Anneau des polynômes

Plan du chapitre "Polynômes et fractions rationnelles"

Suites à support fini de ${\mathbb{K}}$

Dans tout le chapitre, ${\mathbb{K}}$ désigne le corps ${\mathbb{R}}$ ou le corps ${\mathbb{C}}$ .

Définition (suites à support fini dans )
Une suite

{(a_n)_{n\ge0}}

{\mathbb{K}}

est dite à support fini s’il existe

{n_{0}\in\mathbb{N}}

tel que :

{\forall\, n\ge n_{0},\;a_{n}=0}

.
Cela équivaut à dire que l’ensemble

{\{n\in\mathbb{N},\;a_{n}\ne 0\}}

est fini (éventuellement vide).
On note

{\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}

l’ensemble des suites de

{\mathbb{K}}

qui sont à support fini.

Soit la suite ${(a_n)_{n\ge0}}$ définie par ${a_{0}=1}$ , ${a_{1}=-3}$ , ${a_{2}=0}$ , ${a_{3}=5}$ , ${a_{4}=-1}$ et ${a_{n}=0}$ pour tout ${n\ge 5}$ .
Cette suite est à support fini, et on pourrait la noter, sans ambiguïté : ${a=(1,-3,0,5,-1,0...)}$
Un cas très particulier est celui de la suite identiquement nulle ${(0...)}$ .

Définition (somme de suites à support fini, et produit par un scalaire)
Soit

{a=(a_n)_{n\ge0}}

{b=(b_n)_{n\ge0}}

deux suites à support fini de

{\mathbb{K}}

. Soit

{\lambda}

un élément de

{\mathbb{K}}

.
On note

{a+b}

la suite de terme général

{a_{n}+b_{n}}

, et on note

{\lambda a}

la suite de terme général

{\lambda a_{n}}

.
Avec ces notations, les suites

{a+b}

{\lambda a}

sont encore à support fini.

Structure de groupe commutatif

L’ensemble ${(\mathbb{K}^{(\mathbb{N})},+)}$ a une structure de groupe commutatif.
Plus précisément : l’élément neutre est la suite nulle, et l’opposée de ${(a_n)_{n\ge0}}$ est ${(-a_n)_{n\ge0}}$ .

Combinaisons linéaires

L’opération qui à un scalaire ${\lambda}$ et à une suite ${(a_n)_{n\ge0}}$ associe la suite ${\lambda a}$ est appelée “loi externe”.

Avec cette opération et la loi ${+}$ , on peut définir des combinaisons linéaires dans ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ .

Par exemple, soientt ${a=(a_n)_{n\ge0}}$ , ${b=(b_n)_{n\ge0}}$ et ${c=(c_n)_{n\ge0}}$ sont trois éléments de ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ , et soient ${\alpha,\beta,\gamma}$ trois scalaires (des éléments de ${\mathbb{K}}$ )

Alors ${d=\alpha a+\beta b+\gamma c}$ désigne la suite (à support fini) de terme général ${d_n=\alpha a_n+\beta b_n+\gamma c_n}$ .
On dit que ${d}$ est une combinaison linéaire de ${a,b,c}$ , avec les coefficients ${\alpha,\beta,\gamma}$ .

Base canonique

Pour tout ${m\in\mathbb{N}}$ , soit ${e_m=(a_n)_{n\ge0}}$ l’élément de ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ défini par ${\begin{cases}a_m=1\\a_n=0\text{\ si\ }n\ne m\end{cases}}$

Ainsi ${e_0=(1,0...)}$ , ${e_1=(0,1,0,...)}$ , ${e_2=(0,0,1,0...)}$ .

On remarque que ${a=(3,0,1,-2,0,0,4,0...)}$ s’écrit ${a=3e_0+e_2-2e_3+4e_6}$ .

Plus généralement, si ${a=(a_0,a_1,\ldots,a_m,0...)}$ , alors : ${a=a_0e_0+a_1e_1+\cdots+a_me_m=\displaystyle\sum_{n=0}^ma_ne_n}$
On notera aussi ${a=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_ne_n}$ ou ${a=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_ne_n}$ , en se souvenant que cette somme est finie.

L’écriture de ${a}$ comme combinaison linéaire des ${e_n}$ est unique, à l’ordre près. On exprime cette propriété en disant que les suites ${e_{n}}$ forment une base de ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ (dite “base canonique”).

