Décomposition en éléments simples

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Décomposition en éléments simples dans {\mathbb{C}(X)}

Proposition (forme de la décomposition en éléments simples dans ℂ(X))
Soit {F=\dfrac AB} une fraction rationnelle à coefficients complexes, écrite sous forme irréductible.
Soit {\alpha_1,\ldots,\alpha_p} les pôles distincts de {F}, de les multiplicités respectives {r_1,\ldots,r_p}.
Alors {F} s’écrit de manière unique {F=E_{F}+{\displaystyle\sum_{k=1}^p}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{r_k}\dfrac{\lambda_{k,j}}{(X-\alpha_k)^j}\right)}

{E_{F}} est la partie entière de {F} et où les {\lambda_{k,j}} sont des éléments de {\mathbb{C}}.
Cette écriture est appelée décomposition en éléments simples de {F} dans {\mathbb{C}(X)}.

Par exemple, considérons la fraction rationnelle suivante : {F=\dfrac{X^{12}+1}{X^{4}(X-i)^{2}(X+1)(X-j)^{3}}}

Le degré de {F} est : {12-(4+2+1+3)=2}.

Les racines de son dénominateur sont {0,i,-1,j} et aucune d’elles n’est racine du numérateur.

La fraction rationnelle {F} est donc écrite sous forme irréductible.

Ses pôles sont {0} (quadruple), {i} (double), {-1} (simple) et {j} (triple).

Sa décomposition en éléments simples dans {\mathbb{C}(X)} s’écrit donc sous la forme : {\begin{array}{rrll}F(X)&=&a X^{2}+bX+c&\text{(partie entière de F, ici un polynôme de degré 2)}\\\\&+&\dfrac{\alpha_{4}}{X^{4}}+\dfrac{\alpha_{3}}{X^{3}}+\dfrac{\alpha_{2}}{X^{2}}+\dfrac{\alpha_{1}}{X}&\text{(partie polaire relative au pôle quadruple 0)}\\\\&+&\dfrac{\beta_{2}}{(X-i)^{2}}+\dfrac{\beta_{1}}{X-i}&\text{(partie polaire relative au pôle double i)}\\\\&+&\dfrac{\gamma_{1}}{X+1}&\text{(partie polaire relative au pôle simple -1)}\\\\&+&\dfrac{\delta_{3}}{(X-j)^{3}}+\dfrac{\delta_{2}}{(X-j)^{2}}+\dfrac{\delta_{1}}{X-j}&\text{(partie polaire relative au pôle triple j)}\end{array}}
Le calcul de tous ces coefficients demande une technicité qui n’est pas dans l’esprit du programme.
On se contentera donc, dans la suite de cette section, de situations assez élémentaires.

Décomposition dans {\mathbb{R}(X)} quand le dénominateur est scindé

Ce qui précède s’applique aux fractions rationnelles réelles dont le dénominateur est scindé dans {\mathbb{R}[X]}.

Dans ce cas, les coefficients qui apparaissent dans la décomposition sont tous des nombres réels.

Par exemple, considérons la fraction rationnelle irréductible {F(X)=\dfrac{X^{3}+X+1}{X^{5}(X-1)^{2}}}.

Le degré de {F} est {-4} : il est strictement négatif donc la partie entière {E_{F}} est nulle.

Ses pôles sont {0} (multiplicité {5}), et {1} (multiplicité {2}).

Sa décomposition en éléments simples dans {\mathbb{R}(X)} s’écrit donc sous la forme : {F(X)=\dfrac{\alpha_{5}}{X^{5}}+\dfrac{\alpha_{4}}{X^{4}}+\dfrac{\alpha_{3}}{X^{3}}+\dfrac{\alpha_{2}}{X^{2}}+\dfrac{\alpha_{1}}{X}+\dfrac {\beta_{2}}{(X-1)^{2}}+\dfrac{\beta_{1}}{X-1}}
(où les {\alpha_{k}} et les {\beta_{k}} sont réels)

Décomposition en éléments simples dans {\mathbb{R}(X)}

Proposition (forme de la décomposition en éléments simples dans ℝ(X))
Soit {F=\dfrac AB} une fraction rationnelle à coefficients réels, écrite sous forme irréductible.
Soit {B=\lambda\displaystyle\prod_{k=1}^p(X-\alpha_k)^{r_k}\displaystyle\prod_{k=1}^q(X^2+b_kX+c_k)^{s_k}} la factorisation de {B} dans {\mathbb{R}[X]}.
Alors {F} s’écrit de manière unique : {F=E_{F}+\displaystyle\sum_{k=1}^p\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{r_k}\dfrac{\lambda_{k,j}}{(X-\alpha_k)^j}\right)+\displaystyle\sum_{k=1}^q\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{s_k}\dfrac{c_{k,j}X+d_{k,j}}{(X^2+b_kX+c_k)^j}\right)}

{E_{F}} est la partie entière de {F} et où les {\lambda_{k,j},\,c_{k,j},\,d_{k,j}} sont des réels.
Cette écriture est appelée décomposition en éléments simples de {F} dans {\mathbb{R}(X)}.

