatoires {\text{X}_{i}} sont indépendantes deux à deux.
  • Dire que deux événements {A} et {B} sont indépendants, c’est dire que leurs variables indicatrices {\chi_{A}} et {\chi_{B}} sont indépendantes.

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    De même, dire que les événements {(A_{i})_{1\le i\le n}} sont mutuellement indépendants c’est dire que leurs variables indicatrices {\chi_{A_{1}},\ldots,\chi_{A_{n}}} sont mutuellement indépendantes.

  • De même que l’indépendance “deux à deux” des événements {A_{1},\ldots,A_{n}} (où {n\ge3}) n’implique pas leur indépendance mutuelle, l’indépendance “deux à deux” de {n} variables {\text{X}_{1},\ldots,\text{X}_{n}} n’implique pas leur indépendance mutuelle (prendre les variables indicatrices {\chi_{A_{i}}}).

À partir de variables aléatoires mutuellement indépendantes, on peut en former d’autres :

Proposition (fonctions de variables mutuellement indépendantes)
Soit {(\text{X}_{i})_{1\le i\le n}} une suite finie de variables aléatoires sur {(\Omega,\mathbb{P})}, mutuellement indépendantes.
Pour tout {i} de {[[ 1,n]]}, soit {\text{Y}_{i}=\varphi_{i}(\text{X}_{i})} une fonction de la variable aléatoire {\text{X}_{i}}.
Alors les variables aléatoires {(\text{Y}_{i})_{1\le i\le n}} sont mutuellement indépendantes.

Autre exemple : si {\text{X}_{1},\text{X}_{2},\ldots,\text{X}_{n}} sont mutuellement indépendantes, et si {J} et {K} sont deux parties disjointes de {[[ 1,n]]}, toute fonction {\text{Y}} des {(\text{X}_{j})_{j\in J}} est indépendante de toute fonction {\text{Z}} des {(\text{X}_{k})_{k\in K}}.

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