Quantificateurs et rédaction

Plan du chapitre "Raisonner"

Quantificateurs et rédaction

La plupart des raisonnements mathématiques portent sur des propriétés d’éléments d’un ensemble {E}. On est donc très souvent amené à écrire des phrases telles que « soit {x} un élément de {E} tel que… », ou « il existe un élément {x} de {E} tel que… », ou encore « pour tout élément {x} de {E}, on a… ».

De très nombreuses erreurs de raisonnement, ou en tout cas d’imprécisions, viennent d’un manque de rigueur (de discipline) avec lequel on écrit ces phases du raisonnement.
On se propose ici de donner quelques conseils pour améliorer la rédaction de ces passages.

Les deux quantificateurs {\exists} et {\forall}

Très souvent, on est amené à étudier une propriété (un « prédicat ») {\mathcal{P}} portant les éléments d’un ensemble {E}. Plusieurs questions importantes peuvent alors se poser :

  • L’un au moins des éléments de {E} possède-t-il la propriété {\mathcal{P}}?
  • Existe-t-il dans {E} un unique élément vérifiant la propriété {\mathcal{P}}?
  • Tous les éléments de {E} possèdent-t-il la propriété {\mathcal{P}}?

Pour formaliser ces différentes questions (et pour affirmer qu’une réponse est positive… ou négative), les mathématiques utilisent des quantificateurs.

Définition (les deux quantificateurs)
Soit {\mathcal{P}} une propriété portant sur les éléments d’un ensemble {E}.

  • La proposition « {\exists\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » dit qu’au moins un
    un élément {x} de {E} vérifie la propriété {\mathcal{P}}.
    On prononcera par exemple : « il existe {x} dans {E} tel que {\mathcal{P}(x)} » (c’est-à-dire tel que {x} vérifie {\mathcal{P}}).
    On dit que « {\exists} » est le quantificateur existentiel.
  • La proposition « {\forall\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » exprime que tout
    élément
    {x} de {E} vérifie la propriété {\mathcal{P}}.
    On prononcera par exemple : « quelque soit {x} appartenant à {E}, on a {\mathcal{P}(x)} ».
    On dit que « {\forall\,} » est le quantificateur universel.

On introduit également la notation suivante :

  • La proposition « {\exists\,!\,x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » exprime qu’un et un seul élément {x} de {E} vérifie la propriété {\mathcal{P}}.

Il est facile d’écrire la négation d’une proposition utilisant un quantificateur:

Proposition (négation d'une proposition avec quantificateurs)
Soit {\mathcal{P}} une propriété portant sur les éléments d’un ensemble {E}.
La négation de la proposition « {\exists\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est « {\forall\, x\in E,\,\text{non}\,\mathcal{P}(x)} »
La négation de la proposition « {\forall\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est « {\exists\, x\in E,\,\text{non}\,\mathcal{P}(x)}

En revanche la négation de la proposition « {\exists\,!\,x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est plus compliquée et s’exprimerait de la manière suivante : « il n’existe aucun élément de {E} vérifiant la propriété {\mathcal{P}} ou alors il en existe au moins deux ».

Phrases avec plusieurs quantificateurs

On peut former des propositions « à tiroirs » avec plusieurs quantificateurs, notamment sur des énoncés {\mathcal{P}(x,y,\cdots)} à plusieurs variables.

Dans ce cas, la phrase mathématique devant (évidemment) être lue de gauche à droite, on prendra garde à l’ordre des quantificateurs, notamment dans les alternances de « {\forall\,} » et de « {\exists\,} ».

Ainsi {\;\begin{cases}\mathcal{A}:\ \forall\, x\in E,\,\exists\, y\in F,\,\mathcal{P}(x,y)\cr \mathcal{B}:\ \exists\, y\in F,\,\forall\, x\in E,\,\mathcal{P}(x,y)\end{cases}} ont souvent des significations très différentes.

Le mieux est de penser à la traduction de ces deux propositions « en français ».
En effet, la proposition {\mathcal{A}} exprime que pour tout {x} de {E}, il existe un élément {y} de {E} (dont la valeur dépend a priori du {x} qu’on vient d’évoquer) tel que la proposition {\mathcal{P}(x,y)} soit vraie.
Quant à la proposition {\mathcal{B}}, elle exprime qu’il existe un certain élément {y} de {F} tel que, pour tout {x} de {E}, la proposition {\mathcal{P}(x,y