Définition (définition d'un produit sur les suites à support fini)
Soit

{a=(a_n)_{n\ge0}}

{b=(b_n)_{n\ge0}}

deux suites à support fini de

{\mathbb{K}}

.
On définit la suite

{c=ab}

(dite suite produit de

{a}

{b}

) de la manière suivante :

${\begin{cases}c_{0}=a_{0}b_{0}\\ c_{1}=a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1}\end{cases}\qquad \begin{cases}c_{2}=a_{2}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2}\\c_{3}=a_{3}b_{0}+a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}+a_{0}b_{3}\end{cases}}$

et plus généralement : ${\forall\, n\in\mathbb{N},\;c_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\displaystyle\sum_{j+k=n}a_{j}b_{k}}$ .
Avec ces notations, la suite ${c=ab}$ est encore à support fini.

Remarques

La loi produit sur ${\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}$ est commutative, associative, distributive par rapport à l’addition.
La suite ${e_0=(1,0...)}$ est élément neutre pour ce produit.
Pour tous indices ${j}$ et ${k}$ , on remarque que ${e_j e_k=e_{j+k}}$ .
On en déduit que pour tout ${n}$ de ${\mathbb{N}}$ , on a ${e_1^n=e_n}$ (en posant ${e_1^0=e_0}$ ).

Proposition
Muni des deux lois

{+}

{\times}

, l’ensemble

{\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}

est un anneau commutatif.
Les éléments de cet anneau sont appelés polynômes à coefficients dans ${\mathbb{K}}$ .

L’anneau des polynômes ${\mathbb{K}[X]}$

Les scalaires sont des polynômes particuliers

Pour tout scalaire ${\lambda}$ , considérons la suite ${(\lambda,0...)}$ , c’est-à-dire la suite ${\lambda e_{0}}$ .
Pour toute suite ${a=(a_{n})_{n\ge0}}$ de ${\mathbb{K}^{(N)}}$ , on a : ${(\lambda e_{0})a=\lambda a}$ .
Cette égalité permet d’identifier la suite ${\lambda e_0}$ avec le scalaire ${\lambda}$ (et donc ${e_0}$ avec ${1}$ )

Notation définitive des polynômes

On pose ${X=e_1=(0,1,0..)}$ .
Avec cette notation, ${X^{2}=(0,0,1,0...)=e_{2}}$ , et ${X^{3}=(0,0,0,1,0,...)=e_{3}}$ .
Plus généralement, on a ${e_n=X^n}$ pour tout ${n}$ de ${\mathbb{N}^{*}}$ .
Si on complète cette notation par ${X^0=e_0=1}$ , alors on a : ${\begin{array}{rl}P&=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},\ldots)=(a_k)_{k\ge0}\\\\&=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n+\cdots=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kX^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k\end{array}}$

Une telle somme, toujours finie, représente ${P}$ de façon unique (à l’ordre près).
Pour tout entier ${n}$ tel que ${(k>n\Rightarrow a_k=0)}$ , on peut bien sûr noter ${P=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kX^k}$ .
On dit que les ${a_k}$ sont les coefficients du polynôme ${P}$ .

Unicité des coefficients et identification

L’unicité de l’écriture ${P=\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k}$ permet de procéder à des identifications.
En particulier, ${P}$ est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
De même, on a l’équivalence : ${\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k=\displaystyle\sum_{k\ge0}{b_k}X^k\Leftrightarrow\forall\, k\in\mathbb{N},a_k=b_k}$ .

Notation définitive des opérations sur ${\mathbb{K}[X]}$

On notera maintenant ${\mathbb{K}[X]}$ l’anneau des polynômes à coefficients dans ${\mathbb{K}}$ .

Les lois sur ${\mathbb{K}[X]}$ sont donc définies par :

le produit d’un polynôme par un scalaire : ${\lambda\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k=\displaystyle\sum_{k\ge0}{(\lambda a_k)}X^k}$
la somme de deux polynômes : ${\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k+\displaystyle\sum_{k\ge0}{b_k}X^k=\displaystyle\sum_{k\ge0}{(a_k+b_k)}X^k}$
le produit de deux polynômes : ${\Bigl(\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k\Bigr)\Bigl(\displaystyle\sum_{k\ge0}{b_k}X^k\Bigr)=\displaystyle\sum_{k\ge0}\Bigl(\,\displaystyle\sum_{i+j=k}a_i\,b_j\Bigr)X^{k}}$

Deux cas particuliers

On dit que ${P\in\mathbb{K}[X]}$ est un monôme s’il s’écrit ${P=\lambda X^n}$ , avec ${\lambda}$ dans ${\mathbb{K}}$ et ${n}$ dans ${\mathbb{N}}$ .

