Dérivation des polynômes

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Dérivée formelle d’un polynôme

On rappelle que {\mathbb{K}} désigne indifféremment {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

Définition (polynôme dérivé formel)
Soit {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} dans {\mathbb{K}[X]}.
Le polynôme {A'=\displaystyle\sum_{k\ge0}(k+1)a_{k+1}X^k} est appelé polynôme dérivé de {A}.

Il s’agit ici d’une dérivée “formelle”, c’est-à-dire purement symbolique.
Mais si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, alors la fonction polynomiale associée au polynôme {A'} est bien la dérivée (au sens habituel donné à ce nom) de la fonction polynomiale associée à {A}.
En revanche si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}, ça n’a aucun sens de parler de fonction dérivée.

Remarques et propriétés

  • Si {A=aX^3+bX^2+cX+d} alors {A'=3aX^2+2bX+c}.
  • Si {A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kX^k}, alors {A'=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)a_{k+1}X^{k}}, ou encore {A'=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\,a_kX^{k-1}}.
  • Si {\deg(A)\ge1} on a {\deg(A')=\deg(A)-1}.
    Pour cette raison, {A'} est le polynôme nul si et seulement si {A} est un polynôme constant.
    Plus généralement : {\forall\, (A,B)\in\mathbb{K}[X]^2,\;A'=B'\Leftrightarrow\exists\,\lambda\in\mathbb{K},\;A=B+\lambda}.
Définition (polynômes dérivés successifs)
Soit {A} dans {\mathbb{K}[X]}.
On définit les polynômes dérivés successifs de {A} par {\begin{cases}A^{(0)}=A\\\forall\, m\in\mathbb{N}, A^{(m+1)}=(A^{(m)})'\end{cases}}

On dit que {A^{(m)}} est le polynôme dérivé {m}-ième de {A}.

On note bien sûr {A'} et {A''} plutôt que {A^{(1)}} et {A^{(2)}}.

Proposition (polynômes dérivés d'une combinaison linéaire)
Soit {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, et {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}.
Pour tout {m} de {\mathbb{N}}, on a {(\alpha A+\beta B)^{(m)}=\alpha A^{(m)}+\beta B^{(m)}}.

Si {m\le k}, on a {(X^k)^{(m)}=k(k-1)\cdots(k-m+1)X^{k-m}=\dfrac {k!}{(k-m)!}X^{k-m}}.
En particulier, {(X^m)^{(m)}=m!}, et {(X^k)^{(m)}=0} si {m>k}.

Plus généralement, si {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kX^k}, alors :{A^{(m)}=\displaystyle\sum_{k\ge m}\dfrac{k!}{(k-m)!}\,a_{k}X^{k-m}=\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{(k+m)!}{k!}\,a_{k+m}X^k}

Dérivation et degré

Si {m\le \deg(A)}, alors {\deg(A^{(m)})=\deg(A)-m}. Mais si {m>\deg A} alors {A^{(m)}=0}.

On a donc {A^{(m)}=0} si et seulement si {A} est de degré strictement inférieur à {m}.

Si {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} est de degré {n}, alors {A^{(n)}} est le polynôme constant {n!\,a_n}.

Proposition (formule de Leibniz pour les polynômes)
Soit {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, et {m} dans {\mathbb{N}}. On a {(AB)^{(m)}=\displaystyle\sum_{k=0}^m \dbinom{m}{k}\,A^{(k)}B^{(m-k)}}.

On retrouve {(AB)'=A'B+AB'}, mais aussi {\begin{cases}(AB)''=A''B+2A'B'+AB''\cr (AB)'''=A'''B+3A''B'+3A'B''+AB'''\end{cases}}

On se méfiera de l’analogie entre {(AB)^{(n)}} dans {\mathbb{K}[X]} et {(a+b)^n} dans {\mathbb{K}}.

En effet on a {A^{(0)}=A} et {B^{(0)}=B} “aux extrémités”, alors que dans {\mathbb{K}} on a {a^0=b^0=1}.

Formule de Taylor polynomiale

Proposition (formule de Taylor en un point)
Soit {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} un élément de {\mathbb{K}[X]}, et soit {\lambda} un élément de {\mathbb{K}}.
Alors {A=A(\lambda)+A'(\lambda)(X-\lambda)+\dfrac{A''(\lambda)}{2!}(X-\lambda)^2+\cdots=\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{A^{(k)}(\lambda)}{k!}(X-\lambda)^k}

Remarques

La somme précédente est finie, et si {\deg(A)=n} son dernier terme est {\dfrac{A^{(n)}(\lambda)}{n!}(X-\lambda)^n}.

