Propriétés des limites

Plan du chapitre "Limites, continuité"

Opérations sur les limites

Proposition (limite et valeur absolue)
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{R}}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|=\left|\ell\right|}.

Ce résultat est encore valable si {\ell=\pm\infty}, à condition de noter {\left|{-\infty}\right|=\left|{+\infty}\right|=+\infty}.

L’existence de {\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|} n’implique pas celle de {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}, si on ne sait rien du signe de {f}.

En revanche, on a l’équivalence : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|=0}.

Si {\ell} est un réel, on a les équivalences : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)-\ell)=0\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}\left|{f(x)-\ell}\right|=0}

Proposition (limites et combinaisons linéaires)
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}, avec {\ell} et {\ell\,'} dans {\mathbb{R}}.
Alors {\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)=\ell+\ell\,'}.
Plus généralement, pour tout {(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2}}, on a : {\displaystyle\lim_{x\to a}(\alpha f+\beta g)(x)=\alpha\ell+\beta\ell\,'}.

Ce résultat s’étend à {\ell} ou {\ell'} dans {\{-\infty,+\infty\}}, à condition que {\alpha \ell+\beta \ell'} ait un sens dans {\overline{\mathbb{R}}}.

On ne peut en effet rien dire en général de {\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)} si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=-\infty}.

On dit dans ce cas qu’on est en présence de la forme indéterminée “{\infty-\infty}“.
Il faut alors faire une étude spécifique et “lever” cette indétermination.

Proposition (limites et produits)
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}, avec {\ell} et {\ell\,'} dans {\mathbb{R}}.
Alors {\displaystyle\lim_{x\to a}(fg)(x)=\ell\ell\,'}.

Ce résultat s’étend à {\ell} ou {\ell\,'} dans {\{-\infty,+\infty\}}, à condition que {\ell\, \ell\,'} ait un sens dans {\overline{\mathbb{R}}}.

Ainsi, on ne peut rien dire en général de {\displaystyle\lim_{x\to a}(fg)(x)} si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\in\{-\infty,+\infty\}}.

On dit dans ce cas qu’on est en présence de la forme indéterminée “{0\,\infty}“.
Il faut alors faire une étude spécifique et “lever” cette indétermination.

Proposition (majoration ou minoration de l'inverse)
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell\in\mathbb{R}^{*}}, alors au voisinage de {a} : {\left|f(x)\right|\ge\dfrac{1}2\,\left|\ell\right|}, donc {\dfrac{1}{\left|f(x)\right|}\le\dfrac{2}{\left|\ell\right|}}.

Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell>0} (resp. {\ell\lt 0}), alors au voisinage de {a} : {f(x)>\dfrac\ell2>0} (resp. {f(x)\lt \dfrac\ell2\lt 0}).

Proposition (limites et passage à l'inverse)
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{R}^{*}}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac1\ell}.
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0} et {f(x)>0} au voisinage de {a}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty}.
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0} et {f(x)\lt 0}) au voisinage de {a}, alors on a {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=-\infty}.
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty} ou {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac1{f(x)}=0}.

Ce qui précède permet de conclure dans le calcul de {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}}, sauf dans les cas suivants :

  • Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}, on parle de la forme indéterminée “{\dfrac 00}
  • Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty}, on parle de la forme indéterminée “{\dfrac\infty\infty}

Pour {\displaystyle\lim_{x\to a}\,{f(x)}^{g(x)}}, trois formes indéterminées se ramènent à “{0\,\infty}” car {f(x)^{g(x)}=\text{e}^{g(x)\ln(f(x))}}.

Ces trois formes indéterminées sont :

1^\infty” si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=1} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty}

\infty^0” si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}

0^0” si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0^{+}} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}

Avec une forme indéterminée, tout est possible : on fait une étude spécifique pour chaque cas.

Proposition (composition des limites)
On suppose que la fonction {g\circ f} est définie au voisinage de {a}.
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b} et {\displaystyle\lim_{x\to b}g(x)=\ell}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}(g\circ f)(x)=\ell}.

Limites et inégalités

Proposition (conservation des inégalités large par passage à la limite)
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}, avec {\ell} et {\ell\,'} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Si on a {f(x)\le g(x)} au voisinage de {a}, alors {\ell\le\ell\,'}.
  • En particulier, si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} et si {\lambda} est un nombre réel :
    — si {f(x)\le\lambda} au voisinage de {a}, alors {\ell\le \lambda}.
    — si {f(x)\ge\lambda} au voisinage de {a}, alors {\ell\ge\lambda}.
  • Si {f(x)\lt g(x)} au voisinage de {a}, on peut seulement affirmer {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\le \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}.
    Ainsi, par passage à la limite, les inégalités strictes “deviennent” des inégalités larges.
Proposition
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}, avec {a,\ell,\ell\,'} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Si {\ell\lt \ell\,'}, alors l’inégalité {f(x)\lt g(x)} est vraie au voisinage de {a}.
En particulier, si {\lambda} est un nombre réel :
— si {\ell\lt \lambda}, alors {f(x)\lt \lambda} au voisinage de {a}

— si {\ell>\lambda}, alors {f(x)>\lambda} au voisinage de {a}.

On retrouve le “théorème des gendarmes” :

Proposition (passage à la limite par encadrement)
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell}, avec {a} et {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Si on a l’encadrement {f(x)\le h(x)\le g(x)} au voisinage de {a}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\ell}.

Cas particuliers importants

  • Si {|f(x)|\le g(x)} au voisinage de {a} et si {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0}.
  • Si {f} est bornée au voisinage de {a} et si {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}(fg)(x)=0}.
  • Supposons {f(x)\le g(x)} au voisinage de {a} :
    — si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty} alors {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=+\infty}

    — si {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=-\infty} alors {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty}

Théorème de la limite monotone

Proposition (limite aux bornes, pour une fonction monotone)
Soit {f} une fonction monotone de {]a,b[} dans {\mathbb{R}}, avec {a} et {b} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Alors la limite {\ell} de {f} en {a} et la limite {\ell\,'} de {f} en {b} existent dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Plus précisément, si {f} est croissante : on a {\;\ell=\displaystyle\inf_{a\lt x\lt b}f(x)} et {\;\ell'=\displaystyle\sup_{a\lt x\lt b}f(x)}.
Et si {f} est décroissante, alors : {\;\ell=\displaystyle\sup_{a\lt x\lt b}f(x)} et {\;\ell'=\displaystyle\inf_{a\lt x\lt b}f(x)}.

Les différents cas possibles

  • Supposons {f} croissante :
    — si elle est majorée, {\ell\,'} est un réel, sinon {\ell\,'=+\infty}

    — si elle est minorée, {\ell} est un réel, sinon {\ell=-\infty}

  • Supposons {f} décroissante :
    — si elle est minorée, {\ell\,'} est un réel, sinon {\ell\,'=-\infty}

    — si elle est majorée, {\ell} est un réel, sinon {\ell=+\infty}

Proposition (théorème de la limite monotone)
Soit {f} une fonction monotone de {]a,b[} dans {\mathbb{R}}, avec {a} et {b} dans {\overline{\mathbb{R}}}. Soit {c} dans {]a,b[}.
La fonction {f} admet en {c} une limite à gauche et une limite à droite, toutes deux finies.
Si {f} est croissante, alors : {\displaystyle\lim_{x\to c-}f(x)\le f(c)\le\displaystyle\lim_{x\to c+}f(x)}.
Si {f} est décroissante, alors : {\displaystyle\lim_{x\to c-}f(x)\ge f(c)\ge \displaystyle\lim_{x\to c+}f(x)}.

Voici deux illustrations du résultat précédent, dans le cas (un peu rare tout de même) où les limites à gauche et à droite de {f} en {c} sont toutes deux distinctes de la valeur {f(c)}.

Tout d’abord les limites à gauche et à droite en {c} avec {f} croissante au voisinage de {c}

Ensuite les limites à gauche et à droite en {c} avec {f} décroissante au voisinage de {c}

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