Matrice d’une application linéaire

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Matrice d’une famille de vecteurs dans une base

Définition (matrice d'une famille de vecteurs dans une base)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel, de dim {n\ge 1}, muni d’une base {\varepsilon=(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}.
Soit {v=(v_{j})_{1\le j\le p}} une famille de {p} vecteurs de {E}.
Pour tout {j} de {\{1,\ldots,p\}}, posons {v_j=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\,\varepsilon_i}.
La matrice de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} de terme général {a_{ij}} est appelée matrice de la famille {v} dans la base {(\varepsilon)}.
On pourra noter cette matrice {A=\text{Mat}_\varepsilon(v)}.

La {j}-ième colonne de {A}est donc formée des composantes de {v_{j}} dans la base {\varepsilon}.
Par exemple, si {n=3}, {j=2}, et si {\begin{cases}v_1=3\varepsilon_1+5\varepsilon_2+\varepsilon_3&\cr v_2=2\varepsilon_1+4\varepsilon_2+7\varepsilon_3&\end{cases}\!\!\!} on a {A=\text{Mat}_\varepsilon(v)=\begin{pmatrix}3&2\cr5&4\cr1&7\end{pmatrix}}

On notera {[v]_\varepsilon} la matrice-colonne des coordonnées d’un vecteur {v} de {E} dans la base {(\varepsilon)}.

Si {v=(v_{j})_{1\le j\le p}}, on peut donc écrire : {A=M_{\varepsilon}(v)=\left(\begin{array}{c|c|c|c}&&&\cr {[v_{1}]}_\varepsilon&{[v_{2}]}_\varepsilon&\cdots&{[v_{p}]}_\varepsilon\\&&&\end{array}\right)}

Matrice d’une application linéaire dans un couple de bases

Définition (matrice d'une application linéaire)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
On suppose que {\dim(E)=p\ge1}, et que {E} est muni d’une base {(e_{j})_{1\le j\le p}}.
On suppose que {\dim(F)=n\ge1}, et que {F} est muni d’une base {(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}.
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
On appelle matrice de {f} dans les bases {e} et {\varepsilon} la matrice {A} de la famille {(f(e_j))_{1\le j\le p} } dans la base {\varepsilon}.
Cette matrice, élément de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, est notée {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)}.

Pour {1\le j\le p}, la {j}-ième colonne de {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)} est donc formée des composantes de {f(e_j)} dans {\varepsilon}.

Supposons par exemple qu’une base de {E} soit {e=(e_1,e_2,e_3)}, et qu’une base de {F}soit {\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)}.

Si {f\in\mathcal{L}(E,F)} est définie par {\begin{cases}f(e_1)=\varepsilon_1+2\varepsilon_2\\f(e_2)=7\varepsilon_1+5\varepsilon_2\\f(e_3)=3\varepsilon_1\end{cases}} alors {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)=\begin{pmatrix}1&7&3\cr2&5&0\end{pmatrix}}

Remarques

  • Une application linéaire est déterminée par sa matrice dans un couple de bases donné.
    Si {\dim(E)=p\ge1} et {\dim(F)=n\ge1}, l’application de {{\mathcal L}(E,F)} dans {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} qui à {f} associe sa matrice dans un couple de bases donné est donc une bijection.
  • Si {f:E\to F} est linéaire et si change la base de {E} ou de {F}, la matrice de {f} est, en général, modifiée. On analysera plus loin cette dépendance en fonction du couple de bases.
    En revanche, la matrice de l’application nulle est toujours la matrice nulle.
  • On retiendra que si {A} est la matrice d’une application linéaire, le nombre de colonnes de {A} est la dimension de l’espace de départ, et le nombre de lignes est la dimension de l’espace d’arrivée.

Cas particulier : matrice d’un endomorphisme dans une base

Soit {f} un endomorphisme de {E}, où {\dim(E)=n\ge1}.
On munit souvent {E} de la même base {e=(e_i)_{1\le i\le n}} au départ et à l’arrivée.
Plutôt que de noter {\text{Mat}_{e,e}(f)}, on note {\text{Mat}_{e}(f)} et on parle de matrice de {f} dans la base {e}.
Cette matrice est bien sûr carrée d’ordre {n}.

Par exemple, soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_3[X])} défini par {f(P(X))=(X+1)P'(X)+P(X)}.

On munit {\mathbb{R}_3[X]} de la base canonique {e=1,X,X^2,X^3} (dans cet ordre!).

On constate que {\begin{cases}f(1)=1\\f(X)=1+2X\\f(X^2)=2X+3X^2\\f(X^3)=3X^2+4X^3\end{cases}}. Ainsi {\text{Mat}_{e}(f)=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&2&2&0\\0&0&3&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}.

