Anneau des polynômes

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Suites à support fini de {\mathbb{K}}

Dans tout le chapitre, {\mathbb{K}} désigne le corps {\mathbb{R}} ou le corps {\mathbb{C}}.

Définition (suites à support fini dans )
Une suite {(a_n)_{n\ge0}} de {\mathbb{K}} est dite à support fini s’il existe {n_{0}\in\mathbb{N}} tel que : {\forall\, n\ge n_{0},\;a_{n}=0}.
Cela équivaut à dire que l’ensemble {\{n\in\mathbb{N},\;a_{n}\ne 0\}} est fini (éventuellement vide).
On note {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} l’ensemble des suites de {\mathbb{K}} qui sont à support fini.

Soit la suite {(a_n)_{n\ge0}} définie par {a_{0}=1}, {a_{1}=-3}, {a_{2}=0}, {a_{3}=5}, {a_{4}=-1} et {a_{n}=0} pour tout {n\ge 5}.
Cette suite est à support fini, et on pourrait la noter, sans ambiguïté : {a=(1,-3,0,5,-1,0...)}
Un cas très particulier est celui de la suite identiquement nulle {(0...)}.

Définition (somme de suites à support fini, et produit par un scalaire)
Soit {a=(a_n)_{n\ge0}} et {b=(b_n)_{n\ge0}} deux suites à support fini de {\mathbb{K}}. Soit {\lambda} un élément de {\mathbb{K}}.
On note {a+b} la suite de terme général {a_{n}+b_{n}}, et on note {\lambda a} la suite de terme général {\lambda a_{n}}.
Avec ces notations, les suites {a+b} et {\lambda a} sont encore à support fini.

Structure de groupe commutatif

L’ensemble {(\mathbb{K}^{(\mathbb{N})},+)} a une structure de groupe commutatif.
Plus précisément : l’élément neutre est la suite nulle, et l’opposée de {(a_n)_{n\ge0}} est {(-a_n)_{n\ge0}}.

Combinaisons linéaires

L’opération qui à un scalaire {\lambda} et à une suite {(a_n)_{n\ge0}} associe la suite {\lambda a} est appelée “loi externe”.

Avec cette opération et la loi {+}, on peut définir des combinaisons linéaires dans {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}.

Par exemple, soientt {a=(a_n)_{n\ge0}}, {b=(b_n)_{n\ge0}} et {c=(c_n)_{n\ge0}} sont trois éléments de {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}, et soient {\alpha,\beta,\gamma} trois scalaires (des éléments de {\mathbb{K}})

Alors {d=\alpha a+\beta b+\gamma c} désigne la suite (à support fini) de terme général {d_n=\alpha a_n+\beta b_n+\gamma c_n}.
On dit que {d} est une combinaison linéaire de {a,b,c}, avec les coefficients {\alpha,\beta,\gamma}.

Base canonique

Pour tout {m\in\mathbb{N}}, soit {e_m=(a_n)_{n\ge0}} l’élément de {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} défini par {\begin{cases}a_m=1\\a_n=0\text{\ si\ }n\ne m\end{cases}}

Ainsi {e_0=(1,0...)}, {e_1=(0,1,0,...)}, {e_2=(0,0,1,0...)}.

On remarque que {a=(3,0,1,-2,0,0,4,0...)} s’écrit {a=3e_0+e_2-2e_3+4e_6}.

Plus généralement, si {a=(a_0,a_1,\ldots,a_m,0...)}, alors : {a=a_0e_0+a_1e_1+\cdots+a_me_m=\displaystyle\sum_{n=0}^ma_ne_n}
On notera aussi {a=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_ne_n}ou {a=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_ne_n}, en se souvenant que cette somme est finie.

L’écriture de {a} comme combinaison linéaire des {e_n} est unique, à l’ordre près. On exprime cette propriété en disant que les suites {e_{n}} forment une base de {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} (dite “base canonique”).

