Noyau, image et rang d’une matrice

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Application linéaire canoniquement associée

Considérons l’application qui à {u=(x_{1},x_{2},\ldots, x_{p})} associe la colonne {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\x_{p} \end{pmatrix}}.
C’est un isomorphisme “canonique” de {\mathbb{K}^{p}} sur {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})}.
Il permet d’identifier un {p}-uplet {u} avec la matrice colonne {U} correspondante, de hauteur {p}.

Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
L’application {\varphi\colon U\mapsto V=AU} est linéaire de {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
À isomorphisme près, il s’agit donc d’une application linéaire de {\mathbb{K}^{p}} dans {\mathbb{K}^{n}}.

Soit par exemple {A=\begin{pmatrix}2&1&0&3\\ 0&4&1&5\\ 1&6&2&0 \end{pmatrix}}, et {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\ x_{4} \end{pmatrix}}.
Alors {V=AU=\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}, où {\begin{cases}y_{1}=2x_{1}+x_{2}+3x_{4}\\y_{2}=4x_{2}+x_{3}+5x_{4}\\y_{3}=x_{1}+6x_{2}+2x_{3}\end{cases}}

Dans cet exemple, on peut donc identifier :

  • l’application linéaire {\varphi\colon U\mapsto V=AU} de {\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{K})}.
  • l’application linéaire {f\colon u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mapsto v=(y_{1},y_{2},y_{3})} de {\mathbb{K}^{4}} dans {\mathbb{K}^{3}}.
Définition (application linéaire canoniquement associée à une matrice)
Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

  • l’application {\varphi\colon U\mapsto V=AU} est linéaire de {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
  • {A} est la matrice d’un unique {f} de {\mathcal{L}(\mathbb{K}^{p},\mathbb{K}^{n})} dans les bases canoniques.

L’application linéaire {\varphi} (ou l’application linéaire {f}) est dite canoniquement associée à {A}.

Compte-tenu de ce qui a été dit plus haut, on peut donc quasiment considérer que {f} et {\varphi} sont une seule et même application linéaire.
Dans la suite, on utilisera indifféremment l’une ou l’autre des deux terminologies.

Noyau, image et rang d’une matrice

Définition (image et noyau d'une matrice)
Soit {A} une matrice, élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
Soit {f:\mathbb{K}^{p}\to \mathbb{K}^{n}} l’application linéaire canoniquement associée à la matrice {A}.
On appelle image de {A}, et on note {\text{Im}(A)}, l’image {\text{Im}(f)} de l’application linéaire {f}.
On appelle noyau de {A}, et on note {\text{Ker}(A)}, l’image {\text{Ker}(f)} de l’application linéaire {f}.
On appelle rang de {A}, et on note {\text{rg}(A)}, le rang {\text{rg}(f)} de l’application linéaire {f}.
Le théorème de la dimension nous assure que {\text{rg}(A)+\dim(\text{Ker}(A))=p}.

{\vartriangleright} Premières remarques

  • Si {A} est dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, alors {(\text{rg}(A)\le n\;\text{et}\; \text{rg}(A)\le p)}.
  • Le rang d’une matrice {A} est nul si et seulement si {A} est elle-même la matrice nulle.
  • Le rang d’une matrice {A} est égal à {1} si et seulement {A} possède une colonne non nulle et si les autres colonnes de {A} lui sont proportionnelles (voir ci-après).
  • Le rang de {A} est celui de toute application linéaire susceptible d’être représentée par {A}.

{\vartriangleright} Image d’une matrice, et vecteurs-colonnes

Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}. Notons {\text{C}_{1},\text{C}_{2},\ldots,\text{C}_{p}} les {p} colonnes de {A}.

