Arithmétique dans K[X]

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Pgcd de deux polynômes {A} et {B}

Rappelons que l’ensemble des diviseurs du polynôme nul est {\mathcal{D}(0)=\mathbb{K}[X]}.
En revanche, si {A\ne 0}, tous les polynômes de {\mathcal{D}(A)} sont de degré inférieur ou égal à {\deg(A)}.

Dans la suite, on considère deux polynômes {A} et {B} de {\mathbb{K}[X]} dont l’un au moins est non nul.
Il en résulte que {\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)} contient des polynômes non nuls (par exemple le polynôme {1}), mais que ceux-ci sont tous de degré inférieur ou égal à {\min(\deg(A),\deg(B))}.

Définition (pgcd de A et B, avec A≠0 ou B≠0)
Soit {A} et {B} deux polynômes de {\mathbb{K}[X]}, dont l’un au moins est non nul.
L’ensemble des diviseurs communs à {A} et {B} possède des polynômes de degré maximum {d\ge0}.
Tout polynôme {D} de {\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)} et de degré {d} est appelé un pgcd de {A} et de {B}.

Contrairement au pcgd des entiers, le pgcd de deux polynômes n’est pas défini de façon unique.
Plus précisément, on a le résultat suivant :

Proposition (le pgcd est défini à association près)
Soit {A} et {B} deux polynômes de {\mathbb{K}[X]}, dont l’un au moins est non nul.
Soit {D} un pgcd de {A} et {B}. Soit {\Delta} un polynôme de {\mathbb{K}[X]}.
Alors {\Delta} est un pcgd de {A} et {B} si et seulement si {D} et {\Delta} sont associés.
En particulier, {A} et {B} possèdent un pcgd unitaire et un seul. Celui est noté {A\wedge B}.

Premières propriétés

Rappelons qu’on note {A^{*}} le normalisé d’un polynôme {A} non nul.

Pour tous polynômes {A} et {B}, on a : {A\wedge B=B\wedge A,\quad A\wedge 0=A^{*}\text{\ (si\ }A\ne0),\quad A\wedge 1=1}
On a l’égalité {A\wedge B=A^{*}} si et seulement si {A} est un diviseur de {B}.

Le polynôme {A\wedge B}, et ses diviseurs, sont des diviseurs communs à {A} et {B}. On verra que la réciproque est vraie : les diviseurs communs à {A} et {B} sont aussi des diviseurs de {A\wedge B}.

On peut (éventuellement) poser {0\wedge 0=0}.

Algorithme d’Euclide

Proposition (pgcd et division euclidienne)
Soit {A}, {B} et {Q} trois polynômes. Alors {\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)=\mathcal{D}(B)\cap\mathcal{D}(A-QB)}.
Autrement dit, les diviseurs communs de {A} et {B} sont exactement ceux de {B} et {A-QB}.
En particulier, si {R} est le reste dans la division de {A} par {B}, on a {\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)=\mathcal{D}(B)\cap\mathcal{D}(R)}.

Un application répétée de ce principe conduit à l’algorithme d’Euclide :

Proposition (algorithme d'Euclide)
Soit {A} et {B} deux polynômes non nuls. On veut calculer {A\wedge B}.
On forme une suite finie de polynômes {R_{k}}, à commencer par {R_{0}=A} et {R_{1}=B}.
Soit {k\ge1}. On suppose que {R_{k-1}} et {R_{k}} sont connus.
Si {R_{k}} est non nul, on note {R_{k-1}=Q_{k}R_{k}+R_{k+1}} la division euclidienne de {R_{k-1}} par {R_{k}}.
Sous l’hypothèse {R_{k}\ne0}, on a donc défini {R_{k+1}}, avec {0\le\deg(R_{k+1})\lt \deg(R_{k})}.
La suite de polynômes {(R_{k})_{k\ge1}} est finie car la suite de leurs degrés est strictement décroissante. Il existe donc un {n} de {\mathbb{N}} tel que {R_n\ne0} et {R_{n+1}=0}.
Avec ces notations, on a : {A\wedge B=R_n^{*}}.
Ainsi {A\wedge B} est le normalisé du dernier reste non nul dans cette succession de divisions.

On peut considérer l’algorithme d’Euclide comme une nouvelle définition du pgcd (c’est le normalisé du dernier reste non nul dans la succession des divisions).

