Cas des fonctions continues complexes

Plan du chapitre "Limites, continuité"

Soit {f} une fonction complexe {f:I\to\mathbb{C}}, définie sur l’ intervalle {I}.

On sait que {f} est caractérisée par {g:I\to\mathbb{R}} et {h:I\to\mathbb{R}} telles : {\forall\, x\in I,\;f(x)=g(x)+ih(x)}.
Ces deux fonctions réelles sont notées {g=\text{Re}(f)} et {h=\text{Im}(f)}.

Limite d’une fonction à valeurs complexes

Voici les trois définitions qu’on peut donner pour exprimer qu’une fonction à valeurs complexes possède une limite en un point {a} (avec {a} réel), ou en {\pm\infty}.

Ces définitions sont calquées sur celles qui ont été données pour des fonctions à valeurs réelles. La seule différence est que la distance {\left|{f(x)-\ell}\right|} est mesurée dans {\mathbb{C}}, avec un module et non plus une valeur absolue.

Définition (limite finie en un point a de ℝ)
Soit {I} un intervalle, et soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes.
Soit {a} un réel, élément ou extrémité de {I}. Soit {\ell} un nombre complexe.
On dit que {\ell} est limite de {f} en {a} si : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\;(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon}
Définition (limite finie en +∞)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction complexe, où {I} est un intervalle non majoré.
Soit {\ell} un nombre complexe. On dit que {\ell} est limite de {f} en {+\infty} si : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\ge A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)}
Définition (limite finie en -∞)
Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction complexe, où {I} est un intervalle non minoré.
Soit {\ell} un nombre complexe. On dit que {\ell} est limite de {f} en {-\infty} si : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\le A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)}

Les définitions portant sur les fonctions réelles ne sont pas toutes transposables aux fonctions complexes.
Par exemple, si {f:I\to\mathbb{C}}, cela n’a aucun sens d’écrire que {f} tend vers {+\infty} ou {-\infty}.
De même, on ne peut plus parler de limite “par valeurs supérieures” (ou inférieures).
En revanche, on peut encore parler de la limite à gauche et de la limite à droite en {a}.

Proposition (caractérisation en termes de partie réelle et partie imaginaire)
Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction complexe. Soit {g=\text{Re}(f)} et {h=\text{Im}(f)}.
Soit {a} un réel, élément ou extrémité de {I}.
Soit {\ell=u+iv} un nombre complexe, avec {u,v} dans {\mathbb{R}}.
Alors on a l’équivalence : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\Leftrightarrow\big(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=u\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=v\big)}

Dans ce cas, on peut donc écrire : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)+i\,\lim_{x\to a}h(x)}.

Le résultat précédent s’étend immédiatement à {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{C}}.

Résultats qui s’étendent aux limites de fonctions complexes

Un certain nombre de résultats concernant les limites de fonctions à valeurs réelles s’étendent sans difficulté au cas des fonctions à valeurs complexes. Citons entre autres :

  • L’unicité de la limite
  • Le fait que si {f} est définie en {a}, sa seule limite possible en {a} est {f(a)}
  • La caractérisation séquentielle des limites
  • Les opérations sur les limites (combinaisons linéaires, produits, compositions)

En revanche, on ne peut pas généraliser aux fonctions complexes les propriétés des limites réelles quand elles ont un rapport avec les inégalités et la monotonie

Continuité en un point d’une fonction complexe

La définition suivante reprend mot pour mot celle qui a été donnée pour des fonctions à valeurs réelles.
La seule différence est que la distance {\left|{f(x)-f(a)}\right|} utilise maintenant le module dans {\mathbb{C}}.

Définition (définition de la continuité d'une fonction complexe en un point)
Soient {f:I\to\mathbb{C}} une fonction complexe, et soit {a} un élément de {I}.
On dit que {f} est continue en {a} si la limite de {f} en {a} existe.
Puisque {f} est définie en {a}, cela équivaut à dire : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}

Donc {f} est continue en {a} si et seulement si : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\;(x\in I\;\text{et}\; |x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-f(a)|\le \varepsilon}

On a immédiatement la caractérisation par la partie réelle et la partie imaginaire :

Proposition (caractérisation en termes de partie réelle et partie imaginaire)
Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction complexe. Soit {g=\text{Re}(f)} et {h=\text{Im}(f)}.
Soit {a} dans {I}. Alors {f} est continue en {a} si et seulement si {g} et {h} sont continues en {a}.