Dans la décomposition de la fraction rationnelle {F} dans {\mathbb{R}(X)} :

  • les fractions {\dfrac{\lambda_{k,j}}{(X-\alpha_k)^j}} sont appelées éléments simples de première espèce.
  • les fractions {\dfrac{c_{k,j}X+d_{k,j}}{(X^2+b_kX+c_k)^j}}sont appelées éléments simples de seconde espèce.

Par exemple, soit la fraction rationnelle irréductible {F(X)=\dfrac{64\,X^{13}}{(X+1)^{2}(X^{2}+1)^{2}(X^{2}+X+1)(X-1)^{3}}}
Le degré de {F} est {13-(2+4+2+3)=2} : il y a donc une partie entière de degré {2}.

Ses pôles réels sont {-1} (multiplicité {2}), et {1} (multiplicité {3}).

Les deux facteurs {X^{2}+1} et {X^{2}+X+1} sont irréductibles dans {\mathbb{R}[X]}.

La décomposition de {F} en éléments simples dans {\mathbb{R}(X)} s’écrit donc sous la forme : {\begin{array}{rrll}F(X)&=&a X^{2}+bX+c&\text{(partie entière de F, ici un polynôme de degré 2)}\\\\&+&\dfrac{\alpha_{2}}{(X+1)^{2}}+\dfrac{\alpha_{1}}{X+1}&\text{(partie polaire relative au pôle double -1)}\\\\&+&\dfrac{\beta_{2}X+\gamma_{2}}{(X^{2}+1)^{2}}+\dfrac{\beta_{1}X+\gamma_{1}}{X^{2}+1}&\text{(partie relative au facteur }(X^2+1)^2\\\\&+&\dfrac{\delta_{1}X+\lambda_{1}}{X^{2}+X+1}&\text{(partie relative au facteur }X^2+X+1)\\\\&+&\dfrac{\mu_{3}}{(X-1)^{3}}+\dfrac{\mu_{2}}{(X-1)^{2}}+\dfrac{\mu_{1}}{X-1}&\text{(partie polaire relative au pôle réel triple 1)}\end{array}}

Autre exemple, considérons la fraction rationnelle {F=\dfrac {1}{(X^{2}+1)^{4}(X^{2}-X+1)^{3}}}

Sa décomposition en éléments simples dans {\mathbb{R}(X)} est : {\begin{array}{rl}F(X)&=-\dfrac{X}{(X^2+1)^4}-\dfrac{2X+3}{(X^2+1)^3}+\dfrac{3X-6}{(X^2+1)^2}+\dfrac{14X+1}{X^{2}+1}\\\\&+\dfrac{X-1}{(X^2-X+1)^{3}}-\dfrac{2X+3}{(X^2-X+1)^{2}}-\dfrac{14X+13}{X^2-X+1}\end{array}}

Cas d’un pôle simple

Soit {F(X)=\dfrac{A(X)}{B(X)}} un élément de {\mathbb{K}(X)} admettant {\alpha} comme pôle simple.

Ainsi {A(\alpha)\ne0}, et on peut écrire {F(X)=\dfrac{A(X)}{(X-\alpha)Q(X)}} avec {Q(\alpha)\ne0}.

La décomposition de {F} s’écrit {F(X)=\dfrac\lambda{X-\alpha}+G(X)}, où {\alpha} n’est pas un pôle de {G}.

Après produit par {X-\alpha}, on trouve {\dfrac{A(X)}{Q(X)}=\lambda+(X-\alpha)G(X)}, donc {\lambda=\dfrac{A(\alpha)}{Q(\alpha)}}.

Dans la pratique, on multiplie {F} par {X-\alpha}, et après simplification on substitue {\alpha} à {X}.

Cette méthode est très adaptée au cas (fréquent) où {B} est factorisé.

On remarque également que {B'(X)=(X-\alpha)Q'(X)+Q(X)}, donc {B'(\alpha)=Q(\alpha)}.

