Intégrale sur un segment

Plan du chapitre "Intégration"

Définition de l’intégale sur un segment

Proposition (approximation par des fonctions en escaliers)
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction continue par morceaux, à valeurs réelles.
Pour tout {\varepsilon>0}, il existe deux fonctions en escaliers {\varphi} et {\psi} sur {[a,b]} telles que :

  • pour tout {x} de {[a,b]}, {\varphi(x)\le f(x)\le\psi(x)}.
  • pour tout {x} de {[a,b]}, {0\le\psi(x)-\varphi(x)\le\varepsilon}.

Proposition (intégrale des fonctions continues par morceaux à valeurs réelles)
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction continue par morceaux à valeurs réelles.
On considère les deux quantités suivantes :

  • {I_{-}(f)=\displaystyle\sup_{\varphi\le f}\int_{[a,b]}\varphi}, borne supérieure sur les {\varphi} en escaliers telles que {\varphi\le f}.
  • {I^{+}(f)=\displaystyle\inf_{\psi\ge f}\int_{[a,b]}\psi}, borne inférieure sur les {\psi} en escaliers telles que {\psi\ge f}.

Alors {I_{-}(f)} et {I^{+}(f)} sont des réels égaux.
Leur valeur commune est appelée intégrale de {f} sur {[a,b]}, et elle est notée {\displaystyle\int_{[a,b]}f}.

Si {f} est en escaliers, donc continue par morceaux, les deux significations de {\displaystyle\int_{[a,b]}f} coïncident.

Interprétation en terme d’aire

Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction continue par morceaux.

L’intégrale de {f} sur {[a,b]} représente l’aire algébrique du domaine situé entre la courbe {y=f(x)} et l’axe {Ox}, cette “aire” étant comptée positivement sur les intervalles où {f\ge0} et négativement sur les intervalles où {f\le0}. Numériquement, le résultat est exprimé en unités d’aire (ua).

Extension aux fonctions à valeurs complexes

Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes, continue par morceaux.

Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}. On pose {\displaystyle\int_{[a,b]}f=\displaystyle\int_{[a,b]}u\;+\;i\displaystyle\int_{[a,b]}v}.

Invariance de l’intégrale par translation

Soit {f:[a,b]\to\mathbb{K}}, continue par morceaux. Soit {\alpha} un nombre réel.

On définit la fonction {g} de {J=[a+\alpha,b+\alpha]} dans {\mathbb{K}} par {g(t)=f(t-\alpha)}.

Alors {g} est continue par morceaux sur {J} et {\displaystyle\int_J\,g=\displaystyle\int_I\,f}.

Propriétés de l’intégrale

Pour les fonctions à valeurs réelles, les propriétés de l’intégrale découlent des propriétés analogues sur {\mathcal{E}([a,b],\mathbb{R})}, par passage à borne supérieure.

Pour les fonctions à valeurs complexes, elles découlent immédiatement de la définition :{\displaystyle\int_{[a,b]}f=\displaystyle\int_{[a,b]}\text{Re}(f)\;+\;i\displaystyle\int_{[a,b]}\text{Im}(f)}

Proposition (linéarité de l'intégrale)
Soit {f,g} dans {\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})}, et {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}. Alors {\displaystyle\int_{[a,b]}(\alpha f+\beta g)=\alpha\displaystyle\int_{[a,b]}f+\beta\displaystyle\int_{[a,b]}g}.
Ainsi la fonction qui à {f} associe {\displaystyle\int_{[a,b]}f} est une forme linéaire sur {\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})}.
Proposition (positivité et croissance, pour les fonctions à valeurs réelles)
Soit {f} et {g} deux fonctions continues par morceaux sur {[a,b]}, à valeurs réelles :

  • si {f} est positive ou nulle sur {[a,b]}, alors {\displaystyle\int_{[a,b]}f\ge 0} (positivité de l’intégrale).
  • si {f\le g} sur {[a,b]}, alors {\displaystyle\int_{[a,b]}f\le \displaystyle\int_{[a,b]}g} (croissance de l’intégrale).

Proposition (inégalité de la moyenne)
Soit {f\in\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K}}. Alors {\Big|\displaystyle\int_{[a,b]}f\Big|\le\displaystyle\int_{[a,b]}\left|f\right|\le(b-a)\,\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f(x)\right|}.
Définition (valeur moyenne d'une fonction)
Soit {f} dans {\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})}. La quantité {\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{[a,b]}f} est appelée valeur moyenne de {f} sur {[a,b]}.

Si {f} est à valeurs réelles, on a {\displaystyle\inf_{[a,b]}f\le\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{[a,b]}f\le\sup_{[a,b]}f}.

En particulier, si {f} est continue, il existe {c\in[a,b]} tel que {\displaystyle\int_{[a,b]}f=(b-a)f(c)}.

La valeur moyenne {\lambda} de {f} vérifie l’égalité {\displaystyle\int_{[a,b]}f=\displaystyle\int_{[a,b]}\lambda}.