Coordonnées de l’image d’un vecteur par une app\up{n} linéaire

Proposition (interprétation matricielle de l'égalité v=f(u))
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
On suppose que {\dim(E)=p\ge1}, et que {E} est muni d’une base {e=(e_{j})_{1\le j\le p}}.
On suppose que {\dim(F)=n\ge1}, et que {F} est muni d’une base {\varepsilon=(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}.
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}, de matrice {A} dans les bases {e} et {\varepsilon}.
Pour tout {u} de {E}, l’égalité vectorielle {v=f(u)} équivaut à l’égalité matricielle {[f(u)]_{\varepsilon}=A[u]_e}.

Réciproquement, si pour une application {f\colon E\to F} il existe une matrice {A} telle que {[f(u)]_{\varepsilon}=A[u]_e} pour tout vecteur {u} de {E}, alors {f} est linéaire et {A=\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)}.

Exemples

Supposons qu’une base de {E} soit {e=(e_1,e_2,e_3)}, et qu’une base de {F}soit {\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)}.

Si {f\in\mathcal{L}(E,F)} est définie par {\begin{cases}f(e_1)=\varepsilon_1+2\varepsilon_2\\f(e_2)=7\varepsilon_1+5\varepsilon_2\\f(e_3)=3\varepsilon_1\end{cases}} alors {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)=\begin{pmatrix}1&7&3\cr2&5&0\end{pmatrix}}

Si {u} a pour coordonnées {(x,y,z)} dans {e}, et si {v} a pour coordonnées {(x',y')} dans {\varepsilon}, alors : {\begin{array}{rl}v=f(u)&\Leftrightarrow[v]_\varepsilon=A[u]_e\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&7&3\\ 2&5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x'=x+7y+3z\\ y'=2x+5y\end{cases}\end{array}}

Réciproquement, soit {g:E\to F} envoyant {u=xe_1+ye_2+ze_3} sur {v=x'\varepsilon_1+y'\varepsilon_2}.
On suppose que {v} est donné par {\begin{cases}x'=x+2y+3z\\y'=9x+8y+7z\end{cases}}

Ce système s’écrit {\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\9&8&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}}, et on a par exemple {g(e_1)=\varepsilon_1+9\varepsilon_2}.
Ainsi {g} est linéaire et sa matrice dans les bases {e} et {\varepsilon} est {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(g)=\begin{pmatrix}1&2&3\cr9&8&7\end{pmatrix}}

Application identité et matrice identité

La matrice de {\text{Id}_E} dans une base {e} de {E} est la matrice identité {I_{n}}, quelle que soit la base {e}.

Mais attention! la matrice de {\text{Id}_E} n’est pas {I_{n}} si dans {E} on utilise une certaine base {e} au départ et une autre base {\varepsilon} à l’arrivée (voir plus loin la question des “matrices de passage”).

Application linéaire canoniquement associée à une matrice

On sait qu’à toute application linéaire {f:E\to F} (avec {\dim(E)=p\ge1} et {\dim(F)=n\ge1}) correspond une matrice unique de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} dans un couple de bases donné.

Inversement, une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} peut “représenter” une infinité d’applications linéaires :

— on a en effet d’abord le choix des espaces {E} (de dimension {p}) et {F} (de dimension {n}).

— on a ensuite le choix d’une base de {E} et d’une base de {F}.

Si rien n’est imposé, on prend souvent {E=\mathbb{K}^p} et {F=\mathbb{K}^n}, munis de leurs bases canoniques.

L’application linéaire {f\colon\mathbb{K}^{p}\to\mathbb{K}^{q}} ainsi obtenue est dite “canoniquement associée” à la matrice {A}.

Par exemple, soit {A=\begin{pmatrix}1&0&-1&3&2\\3&2&-1&0&4\\2&-1&5&-2&0 \end{pmatrix}} dans {\mathcal{M}_{3,5}(\mathbb{R})}.

Elle est canoniquement associée à une application linéaire {f\colon\mathbb{K}^{5}\to\mathbb{K}^{3}}.

Celle-ci est définie par {\begin{cases}x'=x-z+3t+2u\\y'=3x+2y-z+4u\\z'=2x-y+5z-2t\end{cases}} c’est-à-dire par {\begin{pmatrix}x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-1&3&2\\3&2&-1&0&4\\2&-1&5&-2&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ u \end{pmatrix}}.

Forme linéaire canoniquement associée à une matrice-ligne

Une matrice ligne {A=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{p}\end{pmatrix}} est canoniquement associée à une forme linéaire {f} sur {\mathbb{K}^{p}}.

