Sous-espaces et dimension

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Dimension d’un sous-espace d’un espace de dimension finie

Proposition (sous-espaces d'un espace vectoriel de dimension finie)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n}. Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Alors {F} est de dimension finie et {\dim(F)\le\dim(E)}, avec égalité si et seulement si {F=E}.

Sous-espaces de {\mathbb{R}^{2}}

Les sous-espaces vectoriels de {\mathbb{R}^{2}} sont {\{0\}}, {\mathbb{R}^{2}} lui-même, et les droites vectorielles {\mathbb{R} u} avec {u\ne0}.
Si {u=(a,b)\ne0}, alors : {\;v(x,y)\in\mathbb{R} u\Leftrightarrow\biggl(\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;\begin{cases}x=\lambda a\\ y=\lambda b\end{cases}\biggr)\Leftrightarrow bx-ay=0}

Sous-espaces de {\mathbb{R}^{3}}

Les sous-espaces de {\mathbb{R}^{3}} sont {\{0\}}, {\mathbb{R}^{3}} lui-même, les droites {\mathbb{R} u} et les plans {\mathbb{R} u\oplus\mathbb{R} v}.

  • Soit {u=(a,b,c)} non nul dans {\mathbb{R}^{3}}.
    Alors {\;v(x,y,z)\in\mathbb{R} u\Leftrightarrow\biggl(\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;\begin{cases}x=\lambda a\\ y=\lambda b\\ z=\lambda c\end{cases}\biggr)\Leftrightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}}

    (si {a=0}, remplacer par {x=0}).

  • Soit {u=(a,b,c)} et {v=(a',b',c')} deux vecteurs non colinéaires.
    Posons {h=(a'',b'',c'')}, avec {a''=bc'-cb'}, {b''=ca'-ac'}, {c''=ab'-ba'}.
    (le vecteur {w} est non nul dans {\mathbb{R}^{3}}).

    Alors on a les équivalences : {\begin{array}{l}w(x,y,z)\in\mathbb{R} u\oplus\mathbb{R} v\\\\\Leftrightarrow \exists\,(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^{2},\;\begin{cases}x=\lambda a+\mu a'\\ y=\lambda b+\mu b'\\ z=\lambda c+\mu c'\end{cases}\\\\\Leftrightarrow a''x+b''y+c''z=0\end{array}}

Supplémentaires en dimension finie

Proposition (existence d'un supplémentaire en dimension finie)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie, et soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Alors {F} possède des supplémentaires dans {E}.
Proposition (base adaptée à une somme directe)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie. Soit {F} et {G} deux sous-espaces supplémentaires de {E}.
Soit {(f)} une base de {F}, et soit {(g)} une base de {G}.
Soit {(e)} la famille de vecteurs obtenue en “juxtaposant” les familles {(f)} et {(g)}.
Alors {(e)} est une base de {E}, dite “adaptée à la somme directe” {E=F\oplus G}.

Conséquence importante :

Si {\dim(E)=n} et {\dim(F)=p}, les supplémentaires de {F} dans {E} sont de dimension {n-p}.

Généralisation au cas d’une somme directe de plusieurs sous-espaces

Soit {E} un espace vectoriel quelconque.
Soit {F_1,F_2,\ldots,F_p} une famille de {p} sous-espaces de dimension finie de {E}, en somme directe.
Pour tout {j} de {\{1,\ldots,p\}}, soit {(e)_j} une base de {F_j}.
On forme la famille {(e)=(e)_1\cup(e)_2\cup\cdots\cup(e)_p} en “juxtaposant” les familles {(e)_j}.
Alors la famille {(e)} est une base de l’espace {\displaystyle\bigoplus_{j=1}^{p} F_j}, dite adaptée à cette somme directe.

Dimension d’une somme de sous-espaces

Proposition (dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels)
Soit {E} un espace vectoriel quelconque (donc pas nécessairement de dimension finie).
Soit {F} et {G} deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de {E}.
Alors {F+G} est un sous-espace de dimension finie de {E}.
De plus on a la “formule de Grassmann” : {\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)}

Cas particulier important :

Soit {F} et {G} deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de {E}.
Alors, on a l’équivalence : {\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)\Leftrightarrow F\cap G=\{0\}}.

Proposition (généralisation à la somme d'un nombre fini de sous-espaces)
Soit {E} un espace vectoriel quelconque (donc pas nécessairement de dimension finie).
Soit {F_1,F_2,\ldots,F_p} une famille de {p} sous-espaces vectoriels de dimension finie de {E}.
On a {\dim\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^p F_i\Bigr)\le\displaystyle\sum_{i=1}^p\dim(F_i)}, avec égalité {\iff} la somme {\displaystyle\sum_{i=1}^pF_i} est directe.

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