C’est donc le scalaire par lequel on peut remplacer {f} sans changer son intégrale sur {[a,b]}. Sur la figure ci-dessous (où {f} est à valeurs réelles!) les deux aires hachurées sont donc égales.

Proposition (relation de Chasles)
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{K}} une fonction continue par morceaux, et soit {c} un point de {]a,b[}.
Alors {f} est continue par morceaux sur {[a,c]} et {[c,b]}, et : {\displaystyle\int_{[a,b]}f=\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f}.

Extension de la définition et nouvelle notation

Dans cette section, {I} désigne un intervalle de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.

Définition (notation de l'intégrale entre deux points)
Soit {f:I\to\mathbb{K}}, continue par morceaux. Soit {a,b} deux éléments quelconques de {I}.
On adopte les notations suivantes :
Si {a\lt b}, {\displaystyle\int_a^bf=\displaystyle\int_{[a,b]}f}; si {a>b}, {\displaystyle\int_a^bf=-\displaystyle\int_{[b,a]}f}; si {a=b}, {\displaystyle\int_a^bf=0}.

Si {f} est continue par morceaux sur {I}, on a donc défini {\displaystyle\int_a^bf} pour deux points quelconques de {I}.

Il est clair que {\displaystyle\int_a^bf=-\displaystyle\int_b^af} pour tous {a} et {b} de {I}.

Plutôt que de noter {\displaystyle\int_a^bf}, on note souvent {\displaystyle\int_a^bf(t)\,\text{d}t} (où {t} est une variable muette).

Cette notation s’avère pratique dans le calcul des intégrales par changement de variable.

Attention à la position des bornes

On est passé de la notation {\displaystyle\int_{[a,b]}f} (avec {a\lt b}) à la notation {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t} ({a,b} quelconques).

Avec cette nouvelle notation, les propriétés relatives à la linéarité restent valables.

Mais attention : les propriétés relatives à la positivité et à la croissance (dans le cas de fonctions à valeurs réelles, bien sûr) dépendent de la position respective des bornes de l’intégrale (le mieux est de vérifier que ces bornes sont “dans le bon sens”). Par exemple, l’inégalité de la moyenne devient : {\forall\, (a,b)\in I^2,\;\Bigl|\displaystyle\int_a^b f\Bigr|\le\left|b-a\right|\,\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f\right|}

Relation de Chasles

Soit {f:I\to\mathbb{K}}, continue par morceaux, et soit {a,b,c} trois points quelconques de {I}.

On a toujours la relation de Chasles : {\displaystyle\int_a^bf=\displaystyle\int_a^cf+\displaystyle\int_c^bf}.

On peut généraliser à {c_1,\ldots,c_n} dans {I} : {\displaystyle\int_{c_1}^{c_n}f=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\int_{c_k}^{c_{k+1}}f}.

Utilisation d’une translation, de la parité, de la périodicité

L’invariance de l’intégrale par translation s’écrit : {\displaystyle\int_a^b f(t)\,\text{d}t=\int_{a+\alpha}^{b+\alpha}f(t-\alpha)\,\text{d}t}.

Si {f} est paire, alors {\displaystyle\int_{-a}^a f(t)\,\text{d}t=2\int_{0}^{a}f(t)\,\text{d}t}. Si {f} est impaire, alors {\displaystyle\int_{-a}^a f(t)\,\text{d}t=0}.

Si {f} est {T}-périodique, alors on a {\displaystyle\int_{a+kT}^{b+kT}f=\int_a^bf} (avec {k} dans {\mathbb{Z}}) et {\displaystyle\int_a^{a+T}f=\int_b^{b+T}f}.

Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Proposition (intégrale d'une fonction continue de signe constant)
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction continue, gardant un signe constant sur {[a,b]} (avec {a\ne b}).
Alors on a l’équivalence : {\displaystyle\int_{[a,b]}f(t)\,\text{d}t=0\Leftrightarrow \forall\, t\in[a,b],\;f(t)=0}.

Conséquences immédiates (on suppose ici {a\lt b}):

  • Si {f:[a,b]\to\mathbb{R}^{+}} est continue, et non identiquement nulle, alors {\displaystyle\int_{[a,b]}f>0}.
  • Si {f,g} sont continues sur {[a,b]}, si {f\le g} mais {f\ne g}, alors {\displaystyle\int_{[a,b]}f\lt \displaystyle\int_{[a,b]}g}.
Proposition (inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soit {f,g:[a,b]\to\mathbb{R}}, continues par morceaux. Alors on a {\Bigl(\displaystyle\int_{a}^{b} f(t)g(t)\,\text{d}t\Bigr)^2\le\displaystyle\int_{a}^{b}f^2(t)\,\text{d}t\,\displaystyle\int_{a}^{b}g^2(t)\,\text{d}t}
Quand {f,g} sont continues, il y a égalité si et seulement si {f} et {g} sont proportionnelles.

