Polynômes irréductibles et factorisations

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Polynômes irréductibles dans {\mathbb{K}[X]}

On rappelle qu’un polynôme {P} quelconque de {\mathbb{K}[X]} est divisible par tous les polynômes constants non nuls, et que si {P} est non nul il est divisible par tous ses associés, c’est-à-dire les {\lambda P} avec {\lambda} dans {\mathbb{K}^{*}}.

Définition (polynômes irréductibles)
Soit {P} un polynôme non constant de {\mathbb{K}[X]}.
On dit que {P} est irréductible dans {\mathbb{K}[X]} si ses seuls diviseurs dans {\mathbb{K}[X]} sont :

  • les polynômes constants non nuls.
  • les polynômes associés à {P}, c’est-à-dire les {\lambda P}, avec {\lambda} dans {\mathbb{K}^*}.

A contrario, un polynôme non constant {P} n’est pas irréductible (donc est “réductible”) dans {\mathbb{K}[X]} s’il possède une “factorisation stricte”, c’est-à-dire s’il existe {A} et {B} dans {\mathbb{K}[X]} tels que {P=AB} avec {\deg(A)\lt \deg(P)} et {\deg(B)\lt \deg(P)}.

La description des polynômes irréductibles est facile dans {\mathbb{C}[X]}, assez facile dans {\mathbb{R}[X]}, mais difficile dans {\mathbb{Q}[X]} (polynômes à coefficients rationnels). On se contente ici d’un aperçu très sommaire du cas général {\mathbb{K}[X]}, sachant que le programme de la classe de MPSI se limite à {\mathbb{R}[X]} et {\mathbb{C}[X]}.

On a vu à quel point l’arithmétique des polynômes est proche de celle des entiers. Cette proximité s’explique par l’existence d’une division euclidienne, à la fois dans {\mathbb{Z}} et dans {\mathbb{K}[X]} (et c’est cette division qui conduit, via l’algorithme d’Euclide, à la notion de Pgcd).

La notion de polynôme irréductible est dans la continuité de cette proximité, les polynômes irréductibles jouant le rôle qu’ont joué les nombres premiers dans l’arithmétique des entiers.

Remarques et propriétés

  • Tout polynôme de degré {1} est irréductible.
    Si {\deg(P)\ge2} et si {P} admet une racine dans {\mathbb{K}}, alors {P} n’est pas irréductible dans {\mathbb{K}[X]}.
    Si {\deg(P)\in\{2,3\}} et si {P} n’a pas de racine dans {\mathbb{K}} alors il est irréductible dans {\mathbb{K}[X]}.
    Cette propriété cesse d’être vraie si {\deg(P)\ge4} (exemple : {P=(X^2+1)^2} dans {\mathbb{R}[X]}).
  • La notion de polynôme irréductible dépend du corps {\mathbb{K}}.
    Ainsi {A=X^2-2} est irréductible dans {\mathbb{Q}[X]}, pas dans {\mathbb{R}[X]} car {A=(X-\sqrt2)(X+\sqrt2)}.
    De même {A=X^2+1} est irréductible dans {\mathbb{R}[X]}, pas dans {\mathbb{C}[X]} car {A=(X-i)(X+i)}.
  • Si un polynôme irréductible {P} ne divise pas un polynôme {A}, alors il est premier avec {A}.
    En particulier, {P} est premier avec les polynômes de degré strictement inférieur à {\deg(P)}.

  • Soit {P} un polynôme irréductible, et soit {A_1,A_2,\ldots,A_n} une famille de polynômes.
    Alors {P} divise le produit {A_1A_2\ldots A_n} si et seulement si {P} divise l’un au moins des {A_k}.
  • Si un polynôme {P} est irréductible, ses associés le sont aussi.
    Si deux polynômes irréductibles ne sont pas associés, ils sont premiers entre eux.
    Deux polynômes irréductibles unitaires distincts sont premiers entre eux.
Proposition (existence d'un diviseur irréductible)
Tout polynôme non constant est divisible par au moins un polynôme irréductible.
Proposition (décomposition en produit de polynômes irréductibles)
Tout polynôme {A} non constant s’écrit {A=\lambda P_1^{\alpha_1}P_2^{\alpha_2}\ldots P_m^{\alpha_m}}, où :

  • {m} est un entier strictement positif.
  • {P_1,P_2,\ldots,P_m} sont des polynômes irréductibles unitaires distincts deux à deux.
  • {\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m} sont des entiers strictement positifs.

Une telle écriture de {A} est unique à l’ordre près des facteurs.
On l’appelle décomposition de {A} en produit de facteurs irréductibles.

Dans cette écriture de {A}, les {P_k} sont les diviseurs irréductibles unitaires du polynôme {A}.

Décomposition en facteurs irréductibles dans {\mathbb{C}[X]}

On rappelle le résultat fondamental suivant (dont la démonstration est admise!)

Proposition (théorème de d'Alembert-Gauss)
Tout polynôme de {\mathbb{C}[X]}, de degré {n\ge1}, admet au moins une racine dans {\mathbb{C}}.
On exprime cette propriété en disant que le corps {\mathbb{C}} est algébriquement clos.

