Limite en un point

Plan du chapitre "Limites, continuité"

Propriétés vraies “au voisinage d’un point”

Dans ce chapitre, on étudie la limite d’une fonction en un point {a} (éventuellement {a=\pm\infty}).

On sera aussi conduit à comparer des fonctions « au voisinage de {a} ».

Par exemple pour écrire que si {f\le g} alors la limite de {f} en {a} est inférieure ou égale à celle de {g} :

  • il faut que {f} et {g} soient toutes deux définies sur un même voisinage de {a}.
  • il suffit que l’inégalité {f(x)\le g(x)} soit vraie au voisinage de {a}.

L’expression “au voisinage de {a}” peut s’entendre comme « suffisamment près de {a} », mais cela est un peu trop familier, et ça ne traduit pas le cas où {a} est égal à {+\infty} ou à {-\infty}.

On doit donc définir précisément ce qu’est “une propriété vraie au voisinage d’un point {a}“.

Définition
Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.
Soit {a} un élément de {I} ou une “extrémité” de {I} (éventuellement {a=\pm\infty}).
Soit {\mathcal{P}(x)} une proposition, vraie ou fausse selon les valeurs d’un élément {x} de {I}.
On dit que {\mathcal{P}} est vraie au voisinage de {a} si l’une des situations suivantes est réalisée :

  • {a} est réel et il existe {\delta>0} tel que : {\forall\, x\in I\,\cap\,]a-\delta,a+\delta[}, {\mathcal{P}(x)} est vraie.
  • {a=+\infty} et il existe un réel {A} tel que : {\forall\, x\ge A,\;\mathcal{P}(x)} est vraie.
  • {a=-\infty} et il existe un réel {A} tel que : {\forall\, x\le A,\;\mathcal{P}(x)} est vraie.

Dans le premier cas, la clause “{x\in I}” n’est utile que si {a} est une extrémité de {I}.
En effet si {a} est intérieur à {I}, alors pour tout {\delta} assez petit, {]a-\delta,a+\delta[} est inclus dans {I}.

Si {f,g} sont définies sur {I}, on pourra par exemple écrire : si {f(x)\le g(x)} au voisinage de {a}, alors …

Limite d’une fonction {f} en un point {a} de {\overline{\mathbb{R}}}

Définition (limite finie en un point a de ℝ)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction à valeurs réelles. Soit {a} un réel, élément ou extrémité de {I}.
Soit {\ell} un réel. On dit que {\ell} est limite de {f} en {a} si : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\;(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon}
Définition (limite infinie en un point a de ℝ)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction à valeurs réelles. Soit {a} un réel, élément ou extrémité de {I}.
On dit que {+\infty} est limite de {f} en {a} si : {\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\, \delta>0,\;(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow f(x)\ge M}On dit que {-\infty} est limite de {f} en {a} si : {\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\,\delta>0,\;(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow f(x)\le M}

Remarques

  • On vient de définir le sens de l’expression “{\ell} est limite de {f} en {a}“, avec {a\in\mathbb{R}} et {\ell\in\overline{\mathbb{R}}}.
    On dit aussi que {f(x)} tend vers {\ell} quand {x} tend vers {a}, et on note {f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}{\ell}}.
  • Dans les trois cas, la clause “{x\in I}” n’est pas nécessaire si {a} est intérieur à {I}.
    Si {a} est dans l’intervalle de définition {I} de {f}, la seule limite possible de {f} en {a} est le réel {f(a)}.
    Très souvent, les calculs de limites se font aux extrémités de l’intervalle de définition.
  • Considérons la phrase : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\;(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon}.

    Cette proposition doit se lire de la façon suivante : pour tout réel strictement positif {\varepsilon} (sous-entendu : “aussi petit soit-il”), il existe un réel strictement positif {\delta} (qui à ce stade dépend donc certainement de {\varepsilon}), tel que, pour tout {x} de {I}, si {x} est à moins de {\delta} de {a}, alors {f(x)} est à moins de {\varepsilon} de {\ell}.

  • Pour réviser un peu la logique, on considère la phrase, obtenue par interversion des quantificateurs :
    {\exists\,\delta>0,\;\forall\,\varepsilon>0\;,\;(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon}
    On demande de la traduire en français, et de comprendre en quoi elle diffère de la phrase précédente.
  • Considérons la phrase : {\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\, \delta>0,\;(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow f(x)\ge M}.

