Fractions rationnelles

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Comme d’habitude, on pose {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

La construction du corps {\mathbb{K}(X)}

Note : dans le programme de la classe de MPSI, cette construction n’est pas exigible.

Définition (une relation d'équivalence sur [X]x([X]{0})
On définit une relation sur {\mathbb{K}[X]\times(\mathbb{K}[X]\setminus\{0\})} de la façon suivante : pour tous couples de polynômes {(A,B)} et {(C,D)}, avec {B\ne0} et {D\ne0} : {(A,B)\mathcal{R}(C,D)\Leftrightarrow AD=BC}.
Proposition (définition des fractions rationnelles)
Avec les définitions précédentes, {\mathcal{R}} est une relation d’équivalence sur {\mathbb{K}[X]\times(\mathbb{K}[X]\setminus\{0\})}.
Les classes d’équivalence pour cette relation sont appelées fractions rationnelles à coefficients dans {\mathbb{K}}.
On note {\mathbb{K}(X)} l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans {\mathbb{K}}.
La classe d’équivalence {R} du couple {(A,B)}, avec {B\ne0}, est notée {F=\dfrac{A}{B}}.

Ainsi pour {A,B,C,D} dans {\mathbb{K}[X]}, avec {B\ne0} et {D\ne0}, on a : {\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\Leftrightarrow AD=BC}.

Remarques

On ne confondra pas les notations {\mathbb{K}[X]} (polynômes) et {\mathbb{K}(X)} (fractions rationnelles).

Quand on dit “soit {F=\dfrac AB} une fraction rationnelle”, on sous-entend « {A,B} sont dans {\mathbb{K}[X]} et {B\ne 0} ».

Dans l’écriture {F=\dfrac{A}{B}}, on dit bien sûr que {A} est le numérateur et que {B} est le dénominateur.

Forme irréductible d’une fraction rationnelle

Pour tous polynômes {A,B,Q}, avec {B\ne0} et {Q\ne0}, on a {\dfrac{AQ}{BQ}=\dfrac{A}{B}}.

Soit {F=\dfrac AB} un élément de {\mathbb{K}(X)}. Soit {\Delta=A\wedge B}.

Il existe deux polynômes {C,D} tels que {\begin{cases}A=\Delta C\cr B=\Delta D\end{cases}} donc tels que {F=\dfrac CD}, avec {C\wedge D=1}.

Sous cette dernière forme, on dit que {F} est écrite sous forme irréductible, ou simplifiée.

Réciproquement, supposons {F=\dfrac AB=\dfrac CD}, avec {C\wedge D=1}.

Alors il existe {Q} dans {\mathbb{K}[X]} tel que {\begin{cases}A=Q C\cr B=Q D\end{cases}}

Si on supppose deplus {A\wedge B=1}, alors il existe {\lambda} dans {\mathbb{K}^*} tel que {A=\lambda C} et {B=\lambda D}.

On en déduit que la forme irréductible d’une fraction rationnelle non nulle est unique si on impose au dénominateur d’être un polynôme unitaire.

Par exemple, celle de {F=\dfrac{X^{6}-1}{X^{4}-1}=\dfrac{(X^{2}-1)(X^{4}+X^{2}+1)}{(X^{2}-1)(X^{2}+1)}} est {F=\dfrac{X^{4}+X^{2}+1}{X^{2}+1}}

Les polynômes sont des fractions rationnelles particulières

Dans toute la suite, on identifie la fraction rationnelle {F=\dfrac{A}{1}} avec le polynôme {A}.

Cette identification permet de considérer les polynômes comme des fractions rationnelles particulières.

Le polynôme nul notamment s’identifie à {F=\dfrac{0}{1}} (avec d’ailleurs {F=\dfrac{0}{B}} pour tout {B\ne0}).

Dire qu’une fraction rationnelle {F=\dfrac{A}{B}} est non nulle, c’est dire que son numérateur {A} est non nul.

Opérations sur les fractions rationnelles

Proposition (corps des fractions rationnelles à coefficients dans )
Soit {F=\dfrac{A}{B}} et {G=\dfrac{C}{D}} dans {\mathbb{K}(X)}. On pose {\dfrac AB+\dfrac CD=\dfrac{AD+BC}{BD}}, et {\;\dfrac AB\,\dfrac CD=\dfrac{AC}{BD}}.

Ces définitions ne dépendent pas des couples {(A,B)} et {(C,D)} utilisés pour représenter {F} et {G}.
Munis de ces deux opérations, l’ensemble {\mathbb{K}(X)} possède une structure de corps.

Le neutre dans {\mathbb{K}(X)} pour la loi {+} est la fraction rationnelle (le polynôme) {F=0}.

L’opposé de la fraction rationnelle {F=\dfrac AB} est la fraction rationnelle {-F=\dfrac{-A}B}.

Le neutre dans {\mathbb{K}(X)} pour la loi {\times} est la fraction rationnelle (le polynôme) {F=1}.

Si {A\ne0}, l’inverse de {F=\dfrac AB} pour la loi {\times} est la fraction rationnelle {\dfrac 1F=\dfrac BA}.

Définition (fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle)
Soit {F=\dfrac AB} une fraction rationnelle, supposée irréductible (c’est-à-dire telle que {A\wedge B=1}).

Soit {\widetilde A,\widetilde B} les fonctions polynomiales associées aux polynômes {A} et {B}.
La fonction rationnelle {\widetilde F} associée à {F} est la fonction {x\mapsto \widetilde F(x)=\dfrac{\widetilde A(x)}{\widetilde B(x)}}.
Son domaine de définition est {\mathbb{K}} privé de l’ensemble des racines de {B}.

L’application qui à une fraction rationnelle {F} associe la fonction {\widetilde F}est injective.

Si les fonctions {\widetilde F} et {\widetilde G} sont égales en un nombre infini de points, alors les fractions rationnelles {F} et {G} sont égales. On peut donc sans danger identifier une fraction rationnelle et sa fonction rationnelle associée.

Remarque : soit {F} dans {\mathbb{R}[X]}, et soit {\alpha} dans {\mathbb{C}}. Alors {\widetilde F(\overline\alpha)} est le conjugué de {\widetilde F(\alpha)}.

Parité ou imparité d’une fraction rationnelle

Si une fraction rationnelle est paire (invariante par {X\to-X}), on peut l’écrire {F(X)=\dfrac{A(X^{2})}{B(X^{2})}}.
Si elle est impaire, on peut l’écrire {F(X)=X\dfrac{A(X^{2})}{B(X^{2})}}.

Par exemple {G=\dfrac{X^4-1}{X^6+3X^2+1}} est paire : {G=\dfrac{A(X^2)}{B(X^2)}}avec {\begin{cases}A=X^2-1\\B=X^3+3X+1\end{cases}}

De même, {G=\dfrac{X^4+1}{X(X^2+1)}} est impaire : {G=\dfrac{XA(X^2)}{B(X^2)}}avec {\begin{cases}A=X^2+1\\B=X(X+1)\end{cases}}

Définition (fraction rationnelle dérivée)
On dit que {F'=\dfrac{A'B-AB'}{B^2}} est la fraction rationnelle dérivée de {F=\dfrac AB}.

Remarques:

  • Cette définition ne dépend pas du couple {(A,B)} utilisé pour représenter {F}.
  • On vérifie les propriétés {\begin{cases}(\lambda F+\mu G)'=\lambda F'+\mu G'\\(FG)'=F'G+FG'\end{cases}}
  • On a également une formule de Leibniz.
  • On a {F'=0} si et seulement si {F} est un polynôme constant.
  • Si {F} est une fraction rationnelle à coefficients réels, la fonction rationnelle associée à {F'} est
    la dérivée (au sens habituel donné à ce terme) de la fonction rationnelle associée à {F}.
Définition (fraction rationnelle conjuguée)
Pour tout polynôme {A=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k\in\mathbb{C}[X]}, on note {\overline{A}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\overline{a_k}\,X^k}.
Soit {F=\dfrac{A}{B}} dans {\mathbb{C}(X)}. On appelle conjuguée de {F} la fraction rationnelle {\overline{F}=\dfrac{\overline{A}}{\overline{B}}}.

Remarques:

  • Soit {F,G} dans {\mathbb{C}(X)} et {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}. Alors {\overline{\lambda F+\mu G}=\overline{\lambda}\;\overline{F}+\overline{\mu}\;\overline{G}}.
  • Soit {F} un élément de {\mathbb{C}(X)}. Alors {F=\overline{F\,}\Leftrightarrow F} est un élément de {\mathbb{R}(X)}.

Composition de deux fractions rationnelles

  • Soit {A=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kX^k} un polynôme, et soit {F} une fraction rationnelle.
    On pose {A(F)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k F^k}. C’est un élément de {\mathbb{K}(X)}.
  • Soit {F} et {G} deux fractions rationnelles, {F} n’étant pas constante.

    Si {G=\dfrac AB}, on pose {G(F)=\dfrac{A(F)}{B(F)}}. C’est un élément de {\mathbb{K}(X)} (on a {B(F)\ne0}).

    On dit que {G(F)} est la composée de la fraction rationnelle {F} par la fraction rationnelle {G}.

  • Posons par exemple {G=\dfrac{X^2+1}{X^3+X-1}}. Alors {G(-X)=\dfrac{X^2+1}{X^3-X-1}}. De même : {G(X^2)=\dfrac{X^4+1}{X^6+X^2-1}\;\text{et}\; G\Bigl(\dfrac1X\Bigr)=\dfrac{\dfrac1{X^2}+1}{\dfrac1{X^3}+\dfrac1X-1}=\dfrac{X^3+X}{-X^3+X^2+1}}
  • On a bien sûr {G(X)=G}. C’est pourquoi on peut noter {G(X)} une fraction rationnelle.

    Degré, partie entière

    Définition (degré d'une fraction rationnelle)
    Soit {F=\dfrac AB} une fraction rationnelle. On dit que {\deg(F)=\deg(A)-\deg(B)} est le degré de {F}.
    Cette définition ne dépend pas du couple {(A,B)} utilisé pour représenter {F}.

    Remarques
    Le degré d’une fraction rationnelle non nulle est un entier relatif, et on a encore {\deg(0)=-\infty}.

    Si la fraction {F} est un polynôme, son degré est le même, qu’on se place dans {\mathbb{K}(X)} ou dans {\mathbb{K}[X]}.

    Comme avec les polynômes, on a les relations : {\begin{cases}\deg(F+G)\le\max(\deg(F),\deg(G))\cr\deg(FG)=\deg(F)+\deg(G)\end{cases}}

    Proposition (partie entière d'une fraction rationnelle)
    Soit {F=\dfrac{A}{B}} une fraction rationnelle à coefficients dans {\mathbb{K}}.
    Alors de manière unique {F=E_{F}+G}, avec {E_{F}} dans {\mathbb{K}[X]}, {G} dans {\mathbb{K}(X)}, et {\deg(G)\lt 0}.
    On dit que le polynôme {E_{F}} est la partie entière de la fraction rationnelle {F}.
    En fait, le polynôme {E_{F}} n’est autre que le quotient dans la division euclidienne de {A} par {B}.

    En effet, si cette division est {A=BQ+R}, on trouve : {F=\dfrac{BQ+R}{B}=Q+\dfrac RB\text{\ aevc\ }\deg(R)\lt \deg(B)}

    Remarques et propriétés

    On a {E_{F}=0} si et seulement si {\deg(A)\lt \deg(B)}. Sinon {\deg(E_{F})=\deg(A)-\deg(B)}.

    Si {\deg(A)=\deg(B)}, alors {E_{F}} est le quotient des coefficients dominants de {A} et {B}.

    Soit {F,G} dans {\mathbb{K}(X)} et {\lambda,\mu} dans {\mathbb{K}}. Alors {E_{\lambda F+\mu G}=\lambda E_{F}+\mu E_{G}}.

    Si {F} est paire (resp. impaire), alors {E_{F}} est un polynôme pair (resp. impair).

    Zéros et pôles, multiplicités

    Définition (pôles d'une fraction rationnelle)
    Soit {F=\dfrac AB} une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible.
    Les deux polynômes {A} et {B}, premiers entre eux, n’ont donc pas de racine commune dans {\mathbb{K}}.
    Soit {\alpha} un élément de {\mathbb{K}}, et {m} un élément de {\mathbb{N}^{*}}.
    On dit que {\alpha} est un zéro de {F} de multiplicité {m} si {\alpha} est un zéro de {A} de multiplicité {m}.
    On dit que {\alpha} est un pôle de {F} de multiplicité {m} si {\alpha} est un zéro de {B} de multiplicité {m}.

    Remarques:

    • Dire {\alpha} est un zéro de {F} de multiplicité {m}, c’est dire que {F=\dfrac{(X-\alpha)^mQ}{B}\text{\ avec\ }\begin{cases}Q(\alpha)\ne0\cr B(\alpha)\ne0\end{cases}}
      De même, dire que {\alpha} est un pôle de {F} de multiplicité {m} c’est dire : {F=\dfrac{A}{(X-\alpha)^mQ}\text{\ avec\ }\begin{cases}A(\alpha)\ne0\cr Q(\alpha)\ne0\end{cases}}
    • On parle de pôle simple si {m=1}, et de pôle multiple si {m>1}.
      On parle de pôle double si {m=2}, triple si {m=3}, etc.
    • Dire que {\alpha} est pôle simple de {F=\dfrac{A}{B}}, c’est dire que {\begin{cases}A(\alpha)\ne0\\B(\alpha)=0,\;B'(\alpha)\ne0\end{cases}}.
      De même, {\alpha} est un pôle double de {F=\dfrac{A}{B}} si {\begin{cases}A(\alpha)\ne0\cr B(\alpha)=B'(\alpha)=0,\;B''(\alpha)\ne0\end{cases}}
    • Soit {F} une fraction rationnelle à coefficients réels.
      Soit {\alpha} un pôle complexe non réel de {F} de multiplicité {m}.
      Alors {\overline{\alpha}} est un pôle de {F} de multiplicité {m}.

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