Définition (définition d'un produit sur les suites à support fini)
Soit {a=(a_n)_{n\ge0}} et {b=(b_n)_{n\ge0}} deux suites à support fini de {\mathbb{K}}.
On définit la suite {c=ab} (dite suite produit de {a} et {b}) de la manière suivante :

{\begin{cases}c_{0}=a_{0}b_{0}\\ c_{1}=a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1}\end{cases}\qquad \begin{cases}c_{2}=a_{2}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2}\\c_{3}=a_{3}b_{0}+a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}+a_{0}b_{3}\end{cases}}

et plus généralement : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;c_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\displaystyle\sum_{j+k=n}a_{j}b_{k}}.
Avec ces notations, la suite {c=ab} est encore à support fini.

Remarques

  • La loi produit sur {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} est commutative, associative, distributive par rapport à l’addition.
    La suite {e_0=(1,0...)} est élément neutre pour ce produit.
  • Pour tous indices {j} et {k}, on remarque que {e_j e_k=e_{j+k}}.
    On en déduit que pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {e_1^n=e_n} (en posant {e_1^0=e_0}).
Proposition
Muni des deux lois {+} et {\times}, l’ensemble {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} est un anneau commutatif.
Les éléments de cet anneau sont appelés polynômes à coefficients dans {\mathbb{K}}.

L’anneau des polynômes {\mathbb{K}[X]}

Les scalaires sont des polynômes particuliers

Pour tout scalaire {\lambda}, considérons la suite {(\lambda,0...)}, c’est-à-dire la suite {\lambda e_{0}}.
Pour toute suite {a=(a_{n})_{n\ge0}} de {\mathbb{K}^{(N)}}, on a : {(\lambda e_{0})a=\lambda a}.
Cette égalité permet d’identifier la suite {\lambda e_0} avec le scalaire {\lambda} (et donc {e_0} avec {1})

Notation définitive des polynômes

On pose {X=e_1=(0,1,0..)}.
Avec cette notation, {X^{2}=(0,0,1,0...)=e_{2}}, et {X^{3}=(0,0,0,1,0,...)=e_{3}}.
Plus généralement, on a {e_n=X^n} pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}.
Si on complète cette notation par {X^0=e_0=1}, alors on a : {\begin{array}{rl}P&=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},\ldots)=(a_k)_{k\ge0}\\\\&=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n+\cdots=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kX^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k\end{array}}

Une telle somme, toujours finie, représente {P} de façon unique (à l’ordre près).
Pour tout entier {n} tel que {(k>n\Rightarrow a_k=0)}, on peut bien sûr noter {P=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kX^k}.
On dit que les {a_k} sont les coefficients du polynôme {P}.

Unicité des coefficients et identification

L’unicité de l’écriture {P=\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k} permet de procéder à des identifications.
En particulier, {P} est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
De même, on a l’équivalence : {\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k=\displaystyle\sum_{k\ge0}{b_k}X^k\Leftrightarrow\forall\, k\in\mathbb{N},a_k=b_k}.

Notation définitive des opérations sur {\mathbb{K}[X]}

On notera maintenant {\mathbb{K}[X]} l’anneau des polynômes à coefficients dans {\mathbb{K}}.

Les lois sur {\mathbb{K}[X]} sont donc définies par :

  • le produit d’un polynôme par un scalaire : {\lambda\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k=\displaystyle\sum_{k\ge0}{(\lambda a_k)}X^k}
  • la somme de deux polynômes : {\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k+\displaystyle\sum_{k\ge0}{b_k}X^k=\displaystyle\sum_{k\ge0}{(a_k+b_k)}X^k}
  • le produit de deux polynômes : {\Bigl(\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k\Bigr)\Bigl(\displaystyle\sum_{k\ge0}{b_k}X^k\Bigr)=\displaystyle\sum_{k\ge0}\Bigl(\,\displaystyle\sum_{i+j=k}a_i\,b_j\Bigr)X^{k}}

Deux cas particuliers

On dit que {P\in\mathbb{K}[X]} est un monôme s’il s’écrit {P=\lambda X^n}, avec {\lambda} dans {\mathbb{K}} et {n} dans {\mathbb{N}}.

