Généralités

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

On rappelle que la lettre {\mathbb{K}} désigne indifféremment {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

Espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, avec {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}

Définition (structure d'espace vectoriel sur le corps )
On dit que l’ensemble {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}} (ou encore un {\mathbb{K}}-espace vectoriel) si :

  • {E} est muni d’une loi interne + pour laquelle il a une structure de groupe commutatif.
  • Il existe une application {(\alpha,u)\to\alpha u} de {\mathbb{K}\times E} dans {E}, dite loi externe, telle que,
    pour tous {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}, et pour tous {u,v} dans {E} :
    {\begin{cases}(\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u,\quad\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v\cr \alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u,\qquad\quad 1u=u&\end{cases}}

Les éléments d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} sont appelés vecteurs et ceux de {\mathbb{K}}sont appelés scalaires.
Le neutre du groupe ({E},+) est noté {0} (parfois {0_{E}}) et est appelé vecteur nul.
L’espace vectoriel {E} est parfois noté {(E,+,\cdot)} pour rappeler l’existence des deux lois.
Un {\mathbb{C}}-espace vectoriel est aussi un {\mathbb{R}}-espace vectoriel, mais doivent être considérés comme différents.

Proposition (règles de calcul dans un espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
Pour tout scalaire {\alpha} et pour tous vecteurs {u} et {v} :

  • on a l’équivalence : {\alpha u=0\Leftrightarrow(\alpha=0\;\text{ou}\; u=0)}.
  • on a les égalités : {\begin{cases}\alpha(-u)=(-\alpha)u=-(\alpha u)\\\alpha(u-v)=\alpha u-\alpha v\end{cases}}

Exemples d’espaces vectoriels

  • L’ensemble {\mathbb{K}[X]} des polynômes à coefficients dans {\mathbb{K}} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
  • L’ensemble {\mathbb{K}} est un espace vectoriel sur lui-même, la loi externe étant ici le produit de {\mathbb{K}}.
Définition (espace vectoriel produit)
Soit {E_1,E_2,\ldots,E_n} des espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Soit {E=E_1\times E_2\times\cdots\times E_n} leur produit cartésien.
Alors l’ensemble {E} est muni d’une structure d’espace vectoriel sur {\mathbb{K}} quand on pose,
pour tous {\begin{cases}u=(u_1,u_2,\ldots,u_n)\cr v=(v_1,v_2,\ldots,v_n)\end{cases}} de {E}, et pour tout scalaire {\lambda} : {\begin{cases}u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2,\ldots,u_n+v_n)\cr \lambda u=(\lambda u_1,\lambda u_2,\ldots,\lambda u_n)\end{cases}}

Si {E} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel, {E^n} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel.

L’ensemble {\mathbb{K}^n=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n),\text{les\ }x_i\in\mathbb{K}\}} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel (et ici {0=(0,0,\ldots,0)}).

Proposition (espace des fonctions d'un ensemble non vide dans un espace vectoriel)
Soit {\Omega} un ensemble non vide quelconque, et soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
On note {\mathcal{F}(\Omega,E)} (ou {E^{\Omega}}) l’ensemble des applications de {\Omega} dans {E}.
Pour {f,g} dans {\mathcal{F}(\Omega,E)}, et {\lambda} dans {\mathbb{K}}, on définit {f+g} et {\lambda f} par : {\forall x\in \Omega,\;\begin{cases}(f+g)(x)=f(x)+g(x)\cr (\lambda f)(x)=\lambda f(x)\end{cases}}
Avec ces opérations, {\mathcal{F}(\Omega,E)} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.

Le vecteur nul de {\mathcal{F}(\Omega,E)} est “l’application nulle”, qui à tout {x} de {\Omega} associe le vecteur nul {0} de {E}.

Pour {\Omega=\mathbb{N}} et {E=\mathbb{K}}, on obtient le {\mathbb{K}}-espace vectoriel {\mathbb{K}^{\mathbb{N}}} des suites d’éléments de {\mathbb{K}}.

Combinaisons linéaires

Définition (combinaison linéaire d'un nombre fini de vecteurs)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
Soit {u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}} une famille de {n} vecteurs de {E}, et {\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}} une famille de {n} scalaires.
On dit que {v=\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\cdots+\lambda_{n}u_{n}} est une combinaison linéaire de {u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}}.
Définition (famille presque nulle (ou à support fini) de scalaires)
Soit {I} un ensemble quelconque d’indices. On dit qu’une famille {(\lambda_i)_{i\in I}} d’éléments de {\mathbb{K}} est à support fini, ou encore “presque nulle” s’il n’y a qu’un nombre fini d’indices {i} pour lesquels {\lambda_i} est différent de {0}.
Définition (combinaisons linéaires quelconques)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {I} un ensemble quelconque d’indices.
Soit {(u_i)_{i\in I}} une famille de vecteurs de {E}.
Soit {(\lambda_i)_{i\in I}} une famille de scalaires, à support fini.
Même si {I} est infini, la somme {\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i} a un sens car formée d’un nombre fini de termes.
La somme {\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i} est appelée combinaison linéaire des vecteurs {u_i} avec les coefficients {\lambda_i}.

Page suivante : sous-espaces vectoriels