    Cette proposition doit se lire de la façon suivante : pour tout réel {M} (sous-entendu : «aussi grand soit-il du coté de {+\infty}»), il existe un réel strictement positif {\delta} (qui à ce stade dépend donc certainement de {M}), tel que, pour tout {x} de {I}, si {x} est à moins de {\delta} de {a}, alors {f(x)} est supérieur ou égal à {M}.

    Dans cette phrase, on peut se limiter à {M>0} sans changer la portée de la définition.

  • De même, dans la phrase : {\forall\, M\in\mathbb{R},\exists\,\delta>0,(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow f(x)\le M}on peut supposer {M\lt 0} (car ça doit être vrai pour {M} aussi grand qu’on veut du coté de {-\infty}).

On illustre ci-après une situation où {\ell} (réel) est limite de {f} en {a} (réel).
On suppose que {f} est définie sur un intervalle {I} dont {a} est l’extrémité droite.

On a choisi ici une valeur particulière de {\varepsilon} (un peu exagérée pour la clarté du dessin), et une valeur de {\delta} qui “convient” pour un tel {\varepsilon}. On devine que si {\delta} convient pour {\varepsilon}, alors tout {\delta'}, avec {0\lt \delta'\lt \delta} convient aussi. Il ne sert à rien de chercher le “meilleur” {\delta} possible (c’est-à-dire le plus grand possible) pour un {\varepsilon} donné. L’existence d’un certain {\delta} (dépendant de {\varepsilon}) est suffisante.

Limite d’une fonction {f} en {+\infty} ou en {-\infty}

Définition (limite finie en +∞)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, où {I} est un intervalle non majoré.
Soit {\ell} un nombre réel. On dit que {\ell} est limite de {f} en {+\infty} si : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\ge A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)}

La phrase : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\ge A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)} doit se lire de la façon suivante : pour tout réel strictement positif {\varepsilon} (sous-entendu : “aussi petit soit-il”), il existe un réel {A} (qui à ce stade dépend donc certainement de {\varepsilon}), tel que, pour {x\ge A} (c’est-à-dire “au-delà de {A}“), alors {f(x)} est à moins de {\varepsilon} de {\ell}.

On illustre ci-après le fait que {\ell} (réel) est limite de {f} en {+\infty}.
On suppose que {f} est définie sur un intervalle {I} non majoré (donc «qui va jusqu’à {+\infty}»).

On a choisi ici une valeur particulière de {\varepsilon}, puis une valeur de {A} qui “convient” pour un tel {\varepsilon}.
Si {A} convient pour {\varepsilon}, tout {A'>A} convient aussi.

Il ne sert à rien de chercher le “meilleur” {A} possible (le plus petit possible) pour un {\varepsilon} donné. L’existence d’un certain {A} (dépendant de {\varepsilon}) est suffisante.

On définit ensuite la notion de limite infinie, “quand {x} tend vers {+\infty}” :

Définition (limite infinie en +∞)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, où {I} est un intervalle non majoré.
On dit que {+\infty} est limite de {f} en {+\infty} si : {\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\ge A\Rightarrow f(x)\ge M)}On dit que {-\infty} est limite de {f} en {+\infty} si : {\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\, A\in\mathbb{R},\;(x\ge A\Rightarrow f(x)\le M)}

On examine finalement la notion de limite “quand {x} tend vers {-\infty}“.

Définition (limite finie en -∞)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, où {I} est un intervalle non minoré. Soit {\ell} un nombre réel.
On dit que {\ell} est limite de {f} en {-\infty} si : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\le A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)}
Définition (limite infinie en -∞)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, où {I} est un intervalle non minoré.
On dit que {+\infty} est limite de {f} en {-\infty} si :{\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\le A\Rightarrow f(x)\ge M)}
On dit que {-\infty} est limite de {f} en {-\infty} si :{\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\, A\in\mathbb{R},\;(x\le A\Rightarrow f(x)\le M)}

En définitive, on a donné un sens à l’expression « {\ell} est limite de {f} en {a} », avec {a} et {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.

Pour exprimer cela, on dit que {f(x)} tend vers {\ell} quand {x} tend vers {a}, et on note {f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell}.