On dit que {P} est un polynôme constant si {P=\lambda}, avec {\lambda} dans {\mathbb{K}}.

L’indéterminée

Dans les notations précédentes, le polynôme très particulier {X} est appelée l’indéterminée, et {\mathbb{K}[X]} devient l’ensemble des polynômes à une indéterminée {X}. Le nom {X} est consacré par l’usage.

On pourrait généraliser à des polynômes à plusieurs indéterminées.
Par exemple {P=1+X+2Y-XY+X^{2}Y} est dans {\mathbb{K}[X,Y]}) mais c’est hors-programme.

Degré d’un polynôme

Définition (degré d'un polynôme)
Soit {P=\displaystyle\sum_{n\ge0}{a_n}X^n} un polynôme non nul de {\mathbb{K}[X]}.
On appelle degré de {P}, et on note {\deg(P)}, l’entier {n} maximum tel que {a_n\ne0}.
Par convention, on pose {\deg(0)=-\infty}.

Exemples et remarques

  • Considérons le polynôme {P_{\lambda}=1+3X^2+X^3-2X^5+\lambda X^7}.
    Il est de degré {7} si {\lambda} est non nul, et de degré {5} sinon.
  • Dans {P=\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k}, on dit que {a_k} est le coefficient du terme ou du monôme de degré {k}.
    On dit que {a_0} est le coefficient constant de {P}.
  • Les polynômes sont en général écrits :
    — suivant les degrés croissants, par exemple {P=1+3X^2+X^3-2X^5+X^7}.
    — ou suivant les degrés décroissants, par exemple {P=X^7-2X^5+X^3+3X^2+1}.

    Ce choix n’est souvent qu’une question de confort (il facilite l’identification de coefficients, ou la mise en place de division euclidienne de deux polynômes, etc.)

  • Écrire que {\deg(P)} appartient à {\mathbb{N}} (donc {\deg(P)\ne-\infty}), c’est écrire que {P} est non nul.
    Écrire que {\deg(P)\ge1}, c’est écrire que {P} n’est pas un polynôme constant.
Définition (polynômes unitaires, ou normalisés)
Soit {P=\displaystyle\sum_{n\ge0}{a_n}X^n} un polynôme non nul, et soit {d=\deg(P)\ge0}.
On dit que {a_d} est le coefficient dominant de {P}.
Si {a_{d}=1}, on dit que {P} est normalisé (ou encore unitaire).
Définition (ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n)
Soit {n} un entier naturel. On note {\mathbb{K}_{n}[X]} l’ensemble des polynômes {P} tels que {\deg(P)\le n}.

Cas particulier : {\mathbb{K}_{0}[X]} est l’ensemble des polynômes constants (donc {\mathbb{K}_{0}[X]=\mathbb{K}}).

De même : {\begin{cases}\mathbb{K}_{1}[X]=\{aX+b,\;(a,b)\in\mathbb{K}^{2}\}\\\mathbb{K}_{2}[X]=\{aX^{2}+bX+c,\;(a,b,c)\in\mathbb{K}^{3}\}\end{cases}}

Un élément {P=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}} de {\mathbb{K}_{n}[X]} est caractérisé par les {n+1} coefficients {a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}}.

Degré d’une somme ou d’un produit

On rappelle que, par convention, le degré du polynôme nul vaut {-\infty}.

Proposition (degré d'une somme ou d'un produit)
Soit {A} et {B} deux éléments de {\mathbb{K}[X]}.

  • on a {\deg(A+B)\le\max(\deg(A),\deg(B))}, avec égalité si {\deg(A)\ne\deg(B)}.
  • on a {\deg(AB)=\deg(A)+\deg(B)}.