On dit que ${P}$ est un polynôme constant si ${P=\lambda}$ , avec ${\lambda}$ dans ${\mathbb{K}}$ .

L’indéterminée

Dans les notations précédentes, le polynôme très particulier ${X}$ est appelée l’indéterminée, et ${\mathbb{K}[X]}$ devient l’ensemble des polynômes à une indéterminée ${X}$ . Le nom ${X}$ est consacré par l’usage.

On pourrait généraliser à des polynômes à plusieurs indéterminées.
Par exemple ${P=1+X+2Y-XY+X^{2}Y}$ est dans ${\mathbb{K}[X,Y]}$ ) mais c’est hors-programme.

Degré d’un polynôme

Définition (degré d'un polynôme)
Soit

{P=\displaystyle\sum_{n\ge0}{a_n}X^n}

un polynôme non nul de

{\mathbb{K}[X]}

.
On appelle degré de

{P}

, et on note

{\deg(P)}

, l’entier

{n}

maximum tel que

{a_n\ne0}

.
Par convention, on pose

{\deg(0)=-\infty}

Exemples et remarques

Considérons le polynôme ${P_{\lambda}=1+3X^2+X^3-2X^5+\lambda X^7}$ .
Il est de degré ${7}$ si ${\lambda}$ est non nul, et de degré ${5}$ sinon.
Dans ${P=\displaystyle\sum_{k\ge0}{a_k}X^k}$ , on dit que ${a_k}$ est le coefficient du terme ou du monôme de degré ${k}$ .
On dit que ${a_0}$ est le coefficient constant de ${P}$ .
Les polynômes sont en général écrits :
— suivant les degrés croissants, par exemple ${P=1+3X^2+X^3-2X^5+X^7}$ .
— ou suivant les degrés décroissants, par exemple ${P=X^7-2X^5+X^3+3X^2+1}$ .

Ce choix n’est souvent qu’une question de confort (il facilite l’identification de coefficients, ou la mise en place de division euclidienne de deux polynômes, etc.)
Écrire que ${\deg(P)}$ appartient à ${\mathbb{N}}$ (donc ${\deg(P)\ne-\infty}$ ), c’est écrire que ${P}$ est non nul.
Écrire que ${\deg(P)\ge1}$ , c’est écrire que ${P}$ n’est pas un polynôme constant.

Définition (polynômes unitaires, ou normalisés)
Soit

{P=\displaystyle\sum_{n\ge0}{a_n}X^n}

un polynôme non nul, et soit

{d=\deg(P)\ge0}

.
On dit que

{a_d}

est le coefficient dominant de

{P}

.
Si

{a_{d}=1}

, on dit que

{P}

est normalisé (ou encore unitaire).

Définition (ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n)
Soit

{n}

un entier naturel. On note

{\mathbb{K}_{n}[X]}

l’ensemble des polynômes

{P}

tels que

{\deg(P)\le n}

Cas particulier : ${\mathbb{K}_{0}[X]}$ est l’ensemble des polynômes constants (donc ${\mathbb{K}_{0}[X]=\mathbb{K}}$ ).

De même : ${\begin{cases}\mathbb{K}_{1}[X]=\{aX+b,\;(a,b)\in\mathbb{K}^{2}\}\\\mathbb{K}_{2}[X]=\{aX^{2}+bX+c,\;(a,b,c)\in\mathbb{K}^{3}\}\end{cases}}$

Un élément ${P=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}$ de ${\mathbb{K}_{n}[X]}$ est caractérisé par les ${n+1}$ coefficients ${a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}}$ .

Degré d’une somme ou d’un produit

On rappelle que, par convention, le degré du polynôme nul vaut ${-\infty}$ .

Proposition (degré d'une somme ou d'un produit)
Soit

{A}

{B}

deux éléments de

{\mathbb{K}[X]}

on a ${\deg(A+B)\le\max(\deg(A),\deg(B))}$ , avec égalité si ${\deg(A)\ne\deg(B)}$ .
on a ${\deg(AB)=\deg(A)+\deg(B)}$ .