Pour toute colonne {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{p} \end{pmatrix}} de {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})}, on peut écrire :{AU=\left(\begin{array}{c|c|c|c}&&&\\\text{C}_{1}&\text{C}_{2}&\cdots&\text{C}_{p}\\&&&\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\x_{p} \end{pmatrix}=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}x_{j}\text{C}_{j}}
Ainsi l’image de {A}, c’est-à-dire l’ensemble des {AU}, est le sous-espace engendré par {\text{C}_{1},\text{C}_{2},\ldots,\text{C}_{p}}

On retiendra donc : les colonnes d’une matrice {A} forment une famille génératrice de {\text{Im}(A)}.

{\vartriangleright} Noyau d’une matrice, et vecteurs-lignes

Soit {A=(a_{i,j})} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}. Notons {L_{1},L_{2},\ldots,L_{n}} les {n} lignes de {A}.

On peut donc écrire {A=\left(\begin{array}{cccc}L_1\\L_2\\\vdots\\L_{n}\end{array}\right)}. Soit {U=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{p} \end{pmatrix}} quelconque dans {\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})}.

Avec ces notations, on peut caractériser les vecteurs {U} de {\text{Ker}(A)} : {\begin{array}{rl}U\in\text{Ker}(A)&\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc}L_1\ \\L_2\\\vdots\\L_{n}\end{array}\right)U=0\Leftrightarrow\begin{pmatrix}L_1\, U\\L_2\, U\\\vdots\\L_{n}\,U \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\0 \end{pmatrix}\\\\& \Leftrightarrow \Bigl(\forall\, i\in\{1,\ldots,n\},\;L_{i}U=0\Bigr)\end{array}}
Mais {L_{i}=\begin{pmatrix} a_{i,1}&a_{i,2}&\ldots&a_{i,p}\end{pmatrix}} donc l’égalité {L_{i}U=0} s’écrit {\displaystyle\sum_{j=1}^{p}a_{ij}x_{j}=0}.
Ainsi l’égalité {AU=0} se traduit par un système de {n} équations linéaires impliquant les lignes de {A}.

On retiendra donc : les lignes d’une matrice {A} permettent de former un système d’équations de {\text{Ker}(A)}.

{\vartriangleright} Illustration par un exemple

On demande le noyau, l’image, et le rang de la matrice {A=\begin{pmatrix}2&-1&1&5\\-1&2&3&-4\\3&0&5&6 \end{pmatrix}}.
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Le même exemple, avec Python

Attention : la fonction matrix_rank renvoie le rang d’une matrice (au sens que nous avons donné à ce terme). Il ne faut pas confondre avec la fonction rank qui donne le nombre d’indices utilisés pour décrire le tableau {A} (ici rank(A) donne {2} car il faut deux indices pour décrire {A}).

>>> print(a)
[[ 2 -1 1 5] 
[-1 2 3 -4] 
[ 3 0 5 6]] 
>>> np.linalg.matrix_rank(a) # Voici la bonne fonction!
2
>>> np.rank(a) # Voici la mauvais fonction!
2

{\vartriangleright} Inversibilité et noyau, pour une matrice carrée

Proposition
Soit {A} une matrice carrée. Alors {A} est inversible si et seulement si son noyau est réduit à {0}.

Pour prouver l’inversibilité de {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, il suffit donc de prouver que {AX=0\Rightarrow X=0}.
Évidemment, cela ne donne pas {A^{-1}} (il faudrait résoudre {AX=B} en {X=A^{-1}B}).

{\vartriangleright} Effet du produit par une matrice inversible

Proposition (invariance du noyau par multiplication à gauche)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, et soit {Q} dans {\text{GL}_{n}(\mathbb{K})} (donc {Q} est carrée inversible d’ordre {n}).
Alors les matrices {A} et {QA} ont le même noyau.
En particulier elles ont le même rang.
Proposition (invariance de l'image par multiplication à droite)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, et soit {P} dans {\text{GL}_{p}(\mathbb{K})} (donc {P} est carrée inversible d’ordre {p}).
Alors les matrices {A} et {AP} ont la même image. En particulier elles ont le même rang.

