Rudiments de logique

Plan du chapitre "Raisonner"

Propositions, démonstrations, etc.

Définition
Une proposition est un énoncé dont on doit pouvoir dire qu’il est « vrai » ou « faux ».
On notera {V} et {F} (ou encore {1} et {0}) les deux valeurs logiques possibles d’une proposition.

Exemples:

  • « l’entier {2025} est un carré parfait » est une proposition vraie (car {2015=45^2});
  • « l’entier {2027} est un carré parfait » est une proposition fausse (aucun carré ne se termine par {7});
  • « l’entier 2018 est somme de deux carrés » est une proposition vraie (en effet {2018=13^2+43^2});
  • « l’entier 2019 est une somme de deux carrés » est une proposition fausse (si {2019} s’écrivait {m^2+n^2}, raisonner suivant la parité de {m} et {n}).
Définition
Certaines propositions sont déclarées vraies à priori: ce sont les axiomes.
Sinon la véracité (ou la fausseté) d’une proposition doit résulter d’une démonstration (d’une preuve).

Remarque: dans le cadre d’un cours de mathématiques, quand on énonce une proposition, c’est pour affirmer qu’elle est vraie (et qu’on va la démontrer)!

Définition
Un théorème est une proposition vraie particulièrement importante.
Un lemme est une proposition vraie, utile à la démonstration d’une proposition plus importante.
Un corollaire est une proposition vraie, conséquence immédiate d’une autre proposition vraie.
Une conjecture est une proposition qu’on pense généralement vraie, sans en avoir de preuve.

Exemples:

  • « l’axiome de récurrence » dans {\mathbb{N}}, « l’axiome de la borne supérieure » dans {\mathbb{R}}.
  • « le théorème de Pythagore », le « théorème de Rolle », « le théorème de Bolzano-Weierstrass ».
  • le « lemme des bergers », le « lemme de Gauss », le « lemme des noyaux ».
  • la « conjecture de Syracuse », la « conjecture de Goldbach ».
  • la « conjecture de Fermat » est devenue le « grand théorème de Fermat » en 1994.

Ensembles, éléments

On ne se risque pas à donner une définition précise de ces notions premières, considérées comme intuitives. On sait qu’il existe, par exemple, des « ensembles de nombres » auxquels la tradition a donné un nom: {\mathbb{N}} (entiers naturels), {\mathbb{Z}} (entiers relatifs), {\mathbb{Q}} (nombres rationnels), {\mathbb{R}} (nombres réels), {\mathbb{C}} (nombres complexes), et que chacun de ces ensembles est strictement inclus dans le suivant.

On sait également qu’il est possible de former des ensembles inclus dans les ensembles précédents. Par exemple : les entiers naturels impairs, les entiers relatifs multiples de {7}, les nombres rationnels strictement positifs, les réels de l’intervalle {]1,4]}, les nombres complexes dont la partie réelle est négative ou nulle.

Commençons donc par une définition qui n’en est pas vraiment une, tant elle ne fait que constater un état de fait : dans le monde des mathématiques, il y a des « éléments », qui sont regroupés sous la forme d’« ensembles ».

Définition (ensembles, éléments)
On dit qu’un ensemble {E} est constitué d’éléments et qu’un élément {a} appartient à {E} (on écrit: {a\in E}) ou n’appartient pas à {E} (on écrit: {a\notin E}).
Deux ensembles {E,F} sont dits égaux (on note {E=F}) s’ils sont constitués des mêmes éléments.

Quelques remarques

  • Un même objet mathématique peut, selon les circonstances, être vu comme un ensemble, ou comme un élément d’un ensemble. Par exemple, l’intervalle {[0,1]} est un ensemble de nombres réels, mais c’est également un élément de l’ensemble des intervalles de {\mathbb{R}}.
  • Un ensemble fini peut être défini en extension, c’est-à-dire par la liste (non ordonnée) de ses éléments.
    C’est le cas par exemple de l’ensemble {E=\{{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}\}}.
    Dans une écriture comme {\{a,b,c,\ldots\}} les éléments {a,b,c}, etc. sont a priori supposés distincts, et l’ordre dans lequel ils sont donnés n’a aucune importance.
  • Un ensemble {E} peut être défini en compréhension (c’est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments). Ainsi {E=\left\{\frac{n(n+1)}{2},\;n\in\mathbb{N},\;1\le n\le 10\right\}} est une autre définition de {\{{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}\}}.
  • Il y a bien d’autres conventions pour définir ou nommer des ensembles. Par exemple:

    • si {a,b} sont deux réels, {[a,b[} est l’ensemble des réels {x} qui vérifient {a\le x\lt b};
    • si {E} est un ensemble, {\mathcal{P}(E)} est l’ensemble des parties de {E}.
Définition (ensemble vide, singletons, paires)
Par convention l’ensemble vide, noté {\emptyset}, est l’ensemble ne contenant aucun élément.
Un ensemble {\{a\}}, formé d’un seul élément, est appelé un singleton.
Un ensemble {\{a,b\}}, formé de deux éléments distincts, est appelé une paire.

Propriétés portant sur les éléments d’un ensemble

La proposition « l’entier 2018 est somme de deux carrés » est vraie, car {2018=13^2+43^2}.
Mais l’énoncé « l’entier {n} est une somme de deux carrés », qui contient la variable libre {n} (c’est-à-dire un nom auquel on n’a pas donné de contenu particulier) ne peut pas être considéré comme une proposition, car on ne peut lui attribuer la valeur “Vrai” ou “Faux” tant qu’on ne donne pas une valeur à {n}.

On parlera plutôt ici d’une propriété {\mathcal{P}} portant sur les entiers naturels {n}.
Avec cette définition, la proposition {\mathcal{P}(2018)} est vraie (ou encore: l’entier {2018} vérifie la propriété {\mathcal{P}}) et la proposition {\mathcal{P}(2019)} est fausse (l’entier {2019} ne vérifie pas la propriété {\mathcal{P}}).

Si {\mathcal{P}} est une propriété portant sur les éléments d’un ensemble {E}, et pour affirmer qu’un élément {x} de {E} vérifie (ou satisfait à) la propriété {\mathcal{P}}, on écrira simplement “{\mathcal{P}(x)}” plutôt que “{\mathcal{P}(x)} est vraie”.

On peut former des prédicats à plusieurs variables. Par exemple, {\mathcal{P}(n,k)} « l’entier {n} est la somme de {k} carrés ». Avec cette notation, on constate que {\mathcal{P}(2018,3)} est vraie car {2018=18^2+20^2+36^2}.

Opérations sur les propositions

On peut créer de nouvelles propositions à l’aide d’« opérations » sur des propositions existantes.

Définition
À partir des propositions {\mathcal{A}}, {\mathcal{B}}, on définit ainsi:

  • la négation « {\text{non}\;\mathcal{A}} » (ou encore {\overline{\mathcal{A}}}, ou encore {\neg\,\mathcal{A}}).
  • la disjonction « {\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B}\,} » (notée également {\mathcal{A}\vee\mathcal{B}}).
  • la conjonction « {\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B}\,} » (notée également {\mathcal{A}\wedge\mathcal{B}}).
  • l’implication: la proposition « {\mathcal{A}} implique {\mathcal{B}} » (notée {\mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{B}})
  • l’équivalence: la proposition « {\mathcal{A}} équivaut à {\mathcal{B}} » (notée {\mathcal{A} \Leftrightarrow\mathcal{B}})


L’état « Vrai » ou « Faux » de chacune des propositions ainsi définie dépend de l’état des propositions {\mathcal{A},\mathcal{B}}.
Tout ceci est expliqué dans les tableaux de vérité ci-dessous.
{\begin{array}{c}\begin{array}{|c|c|}\,\mathcal{A}\,&\,\overline{\mathcal{A}}\,\cr V&F\cr F&V\end{array}\qquad\begin{array}{|c|c|c|}\,\mathcal{A}\,&\,\mathcal{B}\,&\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B}\cr V&V&V\cr V&F&V\cr F&V&V\cr F&F&F\end{array}\qquad\begin{array}{|c|c|c|}\,\mathcal{A}\,&\,\mathcal{B}\,&\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B}\cr V&V&V\cr V&F&F\cr F&V&F\cr F&F&F\end{array}\\\\\begin{array}{|c|c|c|}\,\mathcal{A}\,&\,\mathcal{B}\,&\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B}\cr V&V&V\cr V&F&F\cr F&V&V\cr F&F&V\end{array}\qquad\begin{array}{|c|c|c|}\,\mathcal{A}\,&\,\mathcal{B}\,&\mathcal{A}\Leftrightarrow \mathcal{B}\cr V&V&V\cr V&F&F\cr F&V&F\cr F&F&V\end{array}\end{array}}
Au vu des tableaux de vérités précédents, on peut donc dire, d’une façon moins formelle:

  • La proposition {\overline{\mathcal{A}}} est vraie quand {\mathcal{A}} est fausse, et fausse quand {\mathcal{A}} est vraie.
  • La proposition « {\mathcal{A}} ou {\mathcal{B}\,} » est vraie quand l’une au moins des deux propositions {\mathcal{A},\mathcal{B}} est vraie.
  • La proposition « {\mathcal{A}} et {\mathcal{B}\,} » est vraie quand les deux propositions {\mathcal{A},\mathcal{B}} sont vraies.
  • « {\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B}\,} » est vraie quand {\mathcal{A}} est fausse (le « faux
    implique n’importe quoi ») ou quand {\mathcal{B}} est vraie.
  • « {\mathcal{A}\Leftrightarrow \mathcal{B}\,} » est vraie quand {\mathcal{A},\mathcal{B}} sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.

Les opérations précédentes peuvent être répétées pour former des propositions {\mathcal{P}(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},\ldots)} dépendant de propositions initiales {\mathcal{A}}, {\mathcal{B}}, {\mathcal{C}}, etc.

Deux telles propositions {\mathcal{P}(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},\ldots)} et {\mathcal{Q}(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},\ldots)} sont dites synonymes si elles ont le même tableau de vérité, c’est-à-dire si l’équivalence {\mathcal{P}(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},\ldots)\Leftrightarrow\mathcal{Q}(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},\ldots)} est toujours vraie (c’est-à-dire quelle que soit la valeur de vérité des propositions {\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},\ldots}).

Par exemple, on peut vérifier que « {\mathcal{A}\;\text{et}\;(\mathcal{B}\;\text{ou}\;\mathcal{C})} » d’une part, « {(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B})\;\text{ou}\;(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{C})} » d’autre part, sont synonymes. Pour cela, on forme un tableau de vérité en examinant les huit possibilités relatives au triplet {(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C})}, et on constate que dans chacune d’elles nos deux propositions on la même valeur de vérité.

Pour simplifier, on note {\mathcal{X}} pour « {\mathcal{A}\;\text{et}\;(\mathcal{B}\;\text{ou}\;\mathcal{C})} », et {\mathcal{Y}} pour « {(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B})\;\text{ou}\;(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{C})} » :{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\;\mathcal{A}\;&\;\mathcal{B}\;&\;\mathcal{C}\;&\;\mathcal{B}\;\text{ou}\;\mathcal{C}\;&\;\mathcal{X}\;&\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B}&\;\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{C}\;&\mathcal{Y}\cr V&V&V&V&V&V&V&V\cr V&V&F&V&V&V&F&V\cr V&F&V&V&V&F&V&V\cr V&F&F&F&F&F&F&F\cr F&V&V&V&F&F&F&F\cr F&V&F&V&F&F&F&F\cr F&F&V&V&F&F&F&F\cr F&F&F&F&F&F&F&F\end{array}}
Ainsi, si on doit prouver qu’une proposition s’énonçant sous la forme « {\mathcal{A}\;\text{et}\;(\mathcal{B}\;\text{ou}\;\mathcal{C})} » est vraie, il revient au même de montrer que l’une au moins des propositions « {\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B}} » ou « {\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{C}} » est vraie. Avec un peu de sens logique (voir plus loin!), on comprend qu’il revient au même de prouver que si « {\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B}} » est fausse, alors « {\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{C}} » est vraie, c’est-à-dire que {\mathcal{A}} et {\mathcal{C}} sont toutes les deux vraies.