Ces résultats sont encore vrais si ${A=0}$ ou ${B=0}$ , avec la convention ${\deg(0)=-\infty}$ .
Si ${\deg(A)=\deg(B)=n}$ , il est possible qu’on ait ${\deg(A+B)\lt n}$ .
Il suffit pour cela que les termes de plus haut degré de ${A}$ et ${B}$ se “neutralisent”.
Par exemple, si ${\begin{cases}A=X^3+X\cr B=-X^3+1\end{cases}}$ , alors ${A+B=X+1}$ , donc ${\deg(A+B)=1\lt 3}$ .
On peut aussi prendre l’exemple extrême ${B=-A}$ , car alors ${\deg(A+B)=-\infty}$ .
Pour ${A\in\mathbb{K}[X]}$ et ${\lambda\in\mathbb{K}}$ , on a ${\begin{cases}\deg(\lambda A)=\deg(A)&\text{ si }\lambda\ne0\cr \deg(\lambda A)=-\infty&\text{ si }\lambda=0\end{cases}}$
On a ${\deg(A_1A_2\cdots A_m)=\displaystyle\sum_{k=1}^m\deg(A_k)}$ . En particulier ${\deg(A^m)=m\deg(A)}$ .
Pour tous scalaires ${\lambda_k}$ , on a ${\deg\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^m\lambda_kA_k\Bigr)\le\max\limits_{1\le k\le m}(\deg(A_k))}$ .
Dans ce dernier résultat, si l’un des ${A_k}$ est de degré strictement supérieur aux autres et si le coefficient ${\lambda_k}$ correspondant est non nul, alors il y a égalité.

Proposition (le produit de deux polynômes non nuls est non nul)
L’égalité

{\deg(AB)=\deg(A)+\deg(B)}

montre que si

{A\ne0}

{B\ne0}

alors

{AB\ne0}

.
Autrement dit :

{AB=0\Rightarrow(A=0 \;\text{ou}\; B=0)}

.
Plus généralement, si

{A_1A_2\ldots A_n=0}

, alors l’un au moins des

{A_k}

est nul.

Une conséquence importante est que tout polynôme non nul est simplifiable pour le produit.

En effet, si ${A,B,C}$ sont des polynômes et si ${A\ne0}$ , alors : ${AB=AC\Rightarrow A(B-C)=0\Rightarrow B=C}$

Proposition (polynômes inversibles pour le produit)
Soit

{A}

{B}

deux éléments de

{\mathbb{K}[X]}

.
On a

{AB=1}

si et seulement si

{A}

{B}

sont des constantes inverses l’une de l’autre.
Autrement dit, les seuls éléments inversibles pour le produit dans l’anneau

{\mathbb{K}[X]}

sont les polynômes de degré

{0}

, c’est-à-dire les polynômes constants non nuls.

Composition de deux polynômes

Définition (composition de deux polynômes)
Soit

{A=\displaystyle\sum_{n\ge0}{a_n}X^n}

un élément de

{\mathbb{K}[X]}

.
Pour tout polynôme

{B}

, on pose

{A(B)=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nB^n}

.
On dit que

{A(B)}

est le composé du polynôme

{B}

par le polynôme

{A}

Par exemple, posons ${A=X^3+X+1}$ et ${B=X^2-1}$ . Alors : ${A(B)=B^3+B+1=(X^2-1)^3+(X^2-1)+1=X^6-3X^4+4X^2-1}$
De même, on trouve : ${B(A)=A^{2}-1=(X^3+X+1)^{2}-1=X^{6}+2X^{4}+2X^{3}+X^{2}+2X}$

Proposition (degré du composé de deux polynômes)
Soit

{A}

{B}

deux polynômes non nuls.
Soit

{A(B)}

le polynôme composé de

{B}

par

{A}

. Alors

{\deg(A(B))=\deg(A)\deg(B)}

Remarques et propriétés

Si ${B=X}$ , alors ${A(B)=A}$ . Ceci justifie qu’on note souvent ${A(X)}$ un polynôme de ${\mathbb{K}[X]}$ .

Un cas classique est celui des polynômes ${A(X+h)}$ , dits translatés de ${A}$ . Par exemple : ${A=aX^2+bX+1\Rightarrow A(X+1)=aX^2+(2a+b)X+a+b+1}$
Pour tous polynômes ${A,B,C}$ , et pour tous scalaires ${\lambda,\mu}$ , on a : ${\begin{cases}(\lambda A+\mu B)(C)=\lambda A(C)+\mu B(C)\\(AB)(C)=A(C)B(C)\end{cases}}$

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Suites à support fini de {\mathbb{K}}