Interpolation de Lagrange

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Dans cette section, comme dans le reste du chapitre, {\mathbb{K}} désigne {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

On considère {n} scalaires distincts {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}} dans {\mathbb{K}}.
On se donne également {y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}} dans {\mathbb{K}}, mais pas nécessairement distincts deux à deux.

Le problème est : existe-t-il des polynômes {P} (et lesquels?) tels que : {\forall\, k\in\{1,\ldots,n\},\;P(x_{k})=y_{k}}.

En d’autres termes, et si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, peut-on faire “passer” la courbe représentative d’un polynôme {P} par {n} points {A_{k}(x_{k},y_{k})} donnés (dont les abscisses {x_{k}} sont deux à deux distinctes). Et quel est le degré minimum d’un tel polynôme?

Si {f:I\to\mathbb{R}} est une fonction dont on connait les valeurs {y_{k}=f(x_{k})} en les {n} abscisses {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}} de {I}, la question devient alors : trouver {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(x_{k})=f(x_{k})} pour {1\le k\le n}.

Une fois ce polynôme connu, et de degré minimum si possible, on peut “interpoler” la fonction {f} entre deux abscisses successives {x_{k}} et {x_{k+1}} en posant {f(x)=P(x)} sur {[x_{k},x_{k+1}]}. La question est alors de mesurer la qualité de cette approximation, et de savoir si le choix des abscisses {x_{k}} est important.

Il y a plusieurs approches possibles pour former le “polynôme d’interpolation” {P}, et notamment la méthode de Lagrange. L’idée consiste à former d’abord, pour une famille d’abscisses {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}} donnée, des polynômes prenant des valeurs simples sur les {x_{k}}.

Définition (polynômes interpolateurs de Lagrange)
On se donne une famille de {n} scalaires {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1},x_{n}}, distincts deux à deux.
Pour tout entier {k} de {\{1,\ldots,n\}} on définit le polynôme {L_k(X)=\displaystyle\prod\limits_{j=1\atop j\ne k}^{n}\dfrac{X-x_j}{x_k-x_j}}.
Proposition
Avec ces notations, et pour {1\le k\le n}, on a : {\deg(L_{k})=n-1} et {\begin{cases} L_{k}(x_{k})=1\cr \forall\, j\ne k,\;L_{k}(x_{j})=0\end{cases}}

Par exemple, si {n = 4} : {\begin{array}{cc}L_1(X)=\dfrac{(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)}\quad&\quad L_2(X)=\dfrac{(X-x_1)(X-x_3)(X-x_4)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)}\\\\ L_3(X)=\dfrac{(X-x_1)(X-x_2)(X-x_4)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)}\quad&\quad L_4(X)=\dfrac{(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)}{(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)}\end{array}}
On voit que {L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}} sont des polynômes de degré {3}, et qu’ils vérifient : {\begin{array}{cc}L_1(x_2)=L_1(x_3)=L_1(x_4)=0\;\text{et}\;L_1(x_1)=1\\\\L_2(x_1)=L_2(x_3)=L_2(x_4)=0\;\text{et}\;L_2(x_2)=1\\\\L_3(x_1)=L_3(x_2)=L_3(x_4)=0\;\text{et}\;L_3(x_3)=1\\\\L_4(x_1)=L_4(x_2)=L_4(x_3)=0\;\text{et}\;L_4(x_4)=1\end{array}}
Par un principe de “superposition”, et dans le cas de {n} ordonnées {y_{1},\ldots,y_{n}} quelconques, on peut alors former un polynôme {P} de degré {n-1} tel que {P(x_{k})=y_{k}} pour tout {k} de {\{1,\ldots,n\}} :

Proposition (existence et unicité du polynôme d'interpolation de degré minimum)
On se donne une famille de {n} éléments {(x_{k},y_{k})} de {\mathbb{K}^{2}}, les {x_{k}} étant distincts deux à deux.
Il existe un unique {P\in\mathbb{K}_{n-1}[X]} tel que : {\forall\, k\in\{1,\ldots,n\},\;P(x_{k})=y_{k}}.
Il s’écrit {P(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}L_{k}(X)}, où : {\forall\, k\in\{1,\ldots,n\},\;L_k(X)=\displaystyle\prod\limits_{j=1\atop j\ne k}^{n}\dfrac{X-x_j}{x_k-x_j}}.

Pour prendre un exemple, on suppose {n=4} et on pose {x_{1}=1}, {x_{2}=2}, {x_{3}=3}, {x_{4}=4}.

On représente ici les quatre polynômes {L_{1},L_{2},L_{3},L_{4}} qui correspondent à ces abscisses.

Chaque {L_{k}} est de degré {3}, il vaut {1} en {x_{k}} et s’annule sur les trois autres abscisses.

Le polynôme {L_{1}} :

Le polynôme {L_{2}} :

Le polynôme {L_{3}} :

Le polynôme {L_{4}} :

Pour former un polynôme de degré inférieur ou égal à {3} et qui prend les valeurs {y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}} sur les abscisses {x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}, il suffit de poser :{P(X)=y_{1}L_{1}(X)+y_{2}L_{2}(X)+y_{3}L_{3}(X)+y_{4}L_{4}(X)}
En reprenant l’exemple précédent, on trace ici la courbe représentative du polynôme {P} de degré inférieur ou égal à {3} et qui vérifie les quatre conditions : {P(1)=5}, {P(2)=2}, {P(3)=4}, {P(4)=1}.

On trouverait : {P(X)=-\dfrac53\,{X}^{3}+{\dfrac {25}{2}}\,{X}^{2}-{\dfrac {173}{6}}\,X+23}

Proposition (expression de tous les polynômes vérifiant les égalités P(xk)=yk)
On reprend ici les notations de la proposition précédente.
Les polynômes {P} de {\mathbb{K}[X]} qui vérifient {\forall\, k\in\{1,\ldots,n\},\;P(x_{k})=y_{k}} sont donnés par : {P(X)=P_{I}(X)+Q(X)\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(X-x_{k})}{P_{I}} est le polynôme interpolateur de la proposition et où {Q(X)} est quelconque dans {\mathbb{K}[X]}.

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