Le théorème de d’Alembert-Gauss à une conséquence immédiate :

Proposition
Les polynômes irréductibles dans {\mathbb{C}[X]} sont les polynômes de degré {1}.

Ce qui conduit à la forme générale de la factorisation en polynômes irréductibles dans {\mathbb{C}[X]} :

Proposition (factorisation dans [ℂ]
Soit {A} un polynôme non constant de {\mathbb{C}[X]}.
Alors {A} s’écrit de manière unique (à l’ordre près des facteurs) {A=\lambda\displaystyle\prod_{k=1}^p(X-\alpha_k)^{m_k}} où :

  • le scalaire non nul {\lambda} est le coefficient dominant de {A}.
  • les scalaires {\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p} sont les racines distinctes de {A} dans {\mathbb{C}}.
  • les entiers strictement positifs {m_1,m_2,\ldots,m_p} sont leurs multiplicités respectives.

Un exemple important

Les racines de {X^n-1} dans {\mathbb{C}} sont les racines {n}-ièmes de l’unité {\omega_0,\;\omega_1,\;\ldots,\;\omega_{n-1}}.
Ce sont toutes des racines de multiplicité {1}.
La factorisation dans {\mathbb{C}[X]} est donc {X^n-1=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega_k)=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(X-\exp\dfrac{2ik\pi}{n}\Bigr)}

Avec les relations coefficients-racines, on immédiatement {\begin{cases}\omega_0+\omega_1+\cdots+\omega_{n-1}=0\cr \omega_0\,\omega_1\,\cdots\,\omega_{n-1}=(-1)^{n-1}\end{cases}}

Par exemple, si {n=3} : {X^{3}-1=(X-1)(X-j)(X-j^{2})}.

Autre exemple, si {n=6} : {X^{6}-1=(X-1)(X+1)(X-j)(X-j^{2})(X+j)(X+j^{2})}.

Dans le cas particulier où {A} est un polynôme à coefficients réels, et si on veut le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}, la décomposition fait apparaître les (éventuelles) racines réelles d’une part, et les (éventuelles) racines non réelles d’autre part. On sait que si {\alpha} est une racine non réelle de {A}, avec la multiplicité {m\ge1}, alors {\ov\alpha} est également une racine de {A}, avec la même multiplicité :

Proposition (factorisation dans ℂ[X] d'un polynôme à coefficients réels)
Soit {A} un polynôme non constant de {\mathbb{R}[X]}.
La décomposition de {A} dans {\mathbb{C}[X]} s’écrit de manière unique (à l’ordre près des facteurs) : {A=\lambda\displaystyle\prod_{i=1}^p(X-\alpha_i)^{m_i}\displaystyle\prod_{j=1}^q(X-\beta_j)^{m'_j}\displaystyle\prod_{j=1}^q(X-\overline{\beta_j})^{m'_j}\text{\ \ ou :}}

  • le réel non nul {\lambda} est le coefficient dominant de {A}.
  • les réels {\alpha_1,\,\alpha_2,\,\ldots,\,\alpha_p} sont les racines réelles éventuelles distinctes de {A}.
    les entiers strictement positifs {m_1,\,m_2,\,\ldots,\,m_p} sont leurs multiplicités respectives.
  • les nombres complexes {\beta_1,\,\overline{\beta_{1}},\,\beta_2,\,\overline{\beta_{2}},\,\ldots,\,\beta_q,\,\overline{\beta_{q}},} sont les racines complexes non réelles éventuelles distinctes (et conjuguées deux à deux) de {A}, et {m'_1,\,m'_2,\,\ldots,\,m'_p} sont leurs multiplicités respectives.

On peut proposer une autre forme de la décomposition en facteurs irréductibles de {A} dans {\mathbb{C}[X]}, en y faisant figurer tous les polynômes irréductibles unitaires {X-\alpha}, mais avec des exposants positifs ou nuls (exposants strictement positifs uniquement pour les racines effectives de {A}) :

Proposition (autre forme de la factorisation dans ℂ[X])
Soit {A} un polynôme non nul de {\mathbb{C}[X]}.
Alors {A} s’écrit de manière unique (à l’ordre près des facteurs) {A=\lambda\displaystyle\prod_{\alpha\in\mathbb{C}}(X-\alpha)^{m_\alpha}} où :

  • le scalaire {\lambda} est le coefficient dominant de {A}.
  • l’entier {m_{\alpha}\ge0} est la multiplicité de {\alpha} comme racine de {A}.

La forme précédente permet de caractériser la divisibilité dans {\mathbb{C}[X]}.

Proposition
Soit {A} et {B} deux polynômes non nuls de {\mathbb{C}[X]}.

Soit {A=\lambda\displaystyle\prod_{\alpha\in\mathbb{C}}(X-\alpha)^{m_\alpha}} et {B=\mu\displaystyle\prod_{\alpha\in\mathbb{C}}(X-\alpha)^{n_\alpha}} leurs factorisations dans {\mathbb{C}[X]}.
Alors {A} divise {B} si et seulement si, pour tout {\alpha} de {\mathbb{C}}, on a {m_{\alpha}\le n_{\alpha}}.

