Continuité par morceaux

Plan du chapitre "Intégration"

Dans ce chapitre, {[a,b]} désigne un segment de {\mathbb{R}}, avec {a\lt b}.

Fonctions en escaliers

Définition (subdivisions d'un segment)
On appelle subdivision de {[a,b]} toute suite finie {(x_0=a\lt x_1\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b)}.
L’ensemble {\{a=x_0,\ldots,x_k,\ldots,x_n=b\}} est appelé le support de la subdivision.
La quantité {h=\max(x_{k+1}-x_k)} est appelée le pas de la subdivision.

Finesse d’une subdivision

Soit {\sigma} et {\sigma'} deux subdivisions de {[a,b]}.
On dit que {\sigma} est plus fine que {\sigma'} si le support de {\sigma} contient celui de {\sigma'}.
La subdivision notée {\sigma\cup\sigma'} et dont le support est la réunion de ceux de {\sigma} et de {\sigma'} est plus fine que chacune des subdivisions {\sigma} et {\sigma'}.
Réciproquement si une subdivision de {[a,b]} est plus fine que {\sigma} et {\sigma'}, alors elle est plus fine que {\sigma\cup\sigma'}.

Définition (fonctions en escaliers sur un segment)
Soit {\varphi} une fonction définie sur {[a,b]}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit que {\varphi} est en escaliers sur {[a,b]} s’il existe une subdivision {\sigma=(x_k)_{0\,\le\,k\,\le\,n}} de {[a,b]} et
s’il existe {n} scalaires {\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}} tels que : {\forall\, k=0,\ldots,n-1,\;\forall\, t \in\;]x_k,x_{k+1}[,\;\varphi(t)=\lambda_k}
On dit alors que la subdivision {\sigma} est adaptée (ou encore subordonnée) à la fonction {\varphi}.
On note {\mathcal{E}([a,b],\mathbb{K})} l’ensemble des fonctions en escaliers sur {[a,b]} et à valeurs dans {\mathbb{K}}.

La figure ci-dessous représente une fonction en escaliers {\varphi} sur le segment {[a,b]}, à valeurs réelles.
On n’a pas représenté les valeurs de {\varphi} aux points {x_k}, car ces valeurs sont sans importance.

Remarques et propriétés

  • Si {\sigma} est une subdivision adaptée à {\varphi}, toute subdivision plus fine que {\sigma} est adaptée à {\varphi}.
  • Les fonctions constantes sur {[a,b]} sont des cas particuliers de fonctions en escaliers.
  • Si {\varphi} et {\psi} sont en escaliers sur {[a,b]}, alors : {\forall\,(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\;\alpha \varphi+\beta \psi} est en escaliers sur {[a,b]}.
    Plus généralement, toute combinaison linéaire de fonctions en escaliers est encore en escaliers.
    De même le produit {\varphi\psi} est en escaliers sur {[a,b]}.
Définition (fonctions en escaliers sur un intervalle quelconque)
Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}} d’intérieur non vide. Soit {\varphi} une fonction de {I} dans {\mathbb{K}}.
On dit que {\varphi} est en escaliers sur {I} si {\varphi} est en escaliers sur tout segment de {I}.

Par exemple, l’application “partie entière” {x\mapsto\lfloor x\rfloor} est en escaliers sur {\mathbb{R}}.

Fonctions continues par morceaux

Définition (fonction continue par morceaux sur un segment)
Soit {f} une fonction définie sur le segment {[a,b]}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit que {f} est continue par morceaux sur {[a,b]} s’il existe une subdivision {\sigma=(x_k)_{0\,\le\,k\,\le\,n}} de {[a,b]} (dite adaptée à {f}, ou encore subordonnée à {f}) telle que, pour tout {k} de {\{0,\ldots,n-1\}} :

  • la restriction {f_k} de {f} à chaque intervalle ouvert {]x_k,x_{k+1}[} est continue.
  • cette restriction est prolongeable par continuité aux points {x_k} et {x_{k+1}}.

On note {\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})} l’ensemble des fonctions continues par morceaux de {[a,b]} dans {\mathbb{K}}.

Remarques et propriétés

  • Si {\sigma} est adaptée à {f}, toute subdivision plus fine que {\sigma} est encore adaptée à {f}.
  • Dire que {f} est dans {\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})}, c’est dire qu’elle n’a qu’un nombre fini de discontinuités, toutes de première espèce : en chaque discontinuité, il y a une limite à gauche et une limite à droite finies.
  • Toute fonction continue par morceaux sur {[a,b]} est bornée sur {[a,b]}.
Définition (fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque)
Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}} d’intérieur non vide. Soit {f} une fonction de {I} dans {\mathbb{K}}.
On dit que {f} est continue par morceaux sur {I} si elle l’est sur tout segment de {I}.
On note {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})} l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur {[a,b]} et à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Toute fonction continue sur {I} est continue par morceaux sur {I} (il y a un seul “morceau”!).