Qu’on se rassure, on ne revient jamais à l’utilisation de tableaux de vérité. On se contente d’assimiler quelques règles logiques essentielles, et on se fie ensuite à sa capacité à détecter les bons enchaînements (rien ne vaut le bon sens, qui est peut-être un peu inné, mais qui surtout s’entretient et se développe).

Quelques synonymies classiques

Nous désignons ici par {\mathcal{A}}, {\mathcal{B}}, {\mathcal{C}} des propositions logiques quelconques.

Voici quelques équivalences, formées à partir de {\mathcal{A}}, {\mathcal{B}} ou {\mathcal{C}}, et qui sont toujours vraies (autrement dit, les expressions logiques de part et d’autres de ces équivalences sont synonymes).

Ce catalogue de synonymies classiques ne doit pas être vu comme un formulaire à connaître. Si on observe bien ces équivalences (qui peuvent toutes être démontrées en utilisant des tableaux de vérité) on voit qu’elles ne font que traduire, dans un langage un peu hermétique, des évidences de la logique de tous les jours (ou presque).

  • Double négation: {\,\text{non}\,(\,\text{non}\,\mathcal{A})\Leftrightarrow \mathcal{A}}
  • Idempotence: {\begin{cases}(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{A})\Leftrightarrow \mathcal{A}&\cr (\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{A})\Leftrightarrow \mathcal{A}\end{cases}}
  • Commutativité: {\begin{cases}(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B})\Leftrightarrow(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{A})&\cr (\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\Leftrightarrow(\mathcal{B}\;\text{ou}\;\mathcal{A})\end{cases}}
  • Associativité: {\begin{cases}((\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B})\;\text{et}\;\mathcal{C})\Leftrightarrow(\mathcal{A}\;\text{et}\;(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C}))&\cr ((\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\;\text{ou}\;\mathcal{C})\Leftrightarrow(\mathcal{A}\;\text{ou}\;(\mathcal{B}\;\text{ou}\;\mathcal{C}))\end{cases}}
  • Dualité ou encore Lois de De Morgan: {\begin{cases}\,\text{non}\,(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B})\Leftrightarrow((\,\text{non}\,\mathcal{A})\;\text{ou}\;(\,\text{non}\,\mathcal{B}))&\cr \,\text{non}\,(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\Leftrightarrow((\,\text{non}\,\mathcal{A})\;\text{et}\;(\,\text{non}\,\mathcal{B}))\end{cases}}

    Montrer que la proposition {(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B})} est fausse, c’est-à-dire montrer qu’on n’a pas simultanément « {\mathcal{A}} vraie » et « {\mathcal{B}} », c’est bien sûr montrer que l’une au moins des deux propositions {\mathcal{A},\mathcal{B}} est fausse.
    De la même manière, montrer que {(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})} est fausse, c’est montrer que ni {\mathcal{A}} ni {\mathcal{B}} ne sont vraies.

  • Double implication: {(\mathcal{A}\Leftrightarrow \mathcal{B})\Leftrightarrow((\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B})\;\text{et}\;(\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{A}))}

    Montrer que deux propositions {\mathcal{A},\mathcal{B}} sont équivalentes, c’est souvent montrer que chacune d’elles implique l’autre.

  • Distributivité: {\begin{cases}(\mathcal{A}\;\text{ou}\;(\mathcal{B}\;\text{et}\;\mathcal{C}))\Leftrightarrow((\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\;\text{et}\;(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{C}))&\cr (\mathcal{A}\;\text{et}\;(\mathcal{B}\;\text{ou}\;\mathcal{C}))\Leftrightarrow((\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{B})\;\text{ou}\;(\mathcal{A}\;\text{et}\;\mathcal{C}))\end{cases}}

Conditions nécessaires et/ou suffisantes

Pour deux propositions {\mathcal{A}} et {\mathcal{B}} quelconques, on rappelle le tableau de vérité de la proposition {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}}:
{\begin{array}{|c|c|c|}\,\mathcal{A}\,&\,\mathcal{B}\,&\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B}\\ V&V&V\\ V&F&F\\ F&V&V\\ F&F&V\end{array}}
On remarque en particulier que lorsque la proposition {\mathcal{A}} (qu’on appelle souvent la prémisse de l’implication) est fausse, alors l’implication {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}} est vraie (quel que soit l’état, vrai ou faux, de la proposition {\mathcal{B}}). On traduit souvent ce paradoxe apparent en disant (de façon un peu légère) « le faux implique n’importe quoi ».

