Continuité sur un intervalle

Plan du chapitre "Limites, continuité"

Fonctions continues sur un intervalle

Définition
Soit {f} une fonction numérique réelle, définie sur l’intervalle {I}.
On dit que {f} est continue sur {I} si {f} est continue en tout point de {I}.
On note {\mathcal{C}(I,\mathbb{R})} l’ensemble des fonctions continues sur {I}, à valeurs réelles.

Applications continues usuelles

  • Les fonctions constantes, les fonctions {x\mapsto x} et {x\mapsto|x|}, sont continues sur {\mathbb{R}}.
  • Les fonctions polynomiales sont continues sur {\mathbb{R}}. Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynomiales) sont continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition.
  • Les fonctions usuelles {x\mapsto\sin(x)}, {x\mapsto\cos(x)}, {x\mapsto\tan(x)}, {x\mapsto\exp(x)}, {x\mapsto\ln(x)} et {x\mapsto x^\alpha} sont continues sur chaque intervalle de leur domaine.
Proposition (opérations entre fonctions continues sur un intervalle)
Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur {I}.
Alors {\alpha f+\beta g} ({\alpha,\beta} dans {\mathbb{R}}), {fg}, {\inf(f,g)} et {\sup(f,g)} sont continues sur {I}.
Proposition (compositions de fonctions continues sur un intervalle)
Si {f\colon I\to\mathbb{R}} et {g\colon J\to\mathbb{R}} sont continues, avec {f(I)\subset J}, alors {g\circ f} est continue sur {I}.

Remarques

Pour démontrer qu’une fonction est continue sur un intervalle {I}, on ne revient pratiquement jamais à la définition “epsilonesque”. Le plus souvent, la fonction à étudier est en effet un “cocktail” de fonctions continues usuelles et les propriétés précédentes permettent de conclure.

La continuité, même sur un intervalle, reste une propriété locale, ce qui signifie qu’elle n’est que le bilan de la continuité de {f} en chacun des points de {I}.

Théorème des valeurs intermédiaires

Proposition (propriété des valeurs intermédiaires)
Soit {f} une fonction continue sur l’intervalle {I}.
Soit {a} et {b} deux éléments de {I}, et soit {\beta} un réel compris entre {f(a)} et {f(b)}.
Alors il existe un réel {\alpha}, compris entre {a} et {b}, tel que {f(\alpha)=\beta}.
Proposition (un énoncé équivalent au précédent)
Soit {f} une fonction continue sur l’intervalle {I}, à valeurs réelles.
On suppose qu’il existe {a} et {b} dans {I} tels que {f(a)\le0} et {f(b)\ge0}.
Alors il existe {c} dans {I}, compris entre {a} et {b}, tel que {f(c)=0}.
Proposition (un énoncé équivalent aux deux précédents)
Soit {f} une fonction continue sur l’intervalle {I}, à valeurs réelles. Alors {f(I)} est un intervalle.

On représente ci-après la situation typique d’une fonction {f} continue sur un intervalle {I}.

On a choisi deux abscisses {a,b} de {I}, et une ordonnée {\beta} dans {[f(a),f(b)]}.

On a grisé le rectangle délimitant le graphe de {f} : sa projection sur {Ox} est l’intervalle {I}, et sa projection sur {Oy} est l’image {J=f(I)}.

On a marqué une abscisse {\alpha} comprise entre {a} et {b}, telle que {f(\alpha)=\beta} (en fait il y avait ici trois solutions {\alpha} possibles, ce qui est manifestement une conséquence de la non monotonie de {f}).

Approximation d’un zéro par dichotomie

Soit {f} une fonction définie et continue sur un segment {[a,b]} (avec {a\lt b}) à valeurs réelles.
On suppose que {f(a)f(b)\le 0}.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe {\alpha} dans {[a,b]} tel que {f(\alpha)=0}.

La méthode d’approximation de {\alpha} par dichotomie consiste en les étapes suivantes :

  • Initialisation : on pose {a_{0}=a} et {b_{0}=b}.
  • Soit {n} dans {\mathbb{N}}. On suppose {a_{n}} et {b_{n}} connus, avec {f(a_{n})f(b_{n})\le 0}.
    On pose {c_{n}=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2}}.
    Si {f(a_{n})f(c_{n})\le0}, on pose {\begin{cases}a_{n+1}=a_{n}\cr b_{n+1}=c_{n}\end{cases}} sinon on pose {\begin{cases}a_{n+1}=c_{n}\cr b_{n+1}=b_{n}\end{cases}}
  • On définit ainsi deux suites adjacentes {(a_{n})_{n\ge0},(b_{n})_{n\ge0}}.
    Ces deux suites convergent vers une solution {\alpha} de l’équation {f(x)=0}.
  • Dans la pratique, on se donne {\varepsilon>0}, et on s’arrête dès que {0\le b_{n}-a_{n}\le\varepsilon}.
    On a alors obtenu un encadrement de {\alpha} avec une erreur absolue majorée par {\varepsilon}.

On va écrire une fonction Python qui renvoie l’intervalle final de cette dichotomie.
Pour {\varepsilon}, on utilise une valeur par défaut : {\varepsilon=10^{-8}}.

