Continuité uniforme

Plan du chapitre "Intégration"

Dans tout le chapitre {I} est un intervalle de {\mathbb{R}} non vide et non réduit à un point.

La lettre {\mathbb{K}} désigne indifféremment {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.
On rappelle que {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})} est l’ensemble des fonctions définies sur {I} et à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Définition (uniforme continuité)
Soit {f} un élément de {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}.
On dit que {f} est uniformément continue sur {I} si : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\;\forall\,(x,y)\in I\times I,\;\bigl(|x-y|\le\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|\le\varepsilon\bigr)}

La définition précédente doit se lire de la manière suivante : Pour tout réel strictement positif {\varepsilon} (sous-entendu aussi petit soit-il), il existe un réel strictement positif {\delta} (dépendant a priori de {\varepsilon}) tel que, pour tous éléments {x,y} de {I} distants de moins de {\delta}, alors ls images {f(x),f(y)} sont distantes de moins de {\varepsilon}.

Pour montrer qu’une fonction n’est pas uniformément continue

Soit {f:I\to\mathbb{K}} une fonction dont on souhaite prouver qu’elle n’est pas uniformément continue sur {I}.

Si on prend la négation de la définition, on doit prouver l’existence de {\varepsilon>0} tel que, pour tout {\delta>0}, on peut trouver {x} et {y} dans {I} tels que {|x-y|\lt \delta} mais cependant tels que {|f(x)-f(y)|\ge\varepsilon}.

Il revient au même (et c’est plus simple) de trouver deux suites {(x_n),(y_n)} de l’intervalle {I} telles que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0}, mais telles qu’on n’ait pas {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(f(y_n)-f(x_n))=0}

Continuité et continuité uniforme

Rappelons la définition de la continuité de {f} en un point {a} de l’intervalle {I} : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\;\forall\, x\in I,\;\bigl(|x-a|\le\delta \Rightarrow|f(x)-f(a)|\le \varepsilon\bigr)}
Dans cette définition, le réel {\delta} dépend a priori de {\varepsilon} et du point {a}.

La continuité uniforme exprime l’existence d’un {\delta} ne dépendant que de {\varepsilon}, et donc pas de {a}.

Si {f} est uniformément continue sur l’intervalle {I}, alors elle est continue sur {I}.

Mais la réciproque est fausse, comme le montrent les deux exemples suivants :

  • {f} définie sur {]0,1]} par {f(x)=\dfrac1x} : considérer {x_{n}=\dfrac{1}{n}} et {y_{n}=\dfrac{1}{n+1}}.
  • {f} définie sur {\mathbb{R}} par {f(x)=\cos(x^{2})} : considérer {x_{n}=\sqrt{2n\pi}} et {y_{n}=\sqrt{(2n+1)\pi}}.

L’uniforme continuité est une notion globale, et non locale

Quand on dit qu’une fonction est continue sur un intervalle {I}, c’est pour exprimer qu’elle est continue en chacun des points de {I}. En ce sens, on dit que la continuité est une notion locale.

En revanche, l’uniforme continuité d’une fonction {f} n’a de sens que relativement à un intervalle {I}. Cela ne signifie donc rien d’énoncer que {f} est uniformément continue en un point! On exprime cela en disant que l’uniforme continuité est une notion globale.

Le théorème de Heine

Le théorème suivant dit que “la continuité sur un segment implique la continuité uniforme”.

Proposition (Théorème de Heine)
Soit {f} une fonction continue sur un segment {[a,b]} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
Alors la fonction {f} est uniformément continue sur {[a,b]}.

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