Elle est définie par : {f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{p})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{p}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots \\ x_{p} \end{pmatrix}=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}a_{k}x_{k}}

Propriétés opératoires

{\vartriangleright} Matrice d’une combinaison linéaire

Proposition (matrice de λf+μg)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, de dimensions respectives {p\ge1} et {n\ge1}.
On suppose {E} muni d’une base {e=(e_{j})_{1\le j\le p}}, et {F} d’une base {\varepsilon=(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}.
L’application qui à {f} associe {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)} est un isomorphisme de {{\mathcal L}(E,F)} sur {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

Ainsi, pour tous f,g dans {\mathcal L}(E,F) et pour tous {\lambda,\mu} dans \mathbb{K}, on a : {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(\lambda f+\mu g)=\lambda\,\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)+\mu\,\text{Mat}_{e,\varepsilon}(g)}

Cet isomorphisme implique {\dim {\mathcal L}(E,F)=\dim \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})=np=\dim(E)\dim(F)}. Cet isomorphisme n’est pas “canonique”, en ce sens qu’il dépend des bases {e,\varepsilon} choisies dans {E,F}.

Complément : une base de {{\mathcal L}(E,F)}

On considère toujours l’isomorphisme de {{\mathcal L}(E,F)} sur {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} qui à {f} associe {\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)}.

On obtient une base de {{\mathcal L}(E,F)} en prenant l’image réciproque de la base canonique de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}.

Une base de {{\mathcal L}(E,F)} est donc formée des {(f_{i,j})_{1\le i\le n\atop 1\le j\le p}}, avec : {\begin{cases}\forall\, k\in\{1,\ldots,p\}\setminus\{j\},\;f_{i,j}(e_{k})=0\\f_{i,j}(e_{j})=\varepsilon_{i}\end{cases}}

En d’autres termes, {f_{i,j}} est définie par {f_{i,j}\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{p}x_{k}e_{k}\Bigr)=x_{j}\varepsilon_{i}}.

Cette base de {{\mathcal L}(E,F)} n’est pas “canonique” car elle dépend du choix des bases {e} et {\varepsilon}.

{\vartriangleright} Matrice d’une composée

Proposition (matrice de la composée gf)
Soit {E,F,G} trois espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, tous les trois de dimension finie non nulle.
On suppose que {E,F,G} sont munis de bases notées respectivement {\alpha}, {\beta} et {\gamma}.
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}, et soit {g} une application linéaire de {F} dans {G}.
On note {A=\text{Mat}_{\alpha,\beta}(f)} et {B=\text{Mat}_{\beta,\gamma}(g)}.
Alors la matrice de l’application linéaire {g\circ f}, dans les bases {\alpha} de {E} et {\gamma} de {G}, est {C=BA}.
Autrement dit : {\text{Mat}_{\alpha,\gamma}(g\circ f)=\text{Mat}_{\beta,\gamma}(g)\,\text{Mat}_{\alpha,\beta}(f)}.

{\vartriangleright} Matrice d’une application nilpotente

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}, muni d’une base {e}.
Soit {f} un endomorphisme de {E}, de matrice {A} dans la base {e}.
Alors l’application {f} est nilpotente si et seulement si la matrice {A} est nilpotente. Si {f} est nilpotente, il existe une base {(\varepsilon)} de {E} telle que {\text{Mat}_{\varepsilon}(f)} est strictement triangulaire supérieure.

{\vartriangleright} Matrice d’un isomorphisme

Proposition (matrice de f^{-1})
Soit {E} et {F} deux {\mathbb{K}}-espaces vectoriels de même dimension {n\ge 1}.
On suppose que {E} est muni d’une base {e}, et que {F} est muni d’une base {\varepsilon}.
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}, de matrice {A} dans les bases {e} et {\varepsilon}.
Alors {f} est un isomorphisme si et seulement si la matrice {A} est inversible.
Dans ce cas la matrice de {f^{-1}} dans {\varepsilon} et {e} est {A^{-1}}, ou encore : {\text{Mat}_{\varepsilon,e}(f^{-1})=\bigl(\text{Mat}_{e,\varepsilon}(f)\bigr)^{-1}}

Cas particulier : matrice d’un automorphisme dans une base

Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}, muni d’une base {e}.
Soit {f} un endomorphisme de {E}, de matrice {A} dans la base {e}.
Alors {f} est un automorphisme de {E} si et seulement si {A} est inversible dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
En d’autres termes, on a l’équivalence : {f\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{K})}.
En cas d’inversibilité, la matrice de {f^{-1}} dans {e} est {A^{-1}} : {\text{Mat}_{e}(f^{-1})=\bigl(\text{Mat}_{e}(f)\bigr)^{-1}}.

{\vartriangleright} Matrice des puissances d’une application linéaire

Proposition (matrice de f^n)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}, muni d’une base {e}.
Soit {f} un endomorphisme de {E}, de matrice {A} dans la base {e}.
Pour tout entier naturel {k}, la matrice de {f^k} dans la base {e} est {A^k}.
Cela s’étend aux {k} négatifs si {f} est un automorphisme de {E}, c’est-à-dire si {A} est inversible.

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