Quelques raisonnements classiques

Plan du chapitre "Raisonner"

Le raisonnement par récurrence

On admet les propriétés de l’ensemble {\mathbb{N}} des entiers naturels.
En particulier, on admet les résultats suivants, pour toute partie {A} de {\mathbb{N}} :

  • si {A} est non vide, alors {A} possède un élément minimum {a} (il est caractérisé par : {\forall\,b\in A,\;a\le b}).
  • si de plus {A} est majorée, alors possède un élément maximum.
    (dire que {A} est majorée, c’est dire qu’il existe {n} dans {\mathbb{N}} tel que : {\forall\,a\in A,\;a\le n})
Proposition (récurrence simple)
Soit {\mathcal{P}} une propriété (un « prédicat ») portant sur les entiers naturels.
Soit {n_{0}} un entier naturel. On suppose que la proposition {\mathcal{P}(n_{0})} est vraie.
On suppose également, pour tout entier {n\ge n_{0}}, que l’implication {\mathcal{P}(n)\Rightarrow\mathcal{P}(n+1)} est vraie.
Alors la proposition {\mathcal{P}(n)} est vraie pour tout entier {n\ge n_{0}}.

Voici donc comment montrer qu’une propriété {\mathcal{P}(n)} est vraie à partir d’un entier {n_0}:

  • On vérifie que l’entier {n_{0}} satisfait à la propriété: c’est le pas initial de la récurrence.
    La plupart du temps, on a bien sûr {n_{0}=0}, ou {n_{0}=1}
  • On se donne ensuite un entier {n\ge n_{0}}, et on suppose que {\mathcal{P}(n)} est vraie (c’est hypothèse de récurrence). On démontre alors que {\mathcal{P}(n+1)} est vraie (c’est le « passage du rang {n} au rang {n+1} »). On exprime l’implication {\mathcal{P}(n)\Rightarrow\mathcal{P}(n+1)} en disant que la propriété {\mathcal{P}} est héréditaire.
  • On conclut en annonçant que, par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier {n\ge n_{0}}.

Une variante réside dans la manière d’avancer dans la récurrence. Il arrive en effet que l’hypothèse {\mathcal{P}(n)} seule soit insuffisante pour démontrer {\mathcal{P}(n+1)}. Le cas le plus fréquent est celui de la récurrence double, où le pas initial et l’hypothèse de récurrence portent sur deux entiers consécutifs.

Proposition (récurrence de pas 2)
Soit {\mathcal{P}} une propriété portant sur les entiers naturels.
Soit {n_{0}} un entier naturel. On suppose que {\mathcal{P}(n_{0})} et {\mathcal{P}(n_{0}+1)} sont vraies.
On suppose que pour tout {n\ge n_{0}}, l’implication « {(\mathcal{P}(n)\;\text{et}\;\mathcal{P}(n+1))\Rightarrow\mathcal{P}(n+2)} » est vraie.
Alors la proposition {\mathcal{P}(n)} est vraie pour tout {n\ge n_{0}}.

Il reste une autre variante importante, le raisonnement par récurrence forte : pour prouver {\mathcal{P}(n+1)}, on peut en effet utiliser tout ou partie des hypothèses {\mathcal{P}(n_{0}),\mathcal{P}(n_{0}+1),\ldots,\mathcal{P}(n)}.

Proposition (récurrence forte)
Soit {\mathcal{P}} une propriété portant sur les entiers naturels.
Soit {n_{0}} un entier naturel. On suppose que {\mathcal{P}(n_{0})} est vraie.
On suppose que pour tout {n\ge n_{0}}, l’implication {(\mathcal{P}(n_{0})\;\text{et}\;\mathcal{P}(n_{0}+1)\cdots\;\text{et}\;\mathcal{P}(n))\Rightarrow\mathcal{P}(n+1)} est vraie. Alors la proposition {\mathcal{P}(n)} est vraie pour tout {n\ge n_{0}}.