Matrices équivalentes et rang

On se place dans l’espace vectoriel {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, avec {n\ge1} et {p\ge1}.
On rappelle qu’on note {J_{r}} la matrice de coefficients {\begin{cases}a_{i,i}=1\text{\ pour\ }1\le i\le r\cr a_{i,j}=0\text{\ dans tous les autres cas}\end{cases}}

Par exemple, dans {{\mathcal M}_{4,5}(\mathbb{K})}, on a {J_2=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\cr0&1&0&0&0\cr0&0&0&0&0\cr0&0&0&0&0\end{pmatrix}} et {J_3=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\cr0&1&0&0&0\cr0&0&1&0&0\cr0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.

Proposition (caractérisation du rang avec les matrices Jr)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
Alors {A} est de rang {r} si et seulement si elle est équivalente à la matrice {J_r}.
Proposition (rapport entre équivalence et rang des matrices)
Soit {A} et {B} deux matrices de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
Alors {A} et {B} sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

On sait qu’en écrivant « {A} est équivalente à {B} », on définit une relation d’équivalence sur {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

La proposition précédente dit que dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, il y a exactement {1+\min(n,p)} classes d’équivalence pour cette relation : chaque classe est en effet formée des matrices {A} dont le rang a une valeur donnée {r}, avec {0\le r\le \min(n,p)}.

En particulier, dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} on a {\text{rg}(A)\le n}, et ({\text{rg}(A)=n\Leftrightarrow A} est inversible).

Proposition (invariance du rang par transposition)
Le rang d’une matrice {A} est égal au rang de sa matrice transposée {{A}^{\top}}.
Proposition (interprétations du rang d'une matrice)
Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
Le rang de {A} est égal au nombre maximum de colonnes libres dans {A}.
Le rang de {A} est aussi égal au nombre maximum de lignes libres dans {A}.

Rang et matrices extraites

Définition (matrices extraites)
Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
Soit {I} une famille strictement croissante d’indices de ligne (des éléments de {\{1,\ldots,n\}}).
Soit {J} une famille strictement croissante d’indices de colonne (des éléments de {\{1,\ldots,p\}}).
Soit {B} la matrice formée par les intersections des lignes {\text{L}_{i}} et {\text{C}_{j}} de {A}, avec {i} dans {I} et {j} dans {J}.
On dit que {B} est une matrice extraite de {A}.

Par exemple, posons {A=\begin{pmatrix}2&5&3&1&6&7\\4&1&5&6&8&9\\1&0&4&5&1&3\\7&9&6&2&1&5\\1&5&8&2&7&4\end{pmatrix}\;}.

Si on choisit {\begin{cases}I=(1,3,4)\\ J=(2,3,5,6)\end{cases}}, on obtient {B=\begin{pmatrix} 5&3&6&7\\0&4&1&3\\9&6&1&5\end{pmatrix}}.

Voici une fonction sousmatrice permettant d’extraire d’une matrice {A} une sous-matrice {B} en précisant un ensemble {I} d’indices de ligne, puis un ensemble {J} d’indices de colonne.

def sousmatrice(a, I, J):
return np.array([[a[i-1, j-1] for j in J] for i in I])

Et voici une illustration de cette fonction, en reprenant l’exemple précédent :

>>> a
array([[2, 5, 3, 1, 6, 7],
[4, 1, 5, 6, 8, 9],
[1, 0, 4, 5, 1, 3],
[7, 9, 6, 2, 1, 5],
[1, 5, 8, 2, 7, 4]])
>>> sousmatrice(a,[1,3,4],[2,3,5,6])
array([[5, 3, 6, 7],
[0, 4, 1, 3],
[9, 6, 1, 5]])

Proposition (rang d'une matrice extraite)
Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, et soit {B} une matrice extraite de {A}. Alors {\text{rg}(B)\le \text{rg}(A)}.

Conséquence importante : si de {A} on peut extraire une matrice de rang {r}, alors {\text{rg}(A)\ge r}.

Proposition (caractérisation du rang par les matrices extraites inversibles)
Soit {A} un élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.
Alors {\text{rg}(A)} est l’ordre maximum d’une matrice carrée inversible extraite de {A}.

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