Les propriétés suivantes sont alors des conséquences de cette définition algorithmique.
On sait par exemple (depuis la toute première définition) que le polynôme {A\wedge B} divise {A} et {B}.
Mais l’algorithme d’Euclide donne la réciproque : si un polynôme divise {A} et {B}, alors il divise leur pgcd.
On aboutit ainsi à la caractérisation suivante du polynôme unitaire {D=A\wedge B} :

Proposition (caractérisation du pgcd)
Soit {A} et {B} deux polynômes de {\mathbb{K}[X]}, dont l’un au moins est non nul. Soit {D=A\wedge B}.
Le polynôme {D} est le seul polynôme unitaire tel que {\mathcal{D}(D)=\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(B)}.

La proposition suivante montre qu’on peut effectuer une mise en facteur (ou une simplification par un facteur commun) dans un calcul de pgcd.

Proposition (mise en facteur dans un calcul de pgcd)
Soit {A} et {B} deux polynômes de {\mathbb{K}[X]}, dont l’un au moins est non nul.
Pour tout polynôme non nul {C}, on a l’égalité : {(CA)\wedge(CB)=C^{*}\,(A\wedge B)}.

Relation de Bézout

Proposition (relation de Bézout entre deux polynômes)
Soit {A} et {B} deux polynômes de {\mathbb{K}[X]}, dont l’un au moins est non nul.
Alors il existe des polynômes {U_{0}} et {V_{0}} tels que {A\wedge B=AU_{0}+BV_{0}}.
Un telle égalité s’appelle une relation de Bézout entre {A} et {B}.
On dit que le couple {(U_{0},V_{0})} constitue un couple de coefficients de Bézout de {A} et {B}.
Proposition (combinaisons AU+BV de deux polynômes A et B)
Soit {A} et {B} deux polynômes de {\mathbb{K}[X]}, dont l’un au moins est non nul.
L’ensemble {\{AU+BV,\;U\in\mathbb{K}[X],\;V\in\mathbb{K}[X]\}} est l’ensemble des multiples de {A\wedge B}.

Recherche d’un couple de coefficients de Bézout
Pour trouver un couple de coefficients de Bézout de deux polynômes non nuls {A} et {B}, il suffit de “remonter les calculs” dans l’algorithme d’Euclide (s’inspirer de ce qui a été fait avec les entiers).

Ppcm de deux polynômes

Dans la suite, on considère deux polynômes non nuls {A} et {B}.

L’intersection {A\mathbb{K}[X]\cap B\mathbb{K}[X]} désigne l’ensemble des multiples communs à {A} et {B}.
Cet ensemble contient des polynômes non nuls, et par exemple le produit {AB}. L’ensemble des degrés de ces multiples communs non nuls possède donc un plus petit élément, ce qui conduit à la définition suivante :

Définition (ppcm de deux polynômes non nuls)
Soit {A} et {B} deux polynômes non nuls de {\mathbb{K}[X]}.
Soit {m} le degré minimum d’un polynôme parmi tous les multiples communs non nuls de {A} et {B}.
Tout multiple commun de {A} et {B}, de degré {m}, est appelé un ppcm de {A} et {B}.

Tout comme le pgcd, le ppcm de deux polynômes n’est pas défini de façon unique.
Plus précisément, on a le résultat suivant :

Proposition (le ppcm est défini à association près)
Soit {A} et {B} deux polynômes non nuls de {\mathbb{K}[X]}.
Soit {M} un ppcm de {A} et {B}. Soit {N} un polynôme de {\mathbb{K}[X]}.
Alors {N} est un ppcm de {A} et {B} si et seulement si {M} et {N} sont associés.
En particulier, {A} et {B} possèdent un ppcm unitaire et un seul. Celui est noté {A\vee B}.

Premières propriétés

Il est clair qu’on a les égalités {A\vee B=B\vee A}, et {A\vee 1=A^{*}} (normalisé de {A}).
On a l’égalité {A\vee B=A^{*}} si et seulement si {A} est un multiple de {B}.

Le polynôme {A\vee B} et ses multiples sont des multiples communs aux polynômes {A} et {B}.
La proposition suivante dit que la réciproque est vraie :

Proposition (caractérisation du ppcm de deux polynômes)
Soit {A} et {B} deux polynômes non nuls de {\mathbb{K}[X]}.
Le polynôme {A\vee B} est l’unique polynôme normalisé {M} tel que {A\mathbb{K}[X]\cap B\mathbb{K}[X]=M\mathbb{K}[X]}.
Autrement dit, les multiples communs de {A} et {B} sont exactement ceux de {A\vee B}.

Si {A=0} ou {B=0}, on peut poser {A\vee B=0}, ce qui est compatible avec la caractérisation précédente.

Proposition (mise en facteur dans un calcul de ppcm)
Soit {A,B,C} trois polynômes non nuls de {\mathbb{K}[X]}. Alors : {(CA)\vee(CB)=C^{*}(A\vee B)}.
Proposition (lien entre le pgcd et le ppcm)
Soit {A,B} deux polynômes non nuls de {\mathbb{K}[X]}. Alors : {(A\wedge B)(A\vee B)=(AB)^{*}}.