Voici enfin quelques conseils pour « réussir » un raisonnement par récurrence:

  • Ne pas oublier le « pas initial » (la propriété est souvent triviale, mais on doit la prouver).
  • Ne jamais écrire: « Supposons que pour tout {n}, {\mathcal{P}(n)}. Montrons {\mathcal{P}(n+1)} »
    Il faut en fait écrire: « Soit {n} un entier naturel\,; on suppose {\mathcal{P}(n)}. Montrons {\mathcal{P}(n+1)} »
  • Bien articuler le pas initial et l’hypothèse de récurrence. Si le pas initial est {n_0}, et si on veut démontrer {\mathcal{P}(n)\Rightarrow\mathcal{P}(n+1)}, alors on doit fixer {n\ge n_{0}}. On peut tout à fait prouver {\mathcal{P}(n-1)\Rightarrow\mathcal{P}(n)}, mais dans ce cas on doit fixer {n\ge n_0+1}.
  • Bien séparer le « passage du rang {n} au rang {n+1} », où l’entier {n} est fixé, et la conclusion finale (qui est obligatoire, et qui doit porter sur tous les entiers {n\ge n_{0}}).
    Une phrase finale rituelle est « ce qui prouve la propriété au rang {n+1} et achève la récurrence »

Résolutions d’équations ou d’inéquations

Commençons par une définition banale:

Définition
Soit {f} une fonction définie sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}}, à valeurs réelles.
Trouver l’ensemble {\mathcal{S}} (éventuellement vide) des réels {x} de {\mathcal{D}} tels que {f(x)} soit nul (resp. positif ou nul, resp. strictement positif), c’est « résoudre » l’équation {f(x)=0} (resp. l’inéquation {f(x)\ge0}, resp. l’inéquation {f(x)>0}).
Les éléments {x} de {\mathcal{S}} sont appelés les solutions de l’équation (resp. de l’inéquation).

Remarques :

  • Bien sûr, les équations {f(x)=\lambda}, ou {f(x)\ge \lambda}, ou {f(x)>\lambda} (avec {\lambda} réel), et plus généralement les équations {f(x)=g(x)}, ou les inéquations {f(x)\ge g(x)}, {f(x)>g(x)}, {f(x)\le g(x)} ou {f(x)\lt g(x)} se ramènent instantanément à l’une des situations évoquées dans la définition précédente.
  • Soient {f} et {g} deux fonctions à valeurs réelles, et définies respectivement sur {\mathcal{D}_{f}} et {\mathcal{D}_{g}}.
    Résoudre le système {\begin{cases}f(x)=0\\g(x)=0\end{cases}} c’est trouver les solutions communes à {f(x)=0} et {g(x)=0}.
    On généralise à la notion de système de {n} équations (ou inéquations, ou un mélange des deux).
  • Plus généralement encore, et en introduisant des « fonctions de plusieurs variables », on peut être amené à considérer des systèmes d’équations (ou d’inéquations) à plusieurs inconnues {x,y,z} etc.
  • Autre point de vue possible: on sera amené à résoudre des équations dont la ou les inconnues sont supposées appartenir à {\mathbb{N}}, ou à {\mathbb{Z}}, ou à {\mathbb{Q}}, ou à {\mathbb{C}}.
    Tout ça recouvre donc un grand nombre de situations différentes, et ça peut devenir très compliqué!
    Dans certains cas, par exemple, on prouvera qu’une équation possède une solution sans pouvoir la calculer explicitement (considérer par exemple l’équation {x^{3}+x+1=0}, avec {x} cherché dans {\mathbb{R}}).

Deux grandes méthodes de résolution

Il est impossible de dresser la liste des « méthodes », tant les situations peuvent être différentes.
Contentons-nous d’imaginer une « équation » {(E)} (en donnant un sens très général à ce terme).
On peut chercher à résoudre {(E)} « par équivalences », ou « par conditions nécessaires »

  • Résoudre {(E)} par équivalences:
    C’est former une succession d’équations {(E)}, puis {(E_{2})}, {(E_{3})}, etc. possédant exactement le même ensemble de solutions (ce qu’il est bien sûr primordial et obligatoire de justifier, sauf pour les équivalences vraiment évidentes).
    On arrive alors à une dernière équation {(E_{n})} dont l’ensemble des solutions est clair: on a ainsi obtenu l’ensemble des solutions de l’équation initiale {(E)}.
  • Résoudre {(E)} par implications (par « conditions nécessaires », « par analyse-synthèse »):
    C’est former des équations {(E),(E_{2}),(E_{3})}, etc. telles qu’à chaque étape « {(E_{k})} implique {(E_{k+1})} »
    En termes plus précis, il s’agit de justifier que l’ensemble des solutions {\mathcal{S}_{k}} de {(E_{k})} est inclus dans l’ensemble des solutions {\mathcal{S}_{k+1}} de {(E_{k+1})}. On arrive alors à une dernière équation {(E_{n})} dont l’ensemble des solutions {\mathcal{S}_{n}} est clair.
    Tout ce qu’on peut dire à ce stade est que l’ensemble {\mathcal{S}} des solutions de {(E)} (c’est lui qui nous intéresse) est inclus dans l’ensemble {\mathcal{S}_{n}}. Il importe alors de procéder à une réciproque, c’est-à-dire de vérifier, parmi les éléments de {\mathcal{S}_{n}}, qui est effectivement élément de {\mathcal{S}}.
    Le prix consenti à établir la réciproque est compensé par le fait qu’il est souvent beaucoup facile de prouver les implications « {(E_{k})\Rightarrow(E_{k+1})} » que les équivalences « {(E_{k})\Leftrightarrow(E_{k+1})} »
    Si l’une des étapes contient une implication {(E_{k})\Rightarrow(E_{k+1})} qui n’est pas une équivalence, il ne sert à rien d’écrire des équivalences ici ou là (autant n’écrire que des implications, c’est plus sûr).