Le coefficient {\lambda} peut donc aussi s’écrire : {\lambda=\dfrac{A(\alpha)}{B'(\alpha)}}.

Cette dernière méthode est adaptée au cas où {B} n’est pas factorisé (cf deuxième exemple ci-dessous).

Un premier exemple

On se propose de décomposer {F=\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)\cdots(X+n)}} dans {\mathbb{R}(X)}.

Les pôles sont {0,-1,-2,\ldots,-n}, tous de multiplicité {1}.

La forme de la décomposition est donc : {F=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{\lambda_k}{X+k}}.

Le scalaire {\lambda_k} s’obtient en multipliant {F} par {X+k} et en substituant {-k} à {X}. On trouve : {\begin{array}{rl}\lambda_k&=\displaystyle\prod_{j\ne k}\dfrac1{-k+j}=\displaystyle\prod_{j=0}^{k-1}\dfrac1{j-k}\displaystyle\prod_{j=k+1}^{n}\dfrac1{j-k}\\\\&=(-1)^k\displaystyle\prod_{i=1}^{k}\dfrac1{i}\,\displaystyle\prod_{i=1}^{n-k}\dfrac1i=\dfrac{(-1)^k}{k!(n-k)!}=\dfrac{(-1)^k}{n!}\dbinom nk \end{array}}
Conclusion : {F=\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)\cdots(X+n)}=\dfrac 1{n!}\,\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk\dfrac{(-1)^k}{X+k}}

Par exemple, si {n=3}, on la décomposition : {\begin{array}{l}\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)(X+3)(X+3)}\\\\\quad=\dfrac {1}{24X}-\dfrac{1}{6(X+1)}+\dfrac{1}{4(X+2)}-\dfrac{1}{6(X+3)}+\dfrac{1}{24(X+4)}\end{array}}

Un deuxième exemple

On se propose de décomposer {F=\dfrac{1}{X^n-1}} dans {\mathbb{C}(X)}.

Ici {F=\dfrac{A}{B}}, avec {\begin{cases}A=1\cr B=X^n-1\end{cases}} et les pôles (simples) sont les racines {n}-ièmes {\omega_k} de l’unité.

Pour tout {k} de {\{0,\ldots,n-1\}}, on a {\dfrac{A(\omega_k)}{B'(\omega_k)}=\dfrac{1}{n\,\omega_k^{n-1}}=\dfrac{\omega_k}{n}}.

La décomposition en éléments simples de {F} s’écrit donc {\dfrac1{X^n-1}=\dfrac1n\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{\omega_k}{X-\omega_k}}.

Par exemple : {\dfrac{1}{X^{4}-1}=\dfrac{1}{4(X-1)}+\dfrac{i}{4(X-i)}-\dfrac{1}{4(X+1)}-\dfrac{i}{4(X+i)}}.

Décomposition en éléments simples de {P\,'/P}

Soit {P} un polynôme scindé dans {\mathbb{K}[X]}.

On se propose de décomposer {F=\dfrac{P'}{P}} dans {\mathbb{K}(X)}.

Soit {\alpha} une racine de {P}, avec la multiplicité {m\ge1}.

On peut donc écrire {P(X)=(X-\alpha)^mQ(X)}, avec {Q(\alpha)\ne0}.

On en déduit {P'(X)=(X-\alpha)^{m-1}(mQ(X)+(X-\alpha)Q'(X))}, donc {\dfrac{P'}{P}=\dfrac{m}{X-\alpha}+\dfrac{Q'}{Q}}.

Ainsi {\dfrac{m}{X-\alpha}} représente la partie polaire de {F} pour le pôle {\alpha}.

On peut conclure de la façon suivante :

Proposition (décomposition en éléments simples de P'/P)
Soit {P} un polynôme scindé dans {\mathbb{K}[X]}.
Soit {\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{r}} les racines distinctes de {P} dans {\mathbb{K}}, de multiplicités respectives {m_1,\ldots,m_r}.
Alors la décomposition de {\dfrac{P'}{P}} dans {\mathbb{K}(X)} est : {\dfrac{P'}{P}=\displaystyle\sum_{k=1}^r\dfrac{m_k}{X-\alpha_k}}.

Par exemple, is {P=X^{4}(X-1)^{2}(X+1)^{3}(X-3)}, alors {\dfrac{P'}{P}=\dfrac{4}{X}+\dfrac{2}{X-1}+\dfrac{3}{X+1}+\dfrac{1}{X-3}}

Remarques

Soit {P=\lambda\displaystyle\prod_{k=1}^{r}(X-\alpha_{k})^{m_{k}}} un polynôme scindé dans {\mathbb{K}[X]}.