Conséquence : le polynôme {A\vee B} est le normalisé du quotient de {AB} par {A\wedge B}.

Couples de polynômes premiers entre eux

Définition (polynômes premiers entre eux)
On dit que polynômes {A} et {B} sont premiers entre eux si {A\wedge B=1}.
Cela revient à dire que les seuls diviseurs communs à {A} et {B} sont les polynômes constants non nuls.

Dire que {A} et {B} sont premiers entre eux, c’est dire que le dernier reste non nul dans leur algorithme d’Euclide est un polynôme de degré {0} (c’est-à-dire une constante non nulle).

Proposition (théorème de Bézout)
Soit {A} et {B} deux polynômes. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  • les polynômes {A} et {B} sont premiers entre eux.
  • il existe deux polynômes {U} et {V} tels que {AU+BV=1}.

Le théorème de Bézout a des conséquences fondamentales en arithmétique des polynômes :

Proposition (lemme de Gauss)
Soit {A,B,C} trois polynômes. Si {A} divise {BC} et si {A} est premier avec {B}, alors {A} divise {C}.
Proposition (résolution de AU+BV=1 quand A et B sont premiers entre eux)
Soit {A} et {B} deux polynômes premiers entre eux.
Alors il existe une infinité de couples {(U,V)} de {\mathbb{K}[X]^2} tels que {AU+BV=1}.
Si {(U_0,V_0)} est l’un d’eux, les autres sont donnés par {\begin{cases}U=U_0+QB\cr V=V_0-QA\end{cases}} avec {Q} dans {\mathbb{K}[X]}.
Proposition (polynôme premier avec un produit)
Soit {A,B,C} trois polynômes. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  • le polynôme {A} est premier avec le polynôme {B} et avec le polynôme {C}.
  • le polynôme {A} est premier avec le produit {BC}.

Plus généralement, soit {A_{1},A_{2},\ldots,A_{m}} et {B_{1},B_{2},\ldots,B_{n}} deux familles de polynômes.

Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  • chacun des polynômes {A_{1}}, {A_{2}}, {\ldots} , {A_{m}} est premier avec chacun des polynômes {B_{1}}, {B_{2}}, {\ldots}, {B_{n}}.
  • le produit {A_{1}A_{2}\cdots A_{m}} est premier avec le produit {B_{1}B_{2}\cdots B_{n}}.

Par exemple, si {A\wedge B=1}, alors {A^m\wedge B^n=1} pour tous entiers naturels {m} et {n}.

Proposition (divisibilité par deux polynômes premiers entre eux)
Soit {A,B,C} trois polynômes, {A} et {B} étant supposés premiers entre eux.
Le polynôme {C} est divisible par {A} et par {B} si et seulement si il est divisible par leur produit.

Plus généralement si les polynômes {A_1}, {A_2}, {\ldots}, {A_n} sont premiers entre eux deux à deux, le polynôme {C} est divisible par chacun des {A_k} si et seulement si il est divisible par leur produit.

Quotient de deux polynômes par leur pcgd

Soit {A} et {B} deux polynômes (non tous deux nuls).
Soit {\widehat{A}} et {\widehat B} les polynômes tels que {A=(A\wedge B)\widehat{A}} et {B=(A\wedge B)\widehat{B}}.
Alors {\widehat A\wedge \widehat B=1}.

Cas particulier des polynômes {(X-\lambda)^{m}}

Si {\lambda} et {\mu} sont deux scalaires distincts, alors {(X-\lambda)\wedge(X-\mu)=1}.

Plus généralement, soit {\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_p} des scalaires distincts deux à deux.

Soit {\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_p} des entiers naturels.

Alors {\begin{cases}A=(X-\lambda_1)^{\alpha_1}(X-\lambda_2)^{\alpha_2}\cdots(X-\lambda_n)^{\alpha_n}\\B=(X-\mu_1)^{\beta_1}(X-\mu_2)^{\beta_2}\cdots(X-\mu_p)^{\beta_p}\end{cases}}sont premiers entre eux.