NB : l’inégalité de Cauchy-Schwarz est valable quelle que soit la position relative de {a} et {b}.

Sommes de Riemann de {f} sur {[a,b]}

Définition (sommes de Riemann d'une fonction continue sur un segment)
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{K}} une fonction continue. Soit {n} un entier strictement positif.
On pose {R_n(f)=\dfrac{b-a}{n}\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(a+k\dfrac{b-a}{n}\Bigr)}.
On dit que {R_n(f)} est une somme de Riemann d’indice {n} de {f} sur {[a,b]}.
Avec ces notations, on a {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}R_{n}(f)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t}.

Dans ce résultat, on peut remplacer {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}} par {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}} ou par {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}} : cela ne change rien.

Interprétation géométrique

Si {f} est à valeurs réelles, la quantité {R_n(f)} est la somme des aires algébriques des rectangles de base {[x_k,x_{k+1}]} de hauteur {f(x_k)}.

Il est “clair” que lorsque {n} tend vers {+\infty}, la somme {R_n(f)} tend vers l’aire algébrique comprise entre l’axe {Ox} et la courbe {y=f(x)}, c’est-à-dire vers l’intégrale de {f} de {a} à {b}.

Utilisation pour calculer des limites de suites

La proposition précédente permet de calculer la limite d’une suite dont le terme général {u_{n}} peut être interprété comme une somme de Riemann.

Il est alors recommandé de comparer {u_n} avec la forme générale d’une somme de Riemann, pour éviter toute erreur sur le segment {[a,b]} et sur la fonction {f}.

Posons par exemple : {u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac1{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}}.

On a {u_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\Bigl(a+k\dfrac{b-a}n\Bigr)}, avec {\begin{cases}a=0\\b=1\end{cases}} et {f(x)=\dfrac{1}{1+x}}.

On en déduit {\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=\dfrac1{b-a}\,\displaystyle\int_a^bf(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\text{d}x}{1+x}=\ln2}.

Méthode des trapèzes

Proposition (formule à un seul trapèze)
Soit {f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{K}}, de classe {{\mathcal C}^{2}}. Soit {M_2(f)=\displaystyle\sup_{[\alpha,\beta]}\left|f''\right|}. Alors on la majoration : {\Bigl|\displaystyle\int_a^{\beta} f(t)\,\text{d}t-\dfrac{f(\alpha)+f(\beta)}2\,(\beta-\alpha)\Bigr|\le\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{12}M_2(f)}

Sur le schéma ci-dessous, on approche l’intégrale de {f} sur {[\alpha,\beta]}par celle d’une fonction affine {\varphi}.

Graphiquement, on approche l’aire du domaine situé entre l’axe {Ox} et la courbe {y=f(x)}par celle du trapèze construit sur les points {(\alpha,0)}, {(\beta,0)}, {(\alpha,f(\alpha))}, {(\beta,f(\beta))}.

La proposition précédente indique un majorant de l’erreur commise dans cette approximation.

Proposition (formule à n trapèzes)
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{K}} de classe {{\mathcal C}^{2}}. Soit {M_2(f)=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f''\right|}. Soit {n\in\mathbb{N}^*}.
Pour tout {k} de {\{0,1,\ldots,n-1\}}, on pose {x_{k}=a+k\dfrac{b-a}{n}}.
Alors on a la majoration : {\biggl|\displaystyle\int_a^b f(t)\,\text{d}t-\dfrac{b-a}{2n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(f(x_k)+f(x_{k+1})\bigr)\biggr|\le\dfrac{(b-a)^3}{12n^2}M_2(f)}

La “méthode des trapèzes” consiste à décomposer {[a,b]} en {n} sous-segments égaux {[x_k,x_{k+1}]} et à écrire (sur chacun de ces sous-segemnts) l’approximation : {\displaystyle\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(t)\,\text{d}t\approx\dfrac{f(x_k)+f(x_{k+1})}2\,(x_{k+1}-x_k)}
c’est-à-dire : {\displaystyle\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(t)\,\text{d}t\approx\dfrac{b-a}{2n}\bigl(f(x_k)+f(x_{k+1})\bigr) }

Après sommation, on en déduit l’approximation {\displaystyle\int_a^b f(t)\,\text{d}t\approx I_n(f)}, avec : {\begin{array}{rl}I_n(f)&=\dfrac{b-a}{2n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(f(x_k)+f(x_{k+1})\bigr)\\\\&=\dfrac{b-a}{n}\Bigl(\dfrac{f(a)+f(b)}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}f(x_k)\Bigr)\end{array}}
Si {f:[a,b]\to\mathbb{R}} est concave alors {I_n(f)\le\displaystyle\int_a^bf(t)\,\text{d}t}.
Si {f} est convexe alors {\displaystyle\int_a^bf(t)\,\text{d}t\le I_n(f)}.

Page précédente : continuité par morceaux
Page suivante : intégrale et primitives