Somme de sous-espaces vectoriels

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Somme de deux sous-espaces vectoriels

Soit {F} et {G} deux sous-espaces de {E}. On sait que {F\cap G} est un sous-espace de {E}.

En revanche {H=F\cup G} n’est pas un sous-espace de {E}, sauf si {F\subset G} ou {G\subset F}.

Définition (somme de deux sous-espaces vectoriels)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {F} et {G} deux sous-espaces de {E}.
On pose {F+G=\{u+v,u\in F,v\in G\}}.
On dit que {F+G} est la somme des deux sous-espaces {F} et {G}.
Proposition (une caractérisation de la somme de deux sous-espaces vectoriels)
Avec les notations précédentes, {F+G} est un sous-espace vectoriel de {E}.
Plus précisément, {F+G=\text{Vect}(F\cup G)}, le plus petit sous-espace de {E} contenant {F} et {G}.
Définition (somme directe de deux sous-espaces vectoriels)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {F} et {G} deux sous-espaces de {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • tout vecteur {w} de {F+G} s’écrit de façon unique {w=u+v}, avec {u\in F} et {v\in G}.
  • pour tout {u\in F} et tout {v\in G}, on a l’implication : {u+v=0\Rightarrow u=v=0}.
  • l’intersection {F\cap G} est réduite à {\{0\}}.

Si elles sont réalisées, on dit que {F} et {G} sont en somme directe, et {F+G} est notée {F\oplus G}.

Couples de sous-espaces supplémentaires

Définition (sous-espaces supplémentaires)
Soit {F} et {G} deux sous-espaces de {E}.
On dit que {F} et {G} sont supplémentaires si {\begin{cases}E=F+G\cr F\cap G=\{0\}\end{cases}} c’est-à-dire si {E=F\oplus G}.
Cela signifie que tout {u} de {E} s’écrit d’une manière unique {u=v+w}, avec {v\in F} et {w\ in G}.
Proposition (existence d'un supplémentaire (théorème admis))
Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Alors {F} possède au moins un supplémentaire {G} dans {E}.

Remarques

Le résultat précédent sera démontré dans le cas particulier des espaces vectoriels de dimension finie.

Un même sous-espace {F} de {E} possède en général une infinité de supplémentaires dans {E}.
Il y a cependant un cas d’unicité : le seul supplémentaire de {E} (resp. de {\{0\}}) est {\{0\}} (resp. {E}).

On ne confondra pas supplémentaire et complémentaire! Le complémentaire d’un sous-espace {F} de {E} est sans grand intérêt : ce n’est pas un sous-espace vectoriel car il ne contient pas le vecteur nul.

Une bêtise classique est de dire que {F+G} est directe si et seulement si {F\cap G} est vide! Cette intersection n’est jamais vide car elle contient {0}. Il faut en fait vérifier que {F\cap G} se réduit à {\{0\}}.

Un exemple classique de sous-espaces supplémentaires

Dans l’espace vectoriel {\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})} des fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}, les sous-espaces {\mathcal{P}(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\mathcal{A}(\mathbb{R},\mathbb{R})} formés respectivement des fonctions paires et des fonctions impaires sont supplémentaires.

Plus précisément, soit {f} une fonction de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}.
Sa décomposition en la somme {f=p+i} d’une fonction paire {p} et d’une fonction impaire {i} s’écrit : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;p(x)=\dfrac{1}{2}(f(x)+f(-x))\ \text{et}\ i(x)=\dfrac{1}{2}(f(x)-f(-x))}

Somme d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Définition
Soit {(F_i)_{1\le i\le n}} une famille de {n} sous-espaces vectoriels de {E}.
On note {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_{i}} l’ensemble des sommes {v=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i}, où pour {i\in\{1,\ldots,n\}}, {u_i} est dans {F_i}.
Proposition (une caractérisation de la somme de n sous-espaces vectoriels)
Soit {(F_i)_{1\le i\le n}} une famille de {n} sous-espaces vectoriels de {E}.
Alors {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_{i}} est un sous-espace vectoriel de {E}, appelé somme des {F_i}.
Plus précisément, {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_{i}=\text{Vect}(\bigcup_{i=1}^{n} F_{i})} (le plus petit sous-espace de {E} contenant tous les {F_{i}}).
Proposition (somme directe de n sous-espaces vectoriels)
Soit {(F_i)_{1\le i\le n}} une famille de {n} sous-espaces de {E}. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • tout vecteur {v} de {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_{i}} s’écrit de façon unique sous la forme {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i}, avec {u_{i}} dans {F_{i}} pour tout {i}.
  • pour tout choix de {u_{i}\in F_{i}}, on a : {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_i=0\Rightarrow\bigl(\forall\, i\in \{1,\ldots,n\},\;u_{i}=0\bigr)}

Si elles sont réalisées, on dit que la somme {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_i} est directe et on la note {\bigoplus\limits_{i=1}^{n}F_i}.

Remarques

Si la somme {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_i} est directe, et si {J} est une partie de {I}, alors la somme {\displaystyle\sum_{i\in J}F_i} est encore directe.
En particulier, pour tous indices distincts {i} et {j}, {F_i\cap F_j=\{0\}}.

La réciproque est fausse! Pour montrer que {F_1,F_2,\ldots,F_n}sont en somme directe, avec {n\ge3}, il ne suffit pas de vérifier que pour tous indices distincts {i} et {j}, {F_i\cap F_j=\{0\}}.

Ce serait encore pire de se contenter de vérifier que {F_1\cap F_2\cap\cdots\capF_n=\{0\}}.

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