Raisonner juste et bien

Plan du chapitre "Raisonner"

Nous commençons par poser quelques principes généraux sur le “raisonnement mathématique”. Même si les considérations qui suivent sont très générales, il conviendra de toujours les garder à l’esprit, un peu comme un ensemble de “préceptes”, des règles de conduite auxquelles il faudra toujours se ternir.

Le “bien raisonner”

Pour parler de façon extrêmement simplifiée, le but des mathématiques est de démontrer (prouver, établir, etc.) que certaines propriétés (énoncés, propositions, assertions, etc.) sont vraies.

Pour cela, les mathématiques utilisent un langage formalisé, codifié, précis. Même si le champ d’application des mathématiques est immense (du plus élémentaire au plus difficile), la nécessité de bien expliquer/rédiger (donc de bien se faire comprendre de ceux à qui vous parlez ou qui vous lisent) et l’obligation (morale!) de justifier soigneusement toutes les étapes du raisonnement (ou du calcul) s’imposent à tous les niveaux.

Cette exigence du “bien raisonner” est une partie essentielle des mathématiques. Lorsqu’on vous demande de résoudre un exercice (consistant en général à vérifier qu’une propriété est vraie sous certaines hypothèses) ce qu’on attend de vous n’est pas tant d’établir que cette propriété est vraie (elle l’est de toutes façons: on ne vous demandera pas de démontrer des choses fausses), mais plutôt d’être convaincant, rigoureux, et de justifier tout ce que vous écrivez.

Votre démonstration ne doit pas laisser place aux ambiguïtés, aux imprécisions. Elle doit être concise, limpide. Vous devez utiliser les hypothèses à bon escient (au bon moment), avancer logiquement, et terminer par une affirmation claire (et convaincante) du résultat attendu. À notre niveau, le raisonnement mathématique est donc essentiellement l’art de bien utiliser le langage à notre disposition pour (soit oralement, soit par écrit) convaincre un interlocuteur qu’on sait prouver (à partir d’hypothèses précises) qu’un résultat est vrai.

Le “bien parler” mathématique

Mis à part les qualités purement opératoires du langage mathématique, on n’oubliera que celui-ci s’inscrit dans la langue française. À cet égard, le raisonnement mathématique se doit d’être bien articulé, très proprement écrit, et l’expression doit en être variée, plaisante, si possible élégante. Sachez que les fautes d’orthographe (et les ratures, ou les patés de correcteur blanc) font toujours très mauvais effet.

On cherchera le bon équilibre entre l’usage systématique de notations purement mathématiques (qui donne une impression de sécheresse) et une rédaction trop verbeuse du raisonnement. Si la conclusion mathématique à laquelle on tend est importante, le style avec lequel on y parvient l’est tout autant.

Les questions de pure forme, d’esthétique générale, sont donc essentielles. Mais on n’oubliera pas le but qui nous est proposé, qui est de progresser dans l’art de démontrer des résultats toujours un peu plus difficiles. Dès les classes de lycée (à un moment donc où le contenu mathématique reste limité), il faut prendre l’habitude de soigner la rédaction, et de veiller à la précision des arguments utilisés. C’est le meilleur moyen de progresser. Une fois ces habitudes prises, on se relit mieux soi-même, on entre plus facilement dans les sujets (problèmes plus longs, avec des questions qui s’enchaînent) qui vous seront proposés dans l’enseignement supérieur.

Et il y a le calcul aussi

Si faire des mathématiques, c’est essentiellement raisonner et montrer qu’on sait prouver que des propriétés sont vraies (en utilisant des hypothèses, et les connaissances précédemment acquises), il entre presque à chaque étape une part inévitable de technique : il faut “faire des calculs”. Rien de sert d’avoir les idées claires sur ce qu’on veut prouver si on est, en permanence, arrêté par des difficultés d’ordre technique. Si on veut un jour arriver à une certaine sureté dans les phases calculatoires, rien ne remplace l’expérience patiemment acquise. Les deux piliers de la pratique des mathématiques sont certainement le raisonnement logique et la technique calculatoire.

Finalement, comment progresser?

On a tous des prédispositions différentes, mais il n’y a pas de fatalité. Il n’y a pas, définitivement, les bons en maths d’un coté (ceux qui ont “la bosse”) et les autres. Chacun peut progresser, en y mettant (au début en tout cas) le temps, les efforts, et la discipline nécessaires, mais aussi de l’envie.

D’ailleurs, le plaisir de faire des mathématiques, s’il n’est pas inné, se construit le plus souvent au fil des exercices résolus, et par la découverte puis l’appropriation de nouvelles notions. Pour cela, il faut de bonnes bases, et consolider ces fondations.

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