Ce paradoxe peut s’expliquer quand {\mathcal{A}} et {\mathcal{B}} sont des propriétés portant sur les éléments d’un ensemble {E}. Dans ce cas, dire que {\mathcal{A}} implique {\mathcal{B}} c’est dire que l’ensemble {E_A} des éléments de {E} qui vérifient {\mathcal{A}} est inclus dans l’ensemble {E_B} des éléments de {E} qui vérifient {\mathcal{P}}. Dans le cas particulier où aucun élément de {E} ne vérifie {\mathcal{P}} (c’est-à-dire si la proposition {\mathcal{A}(x)} est fausse, quelque soit {x} dans {E}, c’est-à-dire si {E_A=\emptyset}), alors on a bien l’inclusion {E_A\subset E_B}.

Ces subtilités sont sans grande importance pratique. Ce qui compte, c’est d’avancer dans le raisonnement à coups de propositions vraies! Et si on affirme que {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}} est vraie, c’est bien pour dire que si {\mathcal{A}} est vraie, alors {\mathcal{B}} est vraie.

Dans un premier temps, voici comment exprimer en bon français (donc autrement que par la seule utilisation du symbole {\Rightarrow}) la notion de nécessité, de conséquence, d’implication.

Définition (pour exprimer une implication)
Soit {\mathcal{A}} et {\mathcal{B}} deux propositions. Pour exprimer que « {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}} » est vraie, on dit indifféremment:

  • La proposition {\mathcal{A}} est une condition suffisante de la proposition {\mathcal{B}}.
    Ou encore: pour que {\mathcal{B}} soit vraie, il suffit que {\mathcal{A}} soit vraie.
  • La proposition {\mathcal{B}} est une condition nécessaire de la proposition {\mathcal{A}}.
    Ou encore: pour que {\mathcal{A}} soit vraie, il faut que {\mathcal{B}} soit vraie.
  • {\mathcal{B}} est vraie si {\mathcal{A}} est vrai, ou encore : {\mathcal{A}} est vraie seulement si {\mathcal{B}} est vraie.


Voici maintenant comment exprimer que deux propositions sont équivalentes (vraies ou fausses en même temps):
Définition (pour exprimer une équivalence)
Soit {\mathcal{A}} et {\mathcal{B}} deux propositions. Pour exprimer que « {\mathcal{A}\Leftrightarrow\mathcal{B}} » est vraie, on dit indifféremment:

  • {\mathcal{A}} est une condition nécessaire et suffisante (CNS) de {\mathcal{B}}.
  • {\mathcal{A}} est vraie si et seulement si {\mathcal{B}} est vraie.
  • Pour que {\mathcal{A}} soit vraie, il faut et il suffit que {\mathcal{B}} soit vraie.

Dans ces énoncés on peut bien sûr échanger le rôle de {\mathcal{A}} et {\mathcal{B}}.


On devine l’importance considérable que revêtent les notions d’implication et d’équivalence en mathématiques. On reviendra plus loin sur le danger qu’il y a à utiliser abusivement les signes {\Rightarrow} et {\Leftrightarrow}, comme de vulgaires signe de ponctuation, comme une façon paresseuse de passer à la ligne.

Il est en particulier exclus d’utiliser ces signes dans une phrase en français, et il convient de réserver leur usage prudent aux seuls passages calculatoires.

Les variantes d’expression évoquées dans les deux propositions précédentes marquent d’ailleurs la primauté de l’expression sur la technique. Un calcul mathématique n’est rien s’il n’est précédé, accompagné, et suivi d’un effort d’expression (pour préparer la séquence calculatoire, pour en justifier les étapes, et pour en exprimer la conclusion).