Toute fonction en escaliers sur {I} est continue par morceaux sur {I}.

Opérations sur les fonctions continues par morceaux

Soit {f} et {g} dans {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})}. Pour tous {\alpha,\beta} de {\mathbb{K}}, {\alpha f+\beta g} est dans {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})}.

De même, la fonction {fg} est continue par morceaux sur {I}.

Cas des fonctions à valeurs complexes

Soit {f : I\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.

La fonction {f} est dans {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{C})} si et seulement si {u} et {v} sont dans {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{R})}.

Intégrale des fonctions en escaliers

Définition
Soit {\varphi : [a,b]\to\mathbb{K}} une fonction en escaliers et {\sigma=(x_k)_{0\,\le\,k\,\le\,n}} une subdivision adaptée.
On suppose que : {\forall\, k\in\{0,\ldots,n-1\},\;\forall\, t \in\; ]x_k,x_{k+1}[,\; \varphi(t)=\lambda_k}.
Le réel {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)\lambda_k} est appelé intégrale de {\varphi}et est noté {\displaystyle\int_{[a,b]} \varphi}.

Interprétation graphique (cas réel) : Comme le montre la figure ci-dessous, l’intégrale de {\varphi} est égale à la somme des “aires algébriques” (comptées positivement ou négativement selon le signe des réels {\lambda_k}) des rectangles définis par le graphe de {\varphi}. L’intégrale de {\varphi} ne dépend pas de la subdivision {\sigma} choisie (dans la mesure bien sûr où elle est adaptée à {\varphi}).

Linéarité de l’intégrale

Soit {\varphi,\psi} deux fonctions en escaliers sur {[a,b]}, et soit {\alpha,\beta} deux scalaires.

Alors on a l’égalité {\displaystyle\int_{[a,b]}(\alpha \varphi+\beta \psi)=\alpha\int_{[a,b]}\varphi+\beta\int_{[a,b]}\psi}.

La fonction qui à {\varphi} associe {\displaystyle\int_{[a,b]}\varphi} est donc une forme linéaire sur {\mathcal{E}([a,b],\mathbb{K})}.

Positivité et croissance

On rappelle que {[a,b]} désigne un segment de {\mathbb{R}}, avec {a\lt b}.

Soit {\varphi,\psi} dans {\mathcal{E}([a,b],\mathbb{R})}. Si {\varphi\ge 0} alors {\displaystyle\int_{[a,b]}\varphi\ge0}. Si {\varphi\le \psi} alors {\displaystyle\int_{[a,b]}\varphi\le\displaystyle\int_{[a,b]}\psi}.

Si {\varphi\in\mathcal{E}([a,b],\mathbb{K})}, alors {\left|{\varphi}\right| : t\mapsto\left|{\varphi(t)}\right|\in\mathcal{E}([a,b],\mathbb{R})} et {\left|{\displaystyle\int_{[a,b]}\varphi}\right|\le\displaystyle\int_{[a,b]}\left|{\varphi}\right|}.

Si {\varphi} est en escaliers de {[a,b]} dans {\mathbb{R}}, alors {\left|{\displaystyle\int_{[a,b]}\varphi}\right|\le(b-a)\displaystyle\sup_{t\in[a,b]}\left|{\varphi(t)}\right|}.

Remarques et propriétés

Si {\varphi} est constante et égale à {\lambda} sur {[a,b]}, alors {\displaystyle\int_{[a,b]}\varphi=(b-a)\lambda}.

Soit {\varphi} une fonction nulle sur {[a,b]}, sauf peut-être en un nombre fini de points.
Alors {\varphi} est en escaliers sur {[a,b]} et {\displaystyle\int_{[a,b]}\varphi=0}.

Soit {\varphi} en escaliers sur {[a,b]}, et soit {\psi} ne différant de {\varphi} qu’en un nombre fini de points.
Alors {\psi} est en escaliers sur {[a,b]} et {\displaystyle\int_{[a,b]}\psi=\int_{[a,b]}\varphi}.

Soit {\varphi} un élément de {\mathcal{E}([a,b],\mathbb{K})}, et soit {c} un élément de {]a,b[}.
Alors les restrictions de {\varphi} à {[a,c]} et {[c,b]} sont en escaliers et : {\displaystyle\int_{[a,b]}\varphi=\displaystyle\int_{[a,c]}\varphi+\displaystyle\int_{[c,b]}\varphi}

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