  • Ces résultats sont encore vrais si {A=0} ou {B=0}, avec la convention {\deg(0)=-\infty}.
  • Si {\deg(A)=\deg(B)=n}, il est possible qu’on ait {\deg(A+B)\lt n}.
    Il suffit pour cela que les termes de plus haut degré de {A} et {B} se “neutralisent”.
    Par exemple, si {\begin{cases}A=X^3+X\cr B=-X^3+1\end{cases}}, alors {A+B=X+1}, donc {\deg(A+B)=1\lt 3}.
    On peut aussi prendre l’exemple extrême {B=-A}, car alors {\deg(A+B)=-\infty}.

  • Pour {A\in\mathbb{K}[X]} et {\lambda\in\mathbb{K}}, on a {\begin{cases}\deg(\lambda A)=\deg(A)&\text{ si }\lambda\ne0\cr \deg(\lambda A)=-\infty&\text{ si }\lambda=0\end{cases}}
  • On a {\deg(A_1A_2\cdots A_m)=\displaystyle\sum_{k=1}^m\deg(A_k)}. En particulier {\deg(A^m)=m\deg(A)}.
    Pour tous scalaires {\lambda_k}, on a {\deg\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^m\lambda_kA_k\Bigr)\le\max\limits_{1\le k\le m}(\deg(A_k))}.
    Dans ce dernier résultat, si l’un des {A_k} est de degré strictement supérieur aux autres et si le coefficient {\lambda_k} correspondant est non nul, alors il y a égalité.
Proposition (le produit de deux polynômes non nuls est non nul)
L’égalité {\deg(AB)=\deg(A)+\deg(B)} montre que si {A\ne0} et {B\ne0} alors {AB\ne0}.
Autrement dit : {AB=0\Rightarrow(A=0 \;\text{ou}\; B=0)}.
Plus généralement, si {A_1A_2\ldots A_n=0}, alors l’un au moins des {A_k} est nul.

Une conséquence importante est que tout polynôme non nul est simplifiable pour le produit.

En effet, si {A,B,C} sont des polynômes et si {A\ne0}, alors : {AB=AC\Rightarrow A(B-C)=0\Rightarrow B=C}

Proposition (polynômes inversibles pour le produit)
Soit {A} et {B} deux éléments de {\mathbb{K}[X]}.
On a {AB=1} si et seulement si {A} et {B} sont des constantes inverses l’une de l’autre.
Autrement dit, les seuls éléments inversibles pour le produit dans l’anneau {\mathbb{K}[X]} sont les polynômes de degré {0}, c’est-à-dire les polynômes constants non nuls.

Composition de deux polynômes

Définition (composition de deux polynômes)
Soit {A=\displaystyle\sum_{n\ge0}{a_n}X^n} un élément de {\mathbb{K}[X]}.
Pour tout polynôme {B}, on pose {A(B)=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nB^n}.
On dit que {A(B)} est le composé du polynôme {B} par le polynôme {A}.

Par exemple, posons {A=X^3+X+1} et {B=X^2-1}. Alors : {A(B)=B^3+B+1=(X^2-1)^3+(X^2-1)+1=X^6-3X^4+4X^2-1}
De même, on trouve : {B(A)=A^{2}-1=(X^3+X+1)^{2}-1=X^{6}+2X^{4}+2X^{3}+X^{2}+2X}

Proposition (degré du composé de deux polynômes)
Soit {A} et {B} deux polynômes non nuls.
Soit {A(B)} le polynôme composé de {B} par {A}. Alors {\deg(A(B))=\deg(A)\deg(B)}.

Remarques et propriétés

Si {B=X}, alors {A(B)=A}. Ceci justifie qu’on note souvent {A(X)} un polynôme de {\mathbb{K}[X]}.

Un cas classique est celui des polynômes {A(X+h)}, dits translatés de{A}. Par exemple : {A=aX^2+bX+1\Rightarrow A(X+1)=aX^2+(2a+b)X+a+b+1}
Pour tous polynômes {A,B,C}, et pour tous scalaires {\lambda,\mu}, on a :{\begin{cases}(\lambda A+\mu B)(C)=\lambda A(C)+\mu B(C)\\(AB)(C)=A(C)B(C)\end{cases}}

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