Quelques figures usuelles du raisonnement

Voici à nouveau quelques synonymies classiques, qui représentent cette fois des figures classiques du raisonnement mathématique. Là encore, on peut considérer ces résultats comme assez naturels (à moins que ça ne soit la pratique du raisonnement logique qui les rendent tels) ou alors les démontrer en utilisant des tableaux de vérité.

La règle du « modus ponens »

C’est un rouage essentiel (et très simple) du raisonnement. Arrivé à une étape donnée de celui-ci (souvent dès le début) on constate qu’une proposition {\mathcal{A}} est vraie. On se souvient alors d’une propriété du cours (un théorème, ou une simple règle de calcul) affirmant que l’implication {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}}) est vraie. Puisque d’une part {\mathcal{A}} et d’autre part {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}}) sont vraies, il en alors de même de {\mathcal{B}} ce qui nous conduit à l’étape suivante du raisonnement.

Cette figure du raisonnement est résumée par le fait que l’implication {\bigl((\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})\;\text{et}\;\mathcal{A}\big)\Rightarrow\mathcal{B}} est toujours vraie. On dit parfois d’une proposition toujours vraie qu’elle constitue une « tautologie ».

Proposition (la règle du « modus ponens »)
L’implication suivante est toujours vraie: {\bigl((\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})\;\text{et}\;\mathcal{A}\big)\Rightarrow\mathcal{B}}

Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Le syllogisme

Tout le monde connaît l’exemple-type du syllogisme : « Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme donc Socrate est mortel ».

Lorsqu’on part d’une hypothèse (c’est-à-dire d’une proposition {\mathcal{A}} supposée vraie), et qu’on cherche à montrer qu’une proposition {\mathcal{C}} (la conclusion du raisonnement) est vraie, il est commode (et souvent inévitable) de passer par des étapes intermédiaires (pour scinder la difficulté).

Le syllogisme est une illustration de cette idée: si on sait que l’implication {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}} est vraie, et si par ailleurs l’implication {\mathcal{B}\Rightarrow\mathcal{C}} est vraie, alors l’implication {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{C}} est vraie. La proposition {\mathcal{B}} fait alors figure d’étape possible dans le raisonnement qui mène de {\mathcal{A}} à {\mathcal{C}}.

Proposition (le syllogisme)
Soit {\mathcal{A}}, {\mathcal{B}} et {\mathcal{C}} trois propositions.
L’implication suivante est toujours vraie: {\bigl((\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B})\;\text{et}\;(\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{C})\bigr)\Rightarrow(\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{C})}.

Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

La disjonction des cas

Dans un raisonnement mathématique censé nous conduire d’une hypothèse {\mathcal{H}} (une proposition supposée vraie), à une conclusion {\mathcal{C}}, il arrive que {\mathcal{H}} se présente sous la forme de deux éventualités : {\mathcal{A}} ou {\mathcal{B}}.

Dans ce cas, montrer que l’implication {\mathcal{H}\Rightarrow\mathcal{C}} est vraie, c’est prouver que les deux implications {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{C}} d’une part, et {\mathcal{B}\Rightarrow\mathcal{C}} d’autre part, sont vraies.

La séparation de {\mathcal{H}} en les éventualités {\mathcal{A}} ou {\mathcal{B}} peut s’imposer d’elle-même, ou résulter d’une idée personnelle. Et puisqu’on remplace une seule démonstration (celle de {\mathcal{H}\Rightarrow\mathcal{C}}) par deux démonstrations (celle de {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{C}} et celle de {\mathcal{B}\Rightarrow\mathcal{C}}), c’est dans l’espoir qu’en affinant ainsi l’hypothèse, on aura plus de facilité à progresser.

Cette figure du raisonnement s’appelle la « disjonction des cas », et voici comment elle s’exprime:

Proposition (la disjonction des cas)
Soit {\mathcal{A}}, {\mathcal{B}} et {\mathcal{C}} trois propositions. Les propositions {\;\begin{cases}(\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{C})\;\text{et}\;(\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{C})\cr(\mathcal{A}\;\text{ou}\;\mathcal{B})\Rightarrow \mathcal{C}\end{cases}} sont synonymes.

Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Raisonnement par contraposition

Supposons qu’on veuille démontrer qu’une proposition {\mathcal{A}} implique une proposition {\mathcal{B}}, c’est-à-dire que si {\mathcal{A}} est vraie alors {\mathcal{B}} est vraie. Il revient au même d’établir que si {\mathcal{B}} est fausse, alors {\mathcal{A}} est fausse.

On peut donc remplacer la preuve de {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}} par celle de {(\,\text{non}\,\mathcal{B})\Rightarrow(\,\text{non}\,\mathcal{A})} (la « proposition contraposée »).
On procédera ainsi lorsque l’hypothèse {(\,\text{non}\,\mathcal{B})} permet un démarrage plus facile de la démonstration. C’est notamment le cas lorsque {\mathcal{B}} exprime qu’il n’existe aucun élément d’un ensemble possédant telle ou telle propriété. Partir de {(\,\text{non}\,\mathcal{B})}, c’est donc supposer qu’un tel élément existe : se donner cet élément et tirer les conséquences de son existence peut alors constituer un bon démarrage de la démonstration.

Proposition (le raisonnement par contraposition)
Soit {\mathcal{A}} et {\mathcal{B}} deux propositions quelconques. Les propositions {\;\begin{cases}\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B}\\(\,\text{non}\,\mathcal{B})\Rightarrow(\,\text{non}\,\mathcal{A})\end{cases}} sont synonymes.

Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Le raisonnement par l’absurde

Le raisonnement par l’absurde consiste un peu à « prêcher le faux pour savoir le vrai» 

Ne devant pas être confondu avec le raisonnement pas contraposition (dont il est quand même assez proche) il consiste à prouver qu’une propriété est vraie en supposant qu’elle est fausse et en tirant les conséquences de cette nouvelle hypothèse jusqu’à aboutir à une absurdité.

Proposition (le raisonnement par l'absurde)
Soit {\mathcal{A}} et {\mathcal{B}} deux propositions quelconques.
Les propositions {\;\begin{cases}\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B}\\\text{non}\,(\mathcal{A}\;\text{et}\;\text{non}\,\mathcal{B})\end{cases}} sont synonymes.

Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

  • On voit que si {(\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B})} est vraie et si {\mathcal{B}} est fausse, alors {\mathcal{A}} est fausse. En d’autres termes, si on part d’une hypothèse {\mathcal{A}} et que par un raisonnement juste (ici l’implication {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}}) on arrive à une conclusion {\mathcal{B}} fausse, c’est que l’hypothèse de départ est fausse.
    On tient là un bon moyen de montrer qu’une propriété {\mathcal{A}} est fausse : « par l’absurde », on suppose que {\mathcal{A}} est vraie, puis on en tire les conséquences de cette hypothèse pour arriver à une proposition {\mathcal{B}} manifestement fausse (porteuse d’une contradiction, d’une absurdité). On conclut alors que la proposition {\mathcal{A}} est fausse.
    Bien sûr, on peut montrer qu’une proposition {\mathcal{A}} est vraie en supposant (par l’absurde) qu’elle est fausse, puis en procédant par implications jusqu’à aboutir à une contradiction.
  • Plus généralement, supposons qu’on veuille démontrer que {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}} (c’est-à-dire « {\text{non}\,(\mathcal{A}\;\text{et}\;\text{non}\,\mathcal{B})} ») est vraie. Il revient au même de prouver que {(\mathcal{A}\;\text{et}\;\text{non}\,\mathcal{B})} est fausse, c’est-à-dire qu’on ne peut pas avoir simultanément à la fois l’hypothèse {\mathcal{A}} et le contraire de la conclusion {\mathcal{B}} à laquelle on voudrait aboutir.
    Pour cela, on suppose (par l’absurde) que {(\mathcal{A}\;\text{et}\;\text{non}\,\mathcal{B})} est vraie. Autrement dit, on conserve l’hypothèse « {\mathcal{A}} est vraie », mais lui ajoute l’hypothèse supplémentaire « {\mathcal{B}} est fausse ». On tire ensuite les conséquences de ce renforcement de l’hypothèse pour aboutir à une absurdité.

Page précédente : raisonner juste et bien
Page suivante : quantificateurs et rédaction