Divisibilité dans K[X]

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Divisibilité dans {\mathbb{K}[X]}, diviseurs, multiples

Définition (multiples et diviseurs)
Soit {A} et {B} deux éléments de {\mathbb{K}[X]}. On dit que {B} est un diviseur de {A}, ou encore que {A} est un multiple de {B}, et on note {B\mid A}, s’il existe un polynôme {Q} tel que {A=BQ}.
On note {\mathcal{D}(A)} l’ensemble des diviseurs du polynôme {A}, et {A\,\mathbb{K}[X]} l’ensemble de ses multiples.

Remarques sur les notations {\mathcal{D}(A)} et {A\,\mathbb{K}[X]}

Unicité du “quotient exact” quand il y a divisibilité

Si {A=BQ} avec {B\ne0}, alors {Q} (le quotient exact de {A} par {B}) est défini de façon unique.

Étant donnés deux polynômes {A,B}, avec {B\ne0}, il est exceptionnel que {B} divise {A}.
Si cela se produit, on évitera de noter {\dfrac{A}{B}} leur quotient exact.

Cas particuliers des polynômes {0} et {1}

Pour tout polynôme {B}, on a {0=QB} avec {Q=0}. Le polynôme nul est donc un multiple de tout polynôme {B}.
En d’autres termes, tout polynôme {B} de {\mathbb{K}[X]} divise le polynôme nul.
En revanche le polynôme nul ne divise que lui-même (car {A=Q0\Rightarrow A=0}).

On peut résumer ces remarques en écrivant d’une part {\mathcal{D}(0)=\mathbb{K}[X]} et d’autre part {0\mathbb{K}[X]=\{0\}}.

L’égalité évidente {B=1A} dit que le polynôme constant {1} divise tout polynôme {B}, ou encore que tout polynôme de {\mathbb{K}[X]} est multiple du polynôme {1}. Ainsi {1\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[X]}.

Mais seuls les polynômes constants non nuls divisent le polynôme {1} (car {B\mid 1} signifie que {B} est inversible pour le produit, ou encore : {BQ=1\Rightarrow\deg(B)=0}). Ainsi {\mathcal{D}(1)=\mathbb{K}^*}.

Polynômes associés

En posant {A\mid B}, on définit une relation binaire sur {\mathbb{K}[X]}.
Cette relation est réflexive (on a toujours {A\mid A}) et transitive (si {A\mid B} et {B\mid C} alors {A\mid C}).
Cette relation est loin d’être symétrique (si {A\mid B}, on n’a généralement pas {B\mid A}).
Elle n’est pas antisymétrique car {(A\mid B\;\text{et}\; B\mid A)\not\Rightarrow A=B}.
La définition suivante précise ce dernier point :

Définition (polynômes associés)
On dit que deux polynômes {A} et {B} sont associés si {A} divise {B} et si {B} divise {A}.
Proposition (caractérisation des couples de polynômes associés)
Soit {(A,B)} un couple de polynômes de {\mathbb{K}[X]}.
Alors {A} et {B} sont associés si et seulement si il existe un scalaire non nul {\lambda} tel que {B=\lambda A}.
Définition (normalisé d'un polynôme non nul)
Soit {A} un polynôme non nul, et soit {a_{d}} son coefficient de plus haut degré.
Le polynôme unitaire {A^{*}=\dfrac{1}{a_{d}}A} est appelé le normalisé du polynôme {A}.

Quelques propriétés

  • Dire que deux polynômes non nuls sont associés, c’est dire qu’ils ont le même normalisé.
  • Si deux polynômes unitaires {A} et {B} se divisent mutuellement, alors ils sont égaux.
  • Pour tous polynômes {A,B}, on a les équivalences : {A\,\mathbb{K}[X]\subset B\,\mathbb{K}[X]\Leftrightarrow B\mid A\Leftrightarrow\mathcal{D}(B)\subset\mathcal{D}(A)}
    On en déduit, pour {A,B} non nuls : {A\,\mathbb{K}[X]=B\,\mathbb{K}[X]\Leftrightarrow A^*=B^*\Leftrightarrow\mathcal{D}(A)=\mathcal{D}(B)}
  • Soit {A} un polynôme non nul, et soit {A^{*}} son normalisé.
    Alors {A^*} est l’unique polynôme unitaire tel que {\mathcal{D}(A^*)=\mathcal{D}(A)}.
    De même {A^{*}} est l’unique polynôme unitaire tel que {A\mathbb{K}[X]=A^*\mathbb{K}[X]}.

Théorème de la division euclidienne

Proposition (division euclidienne des polynômes)
Soit {A} et {B} deux éléments de {\mathbb{K}[X]}, avec {B\ne0}.
Il existe un unique couple {(Q,R)} de polynômes tels que {\begin{cases}A=QB+R\cr \deg(R)\lt \deg B\end{cases}}

Le passage du couple {(A,B)} au couple {(Q,R)} s’appelle division euclidienne de {A} par {B}.
Dans cette division, {A} est le dividende, {B} le diviseur, {Q} le quotient et {R} le reste.

Remarques

Il ne faut jamais oublier de mentionner la condition {\deg(R)\lt \deg(B)}.
Si {\deg(A)\lt \deg(B)}, la division euclidienne de {A} par {B} s’écrit {A=0B+A}.
Si {B\ne0}, dire que {B} divise {A}, c’est dire que le reste dans la division de {A} par {B} est nul.

Un exemple de division euclidienne

On divise ici {A=X^5+2X^3-X^2-4X+3} par le polynôme {B=X^2+3X+1} : {\begin{array}{cccccc|cccc}X^5&&+2X^3&-X^2&-4X&+3&&X^2&+3X&+1\\\\&-3X^4&+X^3&-X^2&-4X&+3&&X^3&-3X^2&+10X&-28\cr &&10X^3&+2X^2&-4X&+3&&&\cr &&&-28X^2&-14X&+3&\cr &&&&70X&+31&\end{array}}

Ainsi {A=BQ+R} avec {\begin{cases}Q=X^3-3X^2+10X-28\\ R=70X+31\end{cases}}

Division euclidienne dans {\mathbb{R}[X]} puis dans {\mathbb{C}[X]}

Soit {A,B} deux éléments de {\mathbb{R}[X]}, le polynôme {B} étant non nul.

Soit {A=BQ+R} la division euclidienne de {A} par {B} dans {\mathbb{R}[X]}.
Par unicité, cette égalité représente aussi la division euclidienne de {A} par {B} dans {\mathbb{C}[X]}.

Cette propriété est souvent utilisée de la manière suivante : on part d’une division euclidienne dans {\mathbb{R}[X]}, et on la considère momentanément comme une division dans {\mathbb{C}[X]}, ce qui permet de substituer à {X} des valeurs complexes (notamment des racines complexes de {B}, voir plus loin).

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