Unicité de la limite

Proposition (Unicité de la limite)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction à valeurs réelles.
Soit {a} dans {\overline{\mathbb{R}}}, élément ou borne de l’intervalle {I}. Soit {\ell} un élément de {\overline{\mathbb{R}}}.
On suppose que {\ell} est limite de {f} en {a}, au sens de l’une des définitions précédentes.
Alors {\ell} est le seul élément de {\overline{\mathbb{R}}} à posséder cette propriété.
On l’appelle la limite de {f} en {a}, et on note {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, ou {\displaystyle\lim_af=\ell} ou {f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}\ell}.

Remarques

Il se peut qu’une fonction ne possède pas de limite en un point.
Par exemple, la fonction {x\mapsto\cos x} n’a pas de limite en {-\infty} ou en {+\infty}.
De même, la fonction {x\mapsto\lfloor{x}\rfloor} (partie entière de {x}) n’a pas de limite en un élément {k} de {\mathbb{Z}}.

On trace ci-après une partie du graphe de {f} définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par {f(x)=\cos\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)}.

On voit que les oscillations de {f} s’accélèrent quand {x\to0}.
Cette fonction ne possède pas de limite en {0} : en fait, sur chaque intervalle {]0,a[}, avec {a>0}, la fonction {f} prend une infinité de fois chacune des valeurs du segment {[-1,1]}.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate des définitions sur les limites :

Proposition (limite de f en a si f est définie en a)
Si la fonction {f} est définie en le réel {a}, sa seule limite possible en {a} est {f(a)}.
Autrement dit : si {f(a)} et la limite de {f} en {a} existent, alors nécessairement : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}.

Extensions de la notion de limite

Définition (limite par valeurs inférieures ou par valeurs supérieures)
On suppose que la limite de {f} en {a} (élément de {\overline{\mathbb{R}}}) est le réel {\ell}.
Si {f(x)\ge\ell} au voisinage de {a}, on dit que {f(x)} tend en {a} vers {\ell} “par valeurs supérieures”.
Si {f(x)\le\ell} au voisinage de {a}, on dit que {f(x)} tend en {a} vers {\ell} “par valeurs inférieures”.
On peut alors noter {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell^+} (respectivement {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell^-}).

Remarque

Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)} est un réel {\ell}, il n’y a aucune raison a priori pour {\ell} soit “obtenu” par valeurs supérieures ou inférieures (c’est-à-dire pour que {f(x)-\ell} garde un signe constant au voisinage de {a}).

Par exemple, {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}=0}, mais le signe de {\dfrac{\sin(x)}{x}} n’est constant sur aucun intervalle {[A,+\infty[}.

Définition (limite à gauche)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction réelle définie sur un intervalle {I}.
On suppose que le réel {a} est intérieur à l’intervalle {I}. Soit {\ell} un élément de {\overline{\mathbb{R}}}.
Soit {g} la restriction de {f} à l’intervalle {J=I\,\cap\,]-\infty,a\,[}.
Le réel {a} est donc l’extrémité droite de {J}, et n’appartient pas à {J}.
On dit que {f} admet {\ell} pour limite en {a} à gauche si {g} admet {\ell} pour limite en {a}.
On note alors {\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\ell}, ou {\displaystyle\lim_{a^-}f=\ell}, ou {f(x)\underset{x\to a-}{\longrightarrow}\ell}

Définitions équivalentes :
En notant {\ell} un nombre réel, on a les définitions équivalentes

{\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\ell\Leftrightarrow\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\ (a-\delta\le x\lt a) \Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon} {\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\,\delta>0,\ (a-\delta\le x\lt a)\Rightarrow f(x)\ge M} {\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\,\delta>0,\ (a-\delta\le x\lt a)\Rightarrow f(x)\le M}

Définition (limite à droite)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction réelle définie sur un intervalle {I}.
On suppose que le réel {a} est intérieur à l’intervalle {I}. Soit {\ell} un élément de {\overline{\mathbb{R}}}.
Soit {g} la restriction de {f} à l’intervalle {J=I\cap\;]\,a,+\infty[}.
Le réel {a} est donc l’extrémité gauche de {J}, et n’appartient pas à {J}.
On dit que {f} admet {\ell} pour limite en {a} à droite si {g} admet {\ell} pour limite en {a}.
On note alors {\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\ell}, ou {\displaystyle\lim_{a^+}f=\ell}, ou {f(x)\underset{x\to a+}{\longrightarrow}\ell}