  • Les pôles de {\dfrac{P'}{P}} sont les racines de {P}, et ce sont tous des pôles simples.
  • Le pgcd de {P} et de {P'} est : {P\wedge P'=\displaystyle\prod_{k=1}^{r}(X-\alpha_{k})^{m_{k}-1}}.

Pratique de la décomposition en éléments simples

Les méthodes précédentes permettent de décomposer en éléments simples dans {\mathbb{R}(X)} ou dans {\mathbb{C}(X)}, dans les cas usuels (le programme de la classe de MPSI demande expressément de “limiter la technicité des exercices”). On va tout de même décrire ici un certain nombre d’idées permettant de faciliter la recherche de telles décompositions dans des situations plus techniques.

Décomposition dans {\mathbb{C}(X)} d’une fraction à coefficients réels

Soit {F=\dfrac AB} un élément de {\mathbb{R}(X)}.

On peut considérer {F} comme un élément de {\mathbb{C}(X)} et la décomposer en tant que telle.
Cette décomposition dans {\mathbb{C}(X)} est nécessairement invariante par conjugaison.
Il en résulte par exemple que la partie entière de {F} est un polynôme réel.
Il en résulte également que les parties polaires sont conjuguées deux à deux.

Plus précisément, si {\alpha} et {\overline{\alpha}} sont deux pôles conjugués non réels de {F}, de multiplicité {m}, les parties polaires s’écrivent respectivement : {\displaystyle\sum_{k=1}^m\dfrac{\lambda_k}{(X-\alpha)^k}\;\text{et}\;\displaystyle\sum_{k=1}^m\dfrac{\overline{\lambda_k}}{(X-\overline{\alpha})^k}}.

Cette idée permet donc de diminuer de moitié environ le nombre d’inconnues.

Il est également possible d’utiliser la décomposition dans {\mathbb{C}(X)} d’une fraction rationnelle réelle {F} pour obtenir sa décomposition dans {\mathbb{R}} après regroupement des termes conjugués. Cette méthode n’est envisageable que si les pôles non réels sont de multiplicité {1}.

Utilisation de la parité ou de l’imparité

Si une fraction rationnelle est paire ou impaire, sa décomposition doit refléter cette propriété.

Si on exprime cette invariance par les transformations {X\mapsto F(-X)} ou {X\mapsto -F(-X)}, on en déduit des relations sur les coefficients (le nombre d’inconnues diminue environ de moitié).

Il est possible que la fraction rationnelle {F} soit invariante (ou changée en son opposée) par une autre transformation “simple”, comme : {X\mapsto \lambda-X}. La décomposition de {F} doit refléter la même invariance. Exprimer cette invariance donne là encore des relations sur les coefficients inconnus.

Injection de valeurs particulières

Quand il reste peu de coefficients à calculer, il peut être intéressant d’injecter, dans l’égalité entre {F} et sa décomposition, une ou plusieurs valeurs qui ne sont pas des pôles de {F}.

Si {F} est dans {\mathbb{R}(X)}, on peut injecter une valeur complexe (comme {i} ou {j}), l’identification donnant alors deux relations entre les coefficients réels inconnus.

Utilisation de la méthode {\lim\limits_{x\to\infty}xF(x)}

On suppose ici que le degré de {F} est strictement négatif (la partie entière est donc nulle).

La décomposition de {F} fait apparaître des termes du type {\dfrac{\lambda_k}{X-\alpha_k}} ou {\dfrac{a_kX+b_k}{X^2+\beta_kX+\gamma_k}}.

Le calcul de {\lim\limits_{x\to\infty}x F(x)} donne alors une relation liant les coefficients {\lambda_k} et {a_k}.

Cette méthode est intéressante quand il ne reste plus qu’un ou deux coefficients à calculer.

Compléments sur quelques exemples

Décomposer {F=\dfrac{1}{X^{2n}-1}} dans {\mathbb{R}(X)}
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Décomposer {F=\dfrac{X^5}{(X-1)^4}} dans {\mathbb{R}(X)}
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Décomposer {F=\dfrac{1}{(X^n-1)^2}} dans {\mathbb{C}(X)}
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Décomposer {F=\dfrac{1}{X^3(X^2-1)}} dans {\mathbb{R}(X)}
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Décomposer {F=\dfrac{1}{X(X^2+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)}} dans {\mathbb{R}(X)}
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Décomposer {F=\dfrac{X^8}{(X^2-X+1)^3}} dans {\mathbb{R}(X)}
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