Un certain nombre de résultats concernant la continuité de fonctions à valeurs réelles s’étendent sans difficulté au cas des fonctions à valeurs complexes. Citons entre autres :

  • La définition de la continuité à gauche ou à droite
  • La caractérisation séquentielle de la continuité en un point
  • Les opérations sur les fonctions continues

Continuité d’une fonction complexe sur un intervalle

Sans surprise, on a la définition suivante, puis une caractérisation avec les parties réelle et imaginaire.

Définition
Soit {f} une fonction numérique à valeurs complexes, définie sur l’intervalle {I}.
On dit que {f} est continue sur {I} si {f} est continue en tout point de {I}.
On note {\mathcal{C}(I,\mathbb{C})} l’ensemble des fonctions continues sur {I}, à valeurs complexes.
Proposition (caractérisation en termes de partie réelle et partie imaginaire)
Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction complexe. Soit {g=\text{Re}(f)} et {h=\text{Im}(f)}.
Alors {f} est continue sur {I} si et seulement si {g} et {h} sont continues sur {I}.

Voici des résultats concernant la continuité sur un intervalle, et qui généralisent le cas des fonctions à valeurs réelles au cas des fonctions à valeurs complexes :

  • Opérations entre fonctions continues sur un intervalle
  • Compositions de fonctions continues sur un intervalle
    Si {f=I\to\mathbb{R}} et {g:J\to\mathbb{C}} sont continues, avec {f(I)\subset J}, alors {g\circ f} est continue sur {I}.

En revanche, on notera bien les différences suivantes, pour des fonctions continues à valeurs complexes :

  • Il n’y a plus de théorème des valeurs intermédiaires.
    Considérons par exemple la fonction {f:x\mapsto \text{e}^{i\pi x}}.
    Elle est continue sur {[0,1]}, on a {\begin{cases}f(0)=1\\f(1)=-1\end{cases}} mais {f} ne s’annule jamais (faire un dessin)
  • Il n’y a plus de théorème de la bijection réciproque (tout simplement parce que parler de la monotonie de {f:I\to\mathbb{C}} n’a pas de signification).

On notera tout de même le résultat suivant, dans le cas où {f} est continue sur un segment :

Proposition
Soit {f} une fonction continue sur le segment {[a,b]}, à valeurs complexes.
Alors {f} est bornée sur {[a,b]}, et son module atteint ses bornes.
Il existe donc {x_0} dans {[a,b]} tel que {\left|{f(x_0)}\right|=\min\{\left|f(x)\right|,a\le x\le b\}}.
De même, il existe {x_1} dans {[a,b]} tel que {\left|{f(x_1)}\right|=\max\{\left|f(x)\right|, a\le x\le b\}}.

Ce résultat signifie que l’arc {t\mapsto f(t)=u(t)+iv(t)}, avec {0\le t\le b} est tout entier compris dans la couronne circulaire définie par {m\le\left|{f(z)}\right|\le M}, où {m} et {M} sont respectivement le minimum et le maximum de {\left|{f}\right|}. Le fait que ces bornes soient atteintes signifie que l’arc représentant {f} rencontre les deux cercles qui délimitent cette couronne.

On a représenté ici l’arc défini par {f(t)=2\text{e}^{it}+e^{-2it}}.
On a {\begin{cases}u(t)=\text{Re}(f(t))=2\cos(t)+\cos(2t)\cr v(t)=\text{Im}(f(t))=2\sin(t)-\sin(2t)\end{cases}}

Le mouvement de {f(t)} est périodique de période {2\pi}.
L’arc est ici tout entier inclus dans la couronne circulaire de centre {0} défini par {1\le \left|{z}\right|\le 3}.
Sur chaque période, il y a trois points de contact avec le cercle intérieur {\left|z\right|=1}, et trois points de contact avec le cercle extérieur {\left|z\right|=3}.

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