Pgcd et ppcm de plusieurs polynômes

Proposition (associativité du pgcd et du ppcm)
Pour tous polynômes {A,B,C}, on a les égalités {\begin{cases}A\wedge(B\wedge C)=(A\wedge B)\wedge C\cr A\vee(B\vee C)=(A\vee B)\vee C\end{cases}}

L’associativité (et la commutativité) du pgcd et du ppcm ont pour conséquence que si on se donne {n} polynômes {A_1}, {A_2}, {\ldots}, {A_n}, alors les expressions {A_1\wedge A_2\wedge\cdots\wedge A_n} et {A_1\vee A_2\vee\cdots\vee A_n} ont un sens, indépendamment de l’ordre des facteurs {A_k} et de celui dans lequel on effectue les calculs.
On peut alors poser la définition suivante :

Définition
Soit {A_1}, {A_2}, {\ldots}, {A_n} une famille de {n} polynômes, avec {n\ge2}.
Le polynôme {A_1\wedge A_2\wedge\cdots\wedge A_n} est appelé le pgcd des polynômes {A_1}, {A_2}, {\ldots}, {A_n}.
Le polynôme {A_1\vee A_2\vee\cdots\vee A_n} est appelé le ppcm des polynômes {A_1}, {A_2}, {\ldots}, {A_n}.

Caractérisation du pgcd et du ppcm

{D=A_1\wedge\cdots\wedge A_n} est l’unique polynôme unitaire tel que {\mathcal{D}(A_1)\cap\cdots\cap\mathcal{D}(A_n)=\mathcal{D}(D)}.

Autrement dit, les diviseurs communs à {A_1,A_2,\ldots,A_n} sont lceux de leur pcgd.

{M=A_1\vee \cdots\vee A_n} est l’unique polynôme unitaire tel que {A_1\mathbb{Z}\cap \cdots\cap A_n\mathbb{Z}=M\mathbb{Z}}.

Autrement dit, les multiples communs à {A_1,A2,\ldots,A_n} sont ceux de leur ppcm.

Proposition (factorisation dans un calcul de pgcd/ppcm)
Soit {A_1,\ldots,A_n} des polynômes. Soit {Q} un polynôme non nul. Alors :
{\begin{cases}(Q A_1)\wedge(Q A_2)\wedge\cdots\wedge(Q A_n)=Q^{*}(A_1\wedge A_2\wedge\cdots\wedge A_n)\cr (Q A_1)\vee(Q A_2)\vee\cdots\vee(Q A_n)=Q^{*}(A_1\vee A_2\vee\cdots\vee A_n)\end{cases}}
Proposition (relation de Bézout)
Soit {A_1,A_2,\ldots,A_n} une famille de {n} polynômes, avec {n\ge2}. Soit {D} leur pcgd.
Il existe des polynômes {U_1,U_2,\ldots,U_n} tels que : {A_1U_1+A_2U_2+\cdots+A_nU_n=D}.

Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble

Définition (polynômes premiers entre eux dans leur ensemble)
Soit {A_1,A_2,\ldots,A_n} une famille de {n} polynômes, avec {n\ge2}.
On dit que ces {n} polynômes sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd est égal à {1}.
Cela équivaut à dire que leurs seuls diviseurs communs sont les polynômes constants non nuls.
Proposition (caractérisation par une identité de Bézout)
Soit {A_1,A_2,\ldots,A_n} une famille de {n} polynômes, avec {n\ge2}.
Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • les polynômes {A_1,A_2,\ldots,A_n} sont premiers entre eux dans leur ensemble
  • il existe {n} polynômes {U_1,U_2,\ldots,U_n} tels que : {A_1U_1+A_2U_2+\cdots +A_{n}U_{n}=1}

Premiers entre eux : “deux à deux” ou “dans leur ensemble” ?

Ne pas confondre premiers entre eux “deux à deux” et “dans leur ensemble”.

Si deux au moins des polynômes {A_1,\ldots,A_n} sont premiers entre eux, et a fortiori si les polynômes {A_1,\ldots,A_n} sont premiers entre eux deux à deux, alors ils le sont dans leur ensemble.

Mais la réciproque est fausse, comme on le voit avec {\begin{cases}A=X^{2}-X\\B=X^{2}+X\\C=X^{2}-1\end{cases}}.

En effet {A,B,C} sont premiers entre eux dans leur ensemble (on a {(A+B)/2-C=1}).

Pourtant {A\wedge B=X(X-1)\wedge X(X+1)=X}.
De même : {A\wedge C=X(X-1)\wedge (X+1)(X-1)=X-1},
et {B\wedge C=X(X+1)\wedge (X+1)(X-1)=X+1}.

Remarques

Attention : l’égalité {(A\wedge B)(A\vee B)=AB} ne se généralise pas à plus de deux polynômes.
On reprend l’exemple de {A=X^{2}-X}, {B=X^{2}+X} et {C=X^{2}-1}.
On a ici {A\wedge B\wedge C=1} et {A\vee B\vee C=X^{3}-X}, mais {ABC} est de degré {6}.
Mais si {A_1,\ldots,A_n} sont premiers entre eux deux à deux, alors {A_1\vee\cdots\vee A_n=A_1\cdots A_n}.

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