La formule de Taylor montre qu’un polynôme est déterminé par ses dérivées successives en un point.

Le cas particulier {\lambda=0} est connu sous le nom de formule de Mac Laurin.
Si {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k}, cette formule s’écrit {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{A^{(k)}(0)}{k!}\,X^k}.
Ainsi {\forall\, k\ge0, a_k=\dfrac{A^{(k)}(0)}{k!}} et on a l’équivalence : {A(X)={\textstyle\displaystyle\sum_{k\ge0}}\dfrac{A^{(k)}(\lambda)}{k!}(X-\lambda)^k\Leftrightarrow A(X+\lambda)={\textstyle\displaystyle\sum_{k\ge0}}\dfrac{A^{(k)}(\lambda)}{k!}X^k}

Un exemple

On considère le polynôme {A=X^4+2X^3-X+1} et le scalaire {\lambda=2}.

On trouve {\begin{cases}A'=4X^{3}+6X^{2}-1\\A''=12X^{2}+12X\end{cases}}, puis {\begin{cases}A^{(3)}=24X+12\\A^{(4)}=24\end{cases}} et {A^{(5)}=0}.

Ainsi {\begin{cases}A(2)=31\\A'(2)=55\end{cases}}, {\begin{cases}A''(2)=72\\A^{(3)}(2)=60\end{cases}} {\begin{cases}A^{(4)}(2)=24\\A^{(n)}(2)=0\text{\ pour\ }n\ge5\end{cases}}

La formule de Taylor de {A} au point {2} s’écrit donc : {\begin{array}{rl}A(X)&=A(2)+A'(2)(X\!-\!2)+\dfrac{A''(2)}{2!}(X\!-\!2)^{2}+\dfrac {A^{(3)}(2)}{3!}(X\!-\!2)^{3}+\dfrac{A^{(4)}(2)}{4!}(X\!-\!2)^{4}\\\\&=31+55(X\!-\!2)+36(X-2)^{2}+10(X\!-\!2)^{3}+(X\!-\!2)^{4}\end{array}}
On aurait tout aussi bien pu écrire : {\begin{array}{rl}A(X\!+\!2)&=(X\!+\!2)^{4}+2(X\!+\!2)^{3}-(X\!+\!2)+1\\\\&=(X^{4}+8X^{3}+24X^{2}+32X+16)\\\\&\qquad+2(X^{3}+6X^{2}+12X+8)-(X+2)+1\\\\&=X^{4}+10X^{3}+36X^{2}+55X+31\end{array}}
et on retrouve bien : {A(X)=31+55(X\!-\!2)+36(X\!-\!2)^{2}+10(X\!-\!2)^{3}+(X\!-\!2)^{4}}

Proposition (caractérisation de la multiplicité par les dérivées successives)
Soit {A} dans {\mathbb{K}[X]}, {\alpha} dans {\mathbb{K}}, et {m} dans {\mathbb{N}}.
Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

  • {\alpha} est racine de {A} avec la multiplicité {m}
  • {\begin{cases}A(\alpha)=A'(\alpha)=\cdots=A^{(m-1)}(\alpha)=0\\ A^{(m)}(\alpha)\ne0\end{cases}}

La multiplicité d’une racine {\alpha} de {A} est donc l’ordre de la première dérivée non nulle en {\alpha}.

Exemples

  • {\alpha} est racine simple de {A} si et seulement si {\begin{cases}A(\alpha)=0\\ A'(\alpha)\ne0\end{cases}}
  • {\alpha} est racine multiple de {A} si et seulement si {\begin{cases}A(\alpha)=0\\ A'(\alpha)=0\end{cases}}
  • {\alpha} est racine double de {A} si et seulement si {\begin{cases}A(\alpha)=A'(\alpha)=0\\A''(\alpha)\ne0\end{cases}}
  • {\alpha} est racine triple de {A} si et seulement si {\begin{cases}A(\alpha)=A'(\alpha)=A''(\alpha)=0\\A'''(\alpha)\ne0\end{cases}}
Proposition (racines de A et racines de A')
Soit {A} dans {\mathbb{K}[X]}, {\alpha} dans {\mathbb{K}}, et {m} dans {\mathbb{N}}.
Si {\alpha} est racine de {A} de multiplicité {m\ge1}, alors {\alpha} est racine de {A'} de multiplicité {m-1}.
Si {\alpha} est racine de {A'} de multiplicité {m}, et si {A(\alpha)=0}, alors {\alpha} est racine de {A} de multiplicité {m+1}.

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