Le raisonnement par analyse-synthèse est souvent utilisé quand on demande de prouver l’existence (ou la non existence) de solutions à un problème donné (et d’identifier la ou les solutions éventuelles).
Ce raisonnement se déroule alors en deux étapes (trois étapes avec la conclusion):

  • L’analyse : on suppose que le problème admet une solution, et on procède par conditions nécessaires, en accumulant suffisamment de renseignements pour dégager un ou plusieurs « candidats-solutions »
  • La synthèse : on vérifie si les « candidats » sont effectivement solutions du problème.
  • La conclusion: on donne la ou les solutions du problème (s’il y en a).

On en vient maintenant à la notion d’équation (ou d’inéquation) à un paramètre.

Définition
Soit {\mathcal{M}} une partie de {\mathbb{R}}, appelée ici ensemble des valeurs du paramètre {m}.
Pour tout {m} de {\mathcal{M}}, soit {f_{m}} une fonction définie sur une partie {\mathcal{D}_{m}} de {\mathbb{R}}, à valeurs réelles.
Trouver l’ensemble {\mathcal{S}_{m}} (éventuellement vide) des réels {x} de {\mathcal{D}_{m}} tels que {f_{m}(x)} soit nul, c’est « résoudre » l’équation {f_{m}(x)=0}. Les éléments {x} de {\mathcal{S}_{m}} sont appelés les solutions de l’équation (resp. de l’inéquation), pour la valeur {m} du paramètre.

Remarques :

  • On peut bien sûr généraliser aux inéquations à un paramètre, ou aux systèmes d’équations/inéquations, ou même à des systèmes à plusieurs paramètres…
  • Évidemment, le nom donné au paramètre n’est pas toujours {m}: on trouve souvent {\lambda} par exemple!
  • L’important est de comprendre que le paramètre (appelons-le {m}) n’est pas une inconnue du problème. Ce paramètre possède en fait une valeur, que nous ne connaissons pas, et il est probable que cette valeur conditionne la résolution de l’équation {(E_{m}):f(x)=0} de l’inconnue {x}.
  • Il est donc possible que l’équation {(E_{m})} (dont l’énoncé dépend de la valeur attribuée à {m}) ne possède pas de solutions en {x} pour certaines valeurs de {m}, et qu’elle en possède pour d’autres (dans ce cas, il est probable que cette ou ces solutions dépendent de la valeur attribuée à {m}).
  • Résoudre l’équation {(E_{m})}, d’inconnue {x} et de paramètre {m}, c’est donc déterminer les valeurs (ou les intervalles de valeurs de {m}) pour lesquelles l’équation {(E_{m})} possède des solutions (et lesquelles). Cette résolution prend alors la forme d’une « discussion suivant les valeurs du paramètre {m} »
  • Cette discussion permet souvent de dégager des valeurs particulières de {m}, et des situations plus générales (toujours pour {m}). Il est recommandé de traiter les cas particuliers en premier.
    Il convient aussi de ne pas « inventer » de cas particuliers (qui n’apparaissent que parce qu’on a effectué tel calcul plutôt que tel autre) et qui ne sont pas des cas particuliers « intrinsèques » au problème posé.

Retour (encore) sur la clarté du style

Ce qui a déjà été dit (conseils pour bien rédiger) s’applique particulièrement à la résolution d’équations. Il est absolument primordial d’éviter les successions interminables d’implications ou d’équivalences. Il faut, aussi souvent que possible, aérer le style et faire des pauses dans les implications (construire des phrases terminées par un point).

On enchaînera notamment les implications par des formules du type « il en découle », « on en déduit ».

Pour les équivalences, on évitera l’utilisation abusive et répétée du symbole {\Leftrightarrow}, et on utilisera régulièrement des expressions comme « c’est-à-dire », ou « ce qui équivaut à », etc.

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