Familles génératrices, libres. Bases

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

On rappelle que la lettre {\mathbb{K}} désigne indifféremment {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.
Dans ce qui suit, les familles de scalaires {(\lambda_{i})_{i\in I}} sont toujours supposées “à support fini”.

Familles génératrices, familles libres

Définition (familles génératrices)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {(u_{i})_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}.
On dit que la famille {(u_i)_{i\in I}} est génératrice dans {E} si {\text{Vect}(u_i)_{i\in I}=E}.
Cela signifie que tout vecteur {u} de {E} est, au moins d’une manière, combinaison linéaire des {u_{i}}.
Définition (familles libres)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {(u_{i})_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}.
On dit que la famille {(u_i)_{i\in I}} est libre si on a l’implication : {\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i=0\Rightarrow(\,\forall i\in I,\,\lambda_i=0\,)}
On exprime aussi cette situation en disant que les {u_{i}} sont linéairement indépendants.
Sinon, donc s’il existe des {\lambda_i} non tous nuls tels que {\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i=0}}, on dit que la famille {(u_i)_{i\in I}}est liée, ou encore que les {u_{i}} sont linéairement dépendants.

Dans la proposition précédente, on ne doit pas confondre “non tous nuls” et “tous non nuls”.

Cas d’une famille finie de vecteurs

On se donne {n} vecteurs {u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}} de l’espace vectoriel {E}.
Dire que ces vecteurs “engendrent” {E}, c’est dire que : {\forall\, v\in E,\;\exists\,(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^{n},\;v=\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i\,u_i}
Dire qu’ils sont libres, c’est dire que : {\forall\, (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^n,\;\Bigl(\,\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i\,u_i=0\Rightarrow \lambda_1=\cdots=\lambda_n=0\Bigr)}
Une famille réduite à un seul vecteur {u} est libre si et seulement si ce vecteur est non nul.

Extension au cas d’une “famille vide”

Si l’ensemble {I} des indices est vide, on peut encore parler de la famille {(u_{i})_{i\in I}} (c’est une famille vide, il n’y a personne dedans!) et dire que cette famille est libre.

Le sous-espace engendré par la famille vide est le singleton {\{0\}}, ce qui est cohérent avec le fait qu’une somme vide est toujours considérée comme ayant une valeur nulle (ici {0}).

Proposition (une caractérisation des familles liées)
Une famille de vecteurs de {E} est liée si et seulement si l’un (au moins) des vecteurs qui la compose peut s’écrire comme une combinaison linéaire des autres.

Une famille de deux vecteurs {u} et {v} est donc liée si et seulement si {u} et {v} sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un scalaire {\lambda} tel que {u=\lambda v} ou {v=\lambda u}.

Attention à ne pas dire (si on ne sait rien de {u} et {v}) que {u} et {v} sont liés si et seulement si il existe un scalaire {\lambda} tel que {u=\lambda v}, car c’est faux si {v=0} et {u\ne0} (en revanche c’est vrai si {v\ne0}).

Remarques

  • Toute sous-famille d’une famille libre est, a fortiori, une famille libre.
    Toute “sur-famille” d’une famille génératrice de {E} est, a fortiori, une famille génératrice.
    En particulier toute famille contenant {0}, ou deux vecteurs colinéaires, est liée.
  • Soit {F} un sous-espace vectoriel strict de {E}. Soit {(u_i)_{i\in I}} une famille de vecteurs de {F}, donc de {E}.
    Le caractère libre ou non de cette famille ne dépend pas de l’espace vectoriel, {F} ou {E}, auxquels ils sont censés appartenir. En revanche, si cette famille est génératrice dans {F}, elle ne l’est pas dans {E}. Quand il y a un risque d’ambiguïté, on précisera donc de quel espace vectoriel une famille de vecteurs est génératrice.
Proposition (famille de polynômes à degrés distincts deux à deux)
On se place dans l’espace vectoriel {\mathbb{K}[X]} des polynômes à coefficients dans {\mathbb{K}}.
Toute famille de polynômes non nuls dont les degrés sont différents deux à deux est une famille libre.

Cette propriété est vraie en particulier pour {(P_n)_{n\in\mathbb{N}}} si : {\deg P_0\lt \deg P_1\lt \cdots\lt \deg P_n\lt \cdots}.
On exprime cette situation en disant que la famille des polynômes {P_{k}} est à degrés échelonnés.
Attention à ne pas annoncer de réciproque!
Par exemple, {X^{2}}, {X^{2}+X} et {X^{2}+X+1} sont libres, alors qu’ils ont le même degré.

Bases et coordonnées

Définition (bases d'un espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
On dit qu’une famille {(u_i)_{i\in I}} d’éléments de {E} est une base si elle est à la fois libre et génératrice.
Proposition (existence de bases (théorème admis))
Dans tout espace vectoriel {E}, il y a des bases.

Ce théorème sera démontré pour les “espaces vectoriels de dimension finie”.
Cas très particulier : on peut considérer que la “famille vide” est une base d’un espace réduit à {\{0\}}.

Proposition (caractérisation des bases)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {(u_{i})_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}.
La famille {(u_i)_{i\in I}} est une base si et seulement si tout vecteur {v} de {E}peut s’écrire, et de manière unique, comme une combinaison linéaire {v=\sum_{i\in I}\lambda_{i}u_{i}} des vecteurs {u_i}.
Dans cette écriture, les coefficients {\lambda_i} sont appelés les coordonnées de {v} dans la base {(u_i)_{i\in I}}.

Cas d’une famille finie de vecteurs

On se donne {n} vecteurs {u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}} de l’espace vectoriel {E}.

Dire que ces vecteurs forment une base de {E}, c’est dire que : {\forall\, v\in E,\;\exists\,!(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^{n},\;v=\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i\,u_i}

Importance de l’ordre des vecteurs d’une base

Si par exemple {u_{1},u_{2},u_{3}} (dans cet ordre) forment une base de {E}, et si les coordonnées d’un vecteur {v}dans cette base sont {a,b,c}, (c’est-à-dire si {v=au_{1}+bu_{2}+cu_{3}}), alors {u_{2},u_{3},u_{1}} (dans cet ordre) forment une base de {E} dans laquelle les coordonnées de {v} sont {b,c,a}.

En conclusion, deux bases se déduisant l’une de l’autre par modification de l’ordre des vecteurs doivent être considérées comme distinctes.

Exemples usuels

  • Soit {n} dans {\mathbb{N}}. On note {e_1=(1,0,\ldots,0)}, {e_2=(0,1,0,\ldots,0)}, etc., {e_n=(0,\ldots,0,1)}.
    La famille {(e_k)_{1\,\le\,k\,\le\,n}} est une base de {\mathbb{K}^{n}}, dite “base canonique”.
    Les coordonnées de {v=(x_1,\ldots,x_n)} dans cette base sont {x_k}, car {v=\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k\,e_k}.
  • Soit {n\in\mathbb{N}}. La famille {1,X,X^{2},\ldots,X^{n}} est une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}, dite “base canonique”.
    Plus généralement, la famille infinie {(X^k)_{k\in \mathbb{N}}} est une base (dite base canonique) de {\mathbb{K}[X]}.

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