Trace d’une matrice, d’un endomorphisme

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Trace d’une matrice carrée

Définition (trace d'une matrice carrée)
Soit {A} une matrice carrée d’ordre {n}, à coefficients dans {\mathbb{K}}, de terme général {a_{ij}}.
On appelle trace de {A}, et on note {\text{Tr}(A)}, la somme {\displaystyle\sum_{i=1}^n a_{ii}} des coefficients diagonaux de {A}.
Proposition (linéarité de la trace)
L’application “trace” est une forme linéaire sur l’espace vectoriel {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.
Ainsi pour toutes matrices {A} et {B} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, et tous {\alpha,\beta} de {\mathbb{K}}, on a : {\text{Tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha\,\text{Tr}(A)+\beta\,\text{Tr}(B)}
Proposition (trace d'un produit de deux matrices)
Soient {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} et {B} une matrice de {{\mathcal M}_{p,n}(\mathbb{K})}.
La matrice {AB} est donc carrée d’ordre {n}, tandis que {BA} est carrée d’ordre {p}.
Les matrices carrées {AB} et {BA} ont la même trace : {\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)}

L’égalité {\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)} est vraie en particulier pour toutes matrices {A,B} de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.

On ne doit pas généraliser abusivement à des produits de plus de deux matrices.
On peut par exemple écrire : {\text{Tr}{(ABC)}=\text{Tr}{\bigl(A(BC)\bigr)}=\text{Tr}{\bigl((BC)A\bigr)}=\text{Tr}{(BCA)}}.
On peut également écrire {\text{Tr}{(ABC)}=\text{Tr}{(CAB)}} (en échangeant {AB} et {C}).
Mais en général on a : {\text{Tr}{(ABC)}\ne\text{Tr}{(ACB)}}.

Proposition (invariance de la trace par similitude)
Soit {A} et {B} deux matrices de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Si {A} et {B} sont semblables, alors elles ont la même trace.

Pour démontrer ce résultat, on écrit :{\text{Tr}(P^{-1}AP)=\text{Tr}((P^{-1}A)P)=\text{Tr}(P(P^{-1}A))=\text{Tr}(A)}
Mais on évitera d’écrire : {\text{Tr}(P^{-1}AP)=\text{Tr}(P^{-1}PA)=\text{Tr}(A)}!

La réciproque de la proposition précédente est évidemment fausse.

Attention à ne pas confondre…

On ne confondra pas la trace {\text{Tr}(A)} d’une matrice carrée {A} avec sa transposée {{A}^{\top}}.

  • la trace n’est définie que pour les matrices carrées, et la trace de {A} est un scalaire.
  • la transposée d’une matrice {A} de type {(n,p)} est une matrice de type {(p,n)}.
  • on a la relation {\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)}, mais on a la relation {{(AB)}^{\top}={B}^{\top}{A}^{\top}}.

Trace d’un endomorphisme

Définition (trace d'un endomorphisme en dimension finie)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}. Soit {f} un endomorphisme de {E}.
La trace de {f}, notée {\text{Tr}(f)}, est la trace de la matrice de {f} dans une base quelconque de {E}.

Cette définition est légitime : bien que la matrice de {f} dépende en général de la base choisie dans l’espace vectoriel {E}, la trace de cette matrice n’en dépend pas (en effet toutes les matrices susceptibles de représenter l’application {f} dans une base {e} de {E} sont semblables entre elles).

Les deux propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition :

  • si {f,g} sont dans {\mathcal{L}(E)}, on a : {\text{Tr}(\lambda f+\mu g)=\lambda\,\text{Tr}(f)+\mu\,\text{Tr}(g)}.
  • si {f,} sont dans {\mathcal{L}(E)}, on a : {\text{Tr}(gf)=\text{Tr}(fg)} (rappelons qu’on note {gf} pour {g\circ f}).

Trace d’une projection vectorielle (d’un projecteur)

Soit {p} la projection de {E} sur {F}, avec {\text{dim}(F)=r}. Alors {\text{Tr}(p)=\text{rg}(p)=r}.

Pour s’en persuader, il suffit de choisir un supplémentaire {G} de {F} dans {E} et de se placer dans une base adaptée à la somme directe {E=F\oplus G} : la matrice de {p} dans cette base est diagonale, les {r} premiers coefficients diagonaux valant {1} et les {n-r} derniers valant {0}.

Trace d’une rotation vectorielle en dimension 3

On se place dans l’espace vectoriel euclidien orienté {\mathbb{R}^{3}}.
Soit {r} la rotation d’angle {\,\theta} autour de {w} unitaire. Alors {\text{Tr}(r)=1+2\cos\,\theta}.

Il suffit en effet de se placer dans une base orthonormée directe {u,v,w}.

La matrice de {r} dans cette base est {A=\begin{pmatrix}\cos\,\theta&-\sin\,\theta&1\cr \sin\,\theta&\cos\,\theta&0\cr 0&0&1\end{pmatrix}} et {\text{Tr}(A)=1+2\cos\,\theta}.

Si on connait la matrice {B} de la rotation {r} dans une base quelconque (même non orthonormée), on sait qu’on a l’égalité {\text{Tr}(B)=1+2\cos\,\theta} : on en déduit immédiatement le cosinus de l’angle de {r}. Pour calculer son sinus il faut orienter l’axe de la rotation.

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