Voici tout d’abord le listing :

def dichotomie(f, a, b, eps=1e-8):
while abs(b-a) > eps :
c = (a+b)/2
if f(a)*f(c) \< = 0 : b=c
else : a=c
return [a,b]

Voici ensuite quelques exemples d’utilisation.
On obtient ainsi un encadrement de chacune des trois racines de {f(x)=x^{3}-2x^{2}-x+1}.

def f(x): return x*x*x-2*x*x-x+1
>>> dichotomie(f,-1,0)
[-0.8019377365708351, -0.8019377291202545]
>>> dichotomie(f,0,1)
[0.5549581274390221, 0.5549581348896027]
>>> dichotomie(f,2,3)
[2.2469796016812325, 2.246979609131813]

Application continue sur un segment

Les deux énoncés qui suivent sont équivalents :

Proposition (présence d'un maximum et d'un minimum)
Soit {f} une fonction continue sur le segment {[a,b]}, à valeurs réelles.
Alors {f} est bornée sur {[a,b]}, et elle atteint ses bornes.
Il existe donc {x_0} dans {[a,b]} tel que {f(x_0)=\min\{f(x),a\le x\le b\}}.
De même, il existe {x_1} dans {[a,b]} tel que {f(x_1)=\max\{f(x), a\le x\le b\}}.
Proposition (image d'un segment par une fonction continue)
Soit {f} une fonction continue sur le segment {[a,b]}, à valeurs réelles.
Alors {f([a,b])} est un segment {[m,M]} de {\mathbb{R}}.

On a représenté ici deux situations typiques. La fonction choisie {f} n’est pas monotone sur {[a,b]}.
Les abscisses où {f} atteint ses bornes ne sont pas nécessairement les extrémités de {[a,b]} (première figure), même si ça reste possible (indépendamment de la non monotonie de {f}, voir seconde figure).

Continuité et stricte monotonie sur un intervalle

Proposition (continuité et injectivité impliquent stricte monotonie)
Soit {f:I\to\mathbb{R}}, continue et injective sur {I}. Alors {f} est strictement monotone sur {I}.
Proposition (une condition suffisante de continuité sur un intervalle)
Soit {I} un intervalle, et soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction monotone.
On suppose que {f(I)} est un intervalle. Alors {f} est continue sur l’intervalle {I}.
Proposition (théorème de la bijection réciproque)
Soit {f:I\to\mathbb{R}}, continue et strictement monotone sur {I}.
Alors {f} réalise une bijection de {I} sur l’intervalle image {J=f(I)}.
La bijection réciproque {f^{-1}:J\to I} est continue et strictement monotone (de même monotonie que {f}).

Symétrie des courbes représentatives

Les courbes représentatives {(\Gamma)} de {f} et {(\Gamma')} de {f^{-1}} sont symétriques l’une de l’autre dans la symétrie par rapport à la droite {y=x}, parallèlement à la droite {y=-x} (si le repère est orthonormé, il s’agit de la symétrie orthogonale par rapport à la droite {y=x}).

On a représenté ici deux situations possibles (le graphe {(\Gamma')} de {f^{-1}} est en pointillés).

Dans le premier cas {f} et {f^{-1}} sont strictement croissantes.

Dans le second cas , {f} et {f^{-1}} sont strictement décroissantes.
On a fait figurer une valeur {x} telle que {f(x)=x} donc telle que {f^{-1}(x)=x} : les deux graphes traversent alors simultanément la première bissectrice.

Unicité de la racine à une équation {f(x)=0}

Le théorème des valeurs intermédiaires montre l’existence d’une solution pour {f(x)=0}.
Le théorème de la bijection réciproque assure l’unicité de cette solution.

Conservation des caractéristiques de l’intervalle

Si {f} est continue sur {I}, alors {J=f(I)} n’a pas nécessairement les mêmes caractéristiques que {I} (caractère ouvert ou fermé, borné ou non borné).
En revanche, on sait que si {I} est un segment, alors {f(I)} est un segment.

On peut ajouter que si {f} est strictement monotone, alors le caractère ouvert, semi-ouvert, ou fermé est conservé quand on passe de l’intervalle {I} à l’intervalle {J}.

Rappel : exemples de réciproques d’applications continues

  • L’application {x\mapsto\exp(x)} est une bijection de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{R}^{+\ast}}.
    La bijection réciproque est {x\mapsto\ln(x)}.
  • Pour tout {\alpha\in\mathbb{R}^{+\ast}}, les applications {x\mapsto x^\alpha} et {x\mapsto x^{1/\alpha}} sont deux bijections de {\mathbb{R}^{+\ast}} sur lui-même, réciproques l’une de l’autre.
  • L’application {x\mapsto\sin(x)} réalise une bijection de {\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]} sur {[-1,1]}.
    La bijection réciproque est notée {x\mapsto\arcsin(x)} (arc sinus de {x}).
  • L’application {x\mapsto\cos(x)} réalise une bijection de {[0,\pi]} sur {[-1,1]}.
    La bijection réciproque est notée {x\mapsto\arccos(x)} (arc cosinus de {x}).
  • L’application {x\mapsto\tan(x)} réalise une bijection de {\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[} sur {\mathbb{R}}.
    La bijection réciproque est notée {x\mapsto\arctan(x)} (arc tangente de {x}}.

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