Intégrale et primitives

Plan du chapitre "Intégration"

Dérivée de la fonction {x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}

Pour les définitions relatives aux primitives, on se reportera au début du chapitre “Calcul intégral”.

Définition (dérivée d'une intégrale fonction de sa borne supérieure)
Soit {f:I\to\mathbb{K}} une fonction continue. Soit {a,b} deux éléments de {I}.
Alors {F:x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t} est la primitive de {f} sur {I} qui s’annule au point {a}.

En particulier, toute fonction continue sur un intervalle y possède des primitives.
Le résultat précédent peut s’écrire, de façon “décontractée” : {\Bigl(\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t\Bigr)'=f(x)}.
Il exprime que l’intégration est en quelque sorte l’opération inverse de la dérivation.

Proposition (expression d'une intégrale à l'aide d'une primitive quelconque)
Soit {f:I\to\mathbb{K}} une application continue. Pour toute primitive {F} de {f}, on a : {\forall\, (a,b)\!\in\! I^2,\displaystyle\int_a^bf(t)\text{d}t=\bigl[F\bigr]_a^b=F(b)\!-\!F(a)}

Méthodes d’intégration

Proposition (intégration par parties)
Soit {f} et {g} deux fonctions de classe {{\mathcal C}^{1}} sur un intervalle {I}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
Pour tous {a,b} dans l’intervalle {I}, on a : {\displaystyle\int_a^b\!f(x)g'(x)\text{d}x\!=\!\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b\!-\!\displaystyle\int_a^b\!f'(x)g(x)\text{d}x}

Remarque : le thème de l’intégration par parties a été abordé dans le chapitre “Calcul intégral”.

Proposition (intégrations par parties répétées)
Soit {f,g} de classe {{\mathcal C}^{n}} sur {[a,b]}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On a alors l’égalité : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int_a^bfg^{(n)}&={\left[\,\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kf^{(k)}g^{(n-1-k)}\right]}_{a}^{b}\\[9pts]&\quad+(-1)^n\displaystyle\int_a^bf^{(n)}g\end{array}}

Si {n=2}, on obtient : {\displaystyle\int_a^b fg''=\Bigl[fg'-f'g\Bigr]_{t=a}^{t=b}+\displaystyle\int_a^bf''g}De même, si {n=3}, on obtient : {\displaystyle\int_a^b fg'''=\Bigl[fg''-f'g'+f''g\Bigr]_{a}^{b}-\displaystyle\int_a^bf'''g}

Proposition (intégration par changement de variable)
Soit {f:I\to\mathbb{K}} une fonction continue.
Soit {\varphi:J\to\mathbb{R}}, {{\mathcal C}^{1}} sur {J}, avec {\varphi(J)\subset I}.
Alors, pour tous {a,b} de {J}: {\displaystyle\int_a^b\!f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\text{d}t\!=\!\int_{c}^{d}\!f(x)\text{d}x\;\text{où}\;\begin{cases}c=\varphi(a)\\d=\varphi(b)\end{cases}}

Remarque : le thème de l’intégration par changement de variable a été abordé dans le chapitre “Calcul intégral”)

Utilisation d’un changement de variable affine

Il est possible de transformer une intégrale sur {[a,b]} en une intégrale sur {[0,1]} ou {[-1,1]}.

Il suffit pour cela de poser {x=a+t(b-a)} : quand {t} parcourt {[0,1]}, {x} parcourt {[a,b]}.

On obtient alors : {\displaystyle\int_a^bf(x)\,\text{d}x=(b-a)\displaystyle\int_0^1g(t)\,\text{d}t}, avec {g(t)=f(a+t(b-a))}.

De même, en posant {x=\dfrac{a+b}2+t\dfrac{b-a}2} : quand {t} parcourt {[-1,1]}, {x} parcourt {[a,b]}.

On en déduit {\displaystyle\int_a^bf(x)\,\text{d}x=\dfrac{b-a}2\displaystyle\int_{-1}^1h(t)\,\text{d}t}, avec :{h(t)=f\Bigl(\dfrac{a+b}2+t\dfrac{b-a}2\Bigr)}

Calcul de primitives

Les méthodes de primitivation ont été vues dans le chapitre “Calcul intégral”.

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