Définitions équivalentes :

En notant {\ell} un nombre réel, on a les définitions équivalentes
{\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\ell\Leftrightarrow\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\;(a\lt x\le a+\delta)\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon} {\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\,\delta>0,\;(a\lt x\le a+\delta)\Rightarrow f(x)\ge M} {\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall\, M\in\mathbb{R},\;\exists\,\delta>0,\;(a\lt x\le a+\delta)\Rightarrow f(x)\le M}

Remarque : la limite de {f} en {a}, à gauche ou à droite, si elle existe, est unique. De même, la plupart des propriétés vraies pour les limites le sont encore s’il s’agit de limites à gauche ou à droite.

Extension de la notion de limite si {f} est définie sur {I\setminus\{a\}}

On suppose ici que {f} est définie sur {I\setminus\{a\}}, où {a} est un point intérieur à l’intervalle {I} (autrement dit la fonction {f} est définie sur {I} sauf en {a}).

On suppose également qu’il existe un réel {\ell} tel que {\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\ell}.

Dans ces conditions, on dira encore que {\ell} est la limite de {f} en {a} (même si {f} n’est pas définie en {a}).

Le plus souvent d’ailleurs, on prolongera {f} au point {a} en posant {f(a)=\ell}.

Importance des limites à l’origine

Le résultat suivant explique qu’on peut toujours se ramener à des limites calculées à l’origine (donc « quand {x} tend vers {0} »), et même (dans le cas de limites finies) à une limite égale à {0} :

Proposition (importance des limites nulles ou des limites en 0)
Si {a} est un réel, et {\ell} un élément de {\overline{\mathbb{R}}}, on a : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to0}f(a+x)=\ell}.
Si {\ell} est un réel, et {a} un élément de {\overline{\mathbb{R}}}, on a : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)-\ell)=0}.

Les “limites usuelles” sont pour la plupart connues à l’origine (en {0}). Pour une limite en un réel {a} non nul, on se ramènera donc souvent au cas usuel en posant {x=a+h} avec « {h} tendant vers {0} ».

Proposition (limite finie et caractère borné de f)
Soit {a} un élément de {\overline{\mathbb{R}}}. Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)} existe et est finie, alors {f} est bornée au voisinage de {a}.

Caractérisation séquentielle de la limite

Proposition (caractérisation séquentielle des limites)
Soit {f} une fonction définie sur l’intervalle {I}, à valeurs réelles.
Soit {a} un élément de {\overline{\mathbb{R}}} (élément de {I} ou extrémité de {I}). Soit {\ell} un élément de {\overline{\mathbb{R}}}.
Alors {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} si et seulement si, pour toute suite {(u_n)} de {I} tendant vers {a}, {\displaystyle\lim f(u_n)=\ell}.

Cette propriété est importante pour deux raisons :

  • D’une part, elle permet d’utiliser les résultats connus sur les limites de suites pour en déduire des résultats sur les limites de fonctions (voir plus loin).
  • D’autre part, elle est utile pour montrer qu’une fonction ne possède pas de limite en un point {a}.
    Il suffit en effet de mettre en évidence deux suites {(u_{n})} et {(v_{n})} de l’intervalle {I}, tendant toutes deux vers {a}, et telles que les suites {(f(u_{n}))} et {(f(v_{n}))} n’aient pas la même limite.
  • Considérons par exemple la fonction {f} définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par {f(x)=\cos\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)}.
    Posons {u_{n}=\dfrac{1}{2n\pi}} et {v_{n}=\dfrac{1}{(2n+1)\pi}}. Pour tout {n}, on a {f(u_{n})=1} et {f(v_{n})=-1}.
    Ainsi {\lim u_{n}=\lim v_{n}=0}, mais les suites {(f(u_{n}))} et {(f(v_{n}))} n’ont pas la même limite.
    Il en résulte que la fonction {f} n’a pas de limite en {0}.

On notera bien que la proposition précédente est valable pour tous les cas particuliers de limites (en un point {a} de {\mathbb{R}}, ou quand {x} tend vers {\pm\infty}), que la limite soit elle-même un nombre réel ou {\pm\infty}.

Enfin, cette propriété se généralise aux limites à gauche et à droite.

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