On en déduit une forme du pgcd et du ppcm, à partir des factorisations :

Proposition (expression factorisée du pgcd et du ppcm)
Soit {A} et {B} deux polynômes non nuls de {\mathbb{C}[X]}.

Soit {A=\lambda\displaystyle\prod_{\alpha\in\mathbb{C}}(X-\alpha)^{m_\alpha}} et {B=\mu\displaystyle\prod_{\alpha\in\mathbb{C}}(X-\alpha)^{n_\alpha}} leurs factorisations dans {\mathbb{C}[X]}.

Alors {A\wedge B=\displaystyle\prod_{\alpha\in\mathbb{C}}(X-\alpha)^{p_\alpha}}et {A\vee B=\displaystyle\prod_{\alpha\in\mathbb{C}}(X-\alpha)^{q_\alpha}} avec {\begin{cases}p_{\alpha}=\min(m_{\alpha},n_{\alpha})\cr q_{\alpha}=\max(m_{\alpha},n_{\alpha})\end{cases}}

Décomposition en facteurs irréductibles dans {\mathbb{R}[X]}

Proposition
Les polynômes irréductibles dans {\mathbb{R}[X]} sont :

  • les polynômes de degré {1}.
  • les polynômes {P=aX^2+bX+c} de degré {2} et de discriminant {\Delta=b^2-4ac\lt 0}.

Proposition (factorisation dans ℝ[X])
Soit {A} un polynôme non constant de {\mathbb{R}[X]}.
Il s’écrit de façon unique (à l’ordre près) : {A=\lambda\displaystyle\prod_{k=1}^p(X-\alpha_k)^{r_k}\displaystyle\prod_{k=1}^q(X^2+b_kX+c_k)^{s_k}} où :

  • Le réel non nul {\lambda} est le coefficient dominant de {A}.
  • Les réels {\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p} sont les racines distinctes de {A} dans {\mathbb{R}}.
    Les entiers strictement positifs {r_1,r_2,\ldots,r_p} sont leurs multiplicités respectives.
  • Les polynômes {X^2+b_kX+c_k}, distincts deux à deux, sont à discriminant négatif.
    Dans {\mathbb{C}[X]}, chaque {X^2+b_kX+c_k} se factoriserait en {(X-\beta_k)(X-\overline{\beta_k})}, où {\beta_k} est l’une des racines complexes non réelles de {A}. Les entiers strictement positifs {s_1,\ldots,s_q} sont les multiplicités respectives de {\beta_1,\ldots,\beta_q} dans {\mathbb{C}[X]}.

Dans l’écriture précédente de {A}, il se peut que {q=0} (si {A}est scindé dans {\mathbb{R}}), ou {p=0} soit nul (si {A} ne possède que des racines complexes non réelles).

Dans les deux cas, le “produit vide” correspondant prend la valeur {1}.

Pour factoriser dans {\mathbb{R}[X]} un polynôme {A} ayant des racines non réelles, on peut le factoriser dans {\mathbb{C}[X]} puis regrouper les facteurs correspondant à des racines complexes non réelles.

Polynômes bicarrés

Il arrive souvent qu’on ait à factoriser dans {\mathbb{R}[X]} des polynômes “bicarrés” à discriminant négatif, c’est-à-dire du type {A=X^4+bX^2+c}, avec {\Delta=b^2-4c\lt 0}.

Dans ce cas, on considère les termes {X^4} et {c} comme provenant du développement d’un carré.
Plus précisément, on écrit : {X^4+bX^2+c=(X^2+\sqrt{c})^2-(2\sqrt{c}-b)X^2}.
Or {2\sqrt{c}-b} est strictement positif, donc s’écrit comme un carré {\beta^2}. On arrive alors à {\begin{array}{rl}X^4+bX^2+c&=(X^2+\sqrt{c})^2-\beta^2X^2\\\\&=(X^2+\beta X +\sqrt{c})(X^2-\beta X+\sqrt{c})\end{array}}
À titre d’exemple, voici la factorisation dans {\mathbb{R}[X]} dde {A=X^8+X^4+1}.

On a tout d’abord :{A=(X^4+1)^2-X^4=(X^4-X^2+1)(X^4+X^2+1)}
Ensuite : {\begin{cases}\begin{array}{rl}X^4-X^2+1&=(X^2+1)^2-3X^2\\&=(X^2+\sqrt3X+1)(X^2-\sqrt3X+1)\end{array}\\\\\begin{array}{rl}X^4+X^2+1&=(X^2+1)^2-X^2\\&=(X^2+X+1)(X^2-X+1)\end{array}\end{cases}}
En conclusion, on a la factorisation : {\begin{array}{rl}X^8+X^4+1&=(X^2+X+1)(X^2-X+1)\\\\&\quad(X^2+\sqrt3X+1)(X^2-\sqrt3X+1)\end{array}}

Page précédente : arithmétique dans K[X]
Page suivante : interpolation de Lagrange