Sous-espaces vectoriels

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Notion de sous-espace vectoriel

Définition (sous-espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {F} une partie non vide de {E}.
On dit que {F} est un sous-espace vectoriel de {E} si {\forall(u,v)\in F^2,\;\forall\lambda\in\mathbb{K},\;\begin{cases}u+v\in F\cr \lambda u\in F\end{cases}}

Il revient au même d’écrire : {\forall(u,v)\in F^2,\;\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^{2},\;\lambda u+\mu v\in F}.

Proposition
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, et soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Alors l’ensemble {F}, muni des “lois induites”, est lui-même un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.

La réciproque de la propriété est vraie. On comprendra donc l’expression “sous-espace vectoriel” comme une traduction de l’inclusion d’un espace vectoriel dans un autre.

Remarques

On dit souvent sous-espace plutôt que sous-espace vectoriel.
Tous les sous-espaces vectoriels de {E} contiennent au moins le vecteur nul de {E}.
Pour montrer que {F} est un sous-espace vectoriel de {E}, on n’oubliera pas la condition {F\ne\emptyset}.
On vérifiera par exemple que le vecteur nul {0} de {E} appartient à {F}.

Définition (stabilité par combinaisons linéaires)
Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Pour toute famille {(u_i)_{i\in I}} de vecteurs de {F}, et toute famille {(\lambda_i)_{i\in I}} de {\mathbb{K}} (à support fini),
la combinaison linéaire {\sum_{i\in I}\lambda_iu_i} est encore un élément de {F}.
On exprime cette propriété en disant que {F} est stable par combinaisonslinéaires.

Exemples usuels

  • Pour tout espace vectoriel {E}, le singleton {\{0\}} et {E} lui-même sont des sous-espaces vectoriels de {E}.
    On dit que {\{0\}} est le “sous-espace nul” de {E}.
  • L’ensemble {\mathbb{K}_n[X]} des polynômes de degré inférieur ou égal à {n} est un sous-espace de {\mathbb{K}[X]}.
  • Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}}, et soit {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})} l’espace vectoriel des fonctions de {I} dans {\mathbb{K}}.
    L’ensemble {{\mathcal C}(I,\mathbb{K})} des fonctions continues de {I} dans {\mathbb{K}} est un sous-espace de {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}.
    L’ensemble {{\mathcal C}^k(I,\mathbb{K})} des fonctions de classe {{\mathcal C}^{k}} est un sous-espace de {{\mathcal C}(I,\mathbb{K})} donc de {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}.

Droites vectorielles et plans vectoriels

Définition (vecteurs colinéaires)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {u} et {v} deux vecteurs de {E}.
On dit que {u} et {v} sont colinéaires (ou proportionnels) s’il existe {\alpha\in\mathbb{K}} tel que {v=\alpha u} ou {u=\alpha v}.

Le vecteur nul {0} est colinéaire à tout vecteur {u} de {E} (on a en effet {0=\alpha u} avec {\alpha=0}).
Si {u} est non nul, les vecteurs colinéaires à {u} forment l’ensemble {\mathbb{K} u=\{\lambda u,\;\lambda\in\mathbb{K}\}}.

Définition (droite vectorielle engendrée par un vecteur)
Soit {u} un vecteur non nul d’un espace vectoriel {E} sur {\mathbb{K}}.
L’ensemble {\mathbb{K} u=\{\lambda u,\;\lambda\in\mathbb{K}\}} est appelé la droite vectorielle engendrée par {u}.

Si {u} et {v} sont deux vecteurs non nuls et colinéaires, ils engendrent la même droite vectorielle.
Soit {u} un vecteur non nul d’un espace vectoriel {E}.
La droite vectorielle engendrée par {u}, c’est-à-dire {\mathbb{K} u=\{\lambda u,\;\lambda\in\mathbb{K}\}} est un sous-espace de {E}.
Réciproquement, si un sous-espace {F} de {E} contient {u}, alors il contient la droite engendrée par {u}.

Définition (plan vectoriel engendré par deux vecteurs non colinéaires)
Soit {u} et {v} deux vecteurs non colinéaires (donc non nuls) d’un espace vectoriel {E} sur {\mathbb{K}}.
On note {\mathbb{K} u+\mathbb{K} v=\{\lambda u+\mu v,\;(\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^{2}\}} l’ensemble des combinaisons linéaires de {u} et {v}.
On dit que {\mathbb{K} u+\mathbb{K} v} est le plan vectoriel engendré par les vecteurs {u} et {v}.

Avec les notations précédentes (donc {u} et {v} non colinéaires dans {E}).

  • {\mathbb{K} u+\mathbb{K} v} est un sous-espace de {E} qui contient strictement les droites vectorielles {\mathbb{K} u} et {\mathbb{K} v}.
  • Tout vecteur {w} de {F=\mathbb{K} u+\mathbb{K} v} s’écrit de manière unique sous la forme {w=\lambda u+\mu v}, et on dit que les scalaires {\lambda} et {\mu} sont les coordonnées de {w} dans la base {(u,v)} du plan {F}.
Proposition (condition de non-colinéarité de deux vecteurs d'un plan)
Soit {u} et {v} deux vecteurs non colinéaires (donc non nuls) d’un espace vectoriel {E} sur {\mathbb{K}}.
Soit {w=\lambda u+\mu v} et {w'=\lambda' u+\mu' v} deux vecteurs du plan {F=\mathbb{K} u+\mathbb{K} v} engendré par {u} et {v}.
Alors {w} et {w'} sont non colinéaires si et seulement si {\lambda\mu'\ne \lambda'\mu}.
Dans ce cas, les deux vecteurs {w} et {w'} à leur tour consituent une base du plan {F}.

{\vartriangleright} Droites vectorielles de {\mathbb{K}^{2}}

On se place dans {\mathbb{K}^{2}=\{(x,y),x\in\mathbb{K},\;y\in\mathbb{K}\}}, muni de sa structure d’espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.

Proposition (droites vectorielles de ^2)
Soit {F} un sous-espace de {\mathbb{K}^{2}}, avec {F\ne\{0\}} et {F\ne\mathbb{K}^{2}}. Soit {u} non nul dans {F}.
Alors {F} est la droite vectorielle engendrée par {u} : {F=\mathbb{K} u=\{\lambda u,\;\lambda\in\mathbb{K}\}}.

Posons {u=(a,b)}, avec {u\ne0}. Soit {w=(x,y)} un vecteur quelconque de {\mathbb{K}^{2}}.
Alors {w} est dans la droite {\mathbb{K} u} si et seulement s’il existe {\lambda\in\mathbb{K}} tel que {\begin{cases}x=\lambda a\\ y=\lambda b\end{cases}}

On dit que le système {\begin{cases}x=\lambda a\\ y=\lambda b\end{cases}} est une représentation paramétrique de la droite {\mathbb{K} u}.

De même, le vecteur {v=(x,y)} est dans {\mathbb{K} u} si et seulement si {bx-ay=0}.
On dit que l’égalité {bx-ay=0} est une équation cartésienne de la droite {\mathbb{K} u}.

Ainsi, la droite engendrée par {u=(2,-3)} a pour équation {\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-3}} c’est-à-dire {3x+2y=0}.

{\vartriangleright} Plans vectoriels de {\mathbb{K}^{3}}

On se place dans {\mathbb{K}^{3}=\{(x,y,z),x\in\mathbb{K},\;y\in\mathbb{K},\;z\in\mathbb{K}\}}, qui est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.

Proposition (colinéarité ou non de deux vecteurs de ^{3})
Soit {u=(a,b,c)} et {v=(a',b',c')} deux vecteurs de {\mathbb{K}^{3}}.
On note {u\wedge v=(bc'-cb',\,ca'-ac',\,ab'-ba')}.
Alors {u} et {v} sont non colinéaires si et seulement si {u\wedge v\ne0}.

On note souvent {u\wedge v=\begin{pmatrix}a\cr b\cr c\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}a'\cr b'\cr c'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}bc'-cb'\cr ca'-ac'\cr ab'-ba'\end{pmatrix}} (“produit vectoriel” de {u} et {v}).

Proposition (plans vectoriels de ^3)
Soit {F} un sous-espace de {\mathbb{K}^{3}}, avec {F\ne\{0\}} et {F\ne\mathbb{K}^{3}}.
On suppose que {F} contient deux vecteurs non colinéaires {u} et {v}.
Alors {F} est le plan vectoriel engendré par {u} et {v} : {F=\mathbb{K} u+\mathbb{K} v=\{\lambda u+\mu v,\;(\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^{2}\}}.

Soit {u=(a,b,c)} et {v=(a',b',c')} deux vecteurs non colinéaires de {\mathbb{K}^{3}}.

Soit {w=(x,y,z)} un vecteur quelconque de {\mathbb{K}^{3}}.
Alors {w} est dans le plan {F=\mathbb{K} u+\mathbb{K} v} si et seulement si il existe {(\lambda,\mu)} tel que {\begin{cases}x=\lambda a+\mu a'\\ y=\lambda b+\mu b'\\ z=\lambda c+\mu c'\end{cases}}

Ce système est appelé représentation paramétrique du plan {F=\mathbb{K} u+\mathbb{K} v}.

De même, {w=(x,y,z)} est dans {\mathbb{K} u+\mathbb{K} v} si et seulement si :{(bc'-cb')x+(ca'-ac')y+(ab'-ba')z=0}
On dit qu’une telle égalité est une équation cartésienne du plan {F=\mathbb{K} u+\mathbb{K} v}.

Prenons un exemple : les vecteurs {u=(1,1,2)} et {v=(3,1,1)} ne sont pas proportionnels dans {\mathbb{R}^{3}}.

Ils engendrent donc dans {\mathbb{R}^{3}} un plan {F} de représentation paramétrique : {\begin{cases}x=\lambda+3\mu\\y=\lambda+\mu\\z=2\lambda+\mu\end{cases}}

On résout deux équations par rapport à {\lambda} et {\mu} et on reporte dans l’autre.

On trouve {\begin{cases}\lambda=z-y\\\mu=2y-z\end{cases}} puis {x=(z-y)+3(2y-z)} donc {x-5y+2z=0}.

On a ainsi obtenu une équation cartésienne du plan {F}.
On retrouve les coefficients de cette équation avec {v\wedge u=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-5\\2\end{pmatrix}}.

{\vartriangleright} Droites vectorielles de {\mathbb{K}^{3}}

Proposition (droites vectorielles de ^3)
Soit {F} un sous-espace de {\mathbb{K}^{3}}, avec {F\ne\{0\}} et {F\ne\mathbb{K}^{3}}.
On suppose que {F} n’est pas un plan vectoriel.
Alors {F} est une droite vectorielle. Il existe donc {u\ne0} dans {\mathbb{K}^{3}} tel que {F=\mathbb{K} u=\{\lambda u,\;\lambda\in\mathbb{K}\}}.

Avec les notations précédentes, posons {u=(a,b,c)} et {v=(x,y,z)}.
Alors {v} est dans {F=\mathbb{K} u} si et seulement si il existe un scalaire {\lambda} tel que {\begin{cases}x=\lambda a\\ y=\lambda b\\ z=\lambda c\end{cases}}

Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite {F=\mathbb{K} u} dans {\mathbb{K}^{3}}.

De même, {w=(x,y,z)} est dans {\mathbb{K} u} si et seulement si : {\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}}.

On dit que ces deux égalités forment un système d’équations cartésiennes de {F=\mathbb{K} u} dans {\mathbb{K}^{3}}.

Remarque : dans ce système, si par exemple {a=0}, on remplace {\dfrac{x}{a}=\cdots} par l’équation {x=0}.

Prenons un exemple : considérons la droite {F} engendrée par {u=(2,-3,1)}.

Elle a pour équations {\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z}{1}} c’est-à-dire {\begin{cases}3x+2y=0\\x-2z=0\end{cases}}

Mais ce n’est pas le seul système d’équations possible pour {F}.

On pourrait écrire aussi {\begin{cases}3x+2y=0\\y+3z=0\end{cases}} ou encore {\begin{cases}x-2z=0\\y+3z=0\end{cases}}

Ces différents systèmes sont autant de façons d’interpréter la droite {F} de {\mathbb{R}^{3}} comme l’intersection de deux plans de {\mathbb{R}^{3}} (il y a d’ailleurs une infinité de couples de plans qui “s’intersectent” en {F}).

{\vartriangleright} Intersection de deux plans vectoriels dans {\mathbb{K}^{3}}

Proposition (intersection de deux plans vectoriels de ^3)
Soit {F} et {G} deux plans vectoriels de {\mathbb{K}^{3}}.
Si {F} et {G} sont distincts, leur intersection est une droite vectorielle.
Plus précisément, soit {\begin{cases}ax+by+cz=0\\a'x+b'y+c'z=0\end{cases}} des équations cartésiennes de {F} et {G}.
Alors la droite {F\cap G} est engendrée par le vecteur {(bc'-cb',\,ca'-ac',\,ab'-ba')}.

Prenons un exemple :

Soit {F} et {G} les plans de {\mathbb{R}^{3}} d’équations respectives {3x+2y+5z=0} et {x+y+4z=0}.

Ils ne sont pas confondus : par exemple {(1,-1,0)} est dans {G} mais pas dans {F}.

La droite {D=F\cap G} s’obtient en résolvant {\begin{cases}3x+2y+5z=0\\ x+y+4z=0\end{cases}} et on trouve {\begin{cases}x=3z\\ y=-7z\end{cases}}

Ainsi les vecteurs de {D} sont les : {u=(x,y,z)=(3z,-7z,z)=z(3,-7,1)\text{\ avec\ }z\in\mathbb{R}}
Autrement dit, {D=F\cap G} est la droite vectorielle engendrée par {w=(3,-7,1)}.

On retrouve directement ce résultat en écrivant : {v\wedge u=\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}\wedge\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-7\\1\end{pmatrix}}.

Intersections de sous-espaces vectoriels

Proposition (intersections de sous-espaces vectoriels)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {I} un ensemble quelconque d’indices.
Soit {(F_i)_{i\in I}} une famille de sous-espaces vectoriels de {E}.
Alors leur intersection {F=\displaystyle\bigcap\limits_{i\in I}F_i} est encore un sous-espace vectoriel de {E}.
Définition (ensemble des combinaisons linéaires d'une famille de vecteurs)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {I} un ensemble quelconque d’indices.
Soit {(u_{i})_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}. Soit {X=\{u_{i},\, i\in I\}}.
On note {\text{Vect}(X)}, ou encore {\text{Vect}(u_{i})_{i\in I}}, l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de {X}.

Ainsi {v\in\text{Vect}(X)\iff} il existe une famille {(\lambda_{i})_{i\in I}} à support fini, telle que {v=\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_{i}u_{i}}.
Si {X} est un ensemble fini {\{u_i,1\le i\le n\}}, alors {\text{Vect}(X)=\biggl\{v=\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i\,u_i,\,\lambda_i\in\mathbb{K}\biggr\}}.

Rien n’indique que l’écriture de {v\in\text{Vect}(u_{i})_{i\in I}} en fonction des {u_{i}} soit unique (à suivre…)

Proposition (sous-espace engendré par une partie)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {I} un ensemble quelconque d’indices.
Soit {(u_{i})_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}. Soit {X=\{u_{i},\, i\in I\}}.
Alors {\text{Vect}(u_{i})_{i\in I}} est un sous-espace vectoriel de {E} appelé sous-espace engendré par {X}.
Au sens de l’inclusion, {\text{Vect}(u_{i})_{i\in I}} est le plus petit sous-espace de {E} qui contienne {X}.

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