Formules de Taylor

Plan du chapitre "Intégration"
Proposition (formule de Taylor avec reste intégral, au point a, à l'ordre n)
Soit {f:[a,b]\to \mathbb{K}} de classe {\mathcal{C}^{n+1}}.
Alors on a l’égalité : {f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\,\dfrac{(b-a)^k}{k!}\,f^{(k)}(a)+\overbrace{\displaystyle\int_a^{\,b}\,\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,\text{d}t}^{R_n}}.
La quantité {R_n} est appelée reste intégral de la formule de Taylor de {f} à l’ordre {n} en {a}.
Proposition (inégalité de Taylor-Lagrange pour une fonction de classe C^{n+1})
Soit {f:I\to \mathbb{K}} de classe {\mathcal{C}^{n+1}}. Soit {a,b} deux points de {I}. Soit {M=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f^{(n+1)}\right|}.
Alors {\Bigl|f(b)-\displaystyle\sum_{k=0}^n\,\dfrac{(b-a)^k}{k!}\,f^{(k)}(a)\Bigr|\le M\,\dfrac{\left|b-a\right|^{n+1}}{(n+1)!}}

En posant {h=b-a}, et en posant {M=\displaystyle\sup_{[a,a+h]}\left|f^{(n+1)}\right|}, cela s’écrit : {\displaystyle\Bigl|f(a+h)-\displaystyle\sum_{k=0}^n\,\dfrac{h^k}{k!}\,f^{(k)}(a)\Bigr|\le M\,\dfrac{\left|h\right|^{n+1}}{(n+1)!}}

Cas particuliers {n=0} et {n=1}

Pour {n=0}, on retrouve l’inégalité des accroissements finis : {\left|f(b)-f(a)\right|\le M_1\,\left|b-a\right|\text{\ où\ }M_1=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f'\right|}
Pour {n=1}, on trouve : {\left|{f(b)-f(a)-(b-a)f'(a)}\right|\le M_2\,\dfrac{(b-a)^2}{2!}\text{\ où\ }M_2=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f''\right|}

Exemples d’utilisation

On applique ici l’inégalité de Taylor-Lagrange à {t\mapsto\sin (t)} et {t\mapsto\cos(t)} sur {[0,x]} : {\begin{array}{cc}\Bigl|\sin x-x\Bigr|\le\dfrac{|x|^3}{3!}&\quad\Bigl|\sin x-x+\dfrac{x^3}{3!}\Bigr|\le\dfrac{|x|^5}{5!}\\\\\Bigl|\cos x-1\Bigr|\le\dfrac{x^2}{2!}&\quad\Bigl|\cos x-1+\dfrac{x^2}{2!}\Bigr|\le\dfrac{x^4}{4!}\\\\\Bigl|\sin x-x+\dfrac{x^3}{3!}-\dfrac{x^5}{5!}\Bigr|\le\dfrac{|x|^7}{7!}\quad&\quad\Bigl|\cos x-1+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}\Bigr|\le\dfrac{x^6}{6!}\end{array}}

Proposition
[formule de Taylor-Young pour une fonction {\mathcal{C}^{n}} au voisinage d’un point]
Soit {f:I\to\mathbb{K}}.
On suppose que {f} est de classe {\mathcal{C}^{n}} au voisinage d’un point {a} de {I}.
Alors, au voisinage de {a}, on a l’égalité {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\text{o}((x-a)^n)}

En particulier, si {f} est {\mathcal{C}^{n}} au voisinage de {0}, on a le développement :{\begin{array}{rl}f(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\text{o}(x^n)\\\\&=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\text{o}(x^n)\end{array}}

Différence de nature entre les formules de Taylor

La formule de Taylor-Young n’a qu’un rôle “local”. Elle permet d’obtenir une approximation de {f} (d’autant meilleure que {n} est élevé) au voisinage immédiat d’un point donné {a} de {I}.

L’intérêt essentiel de la formule de Taylor-Young est donc qu’elle fournit un développement limité d’une fonction en un point (on se reportera au chapitre “Analyse asymptotique”).

La formule de Taylor avec reste intégral, et l’inégalité de Taylor-Lagrange, ont une nature “globale” : elles nécessitent des hypothèses sur {[a,b]}, et elles fournissent un résultat lui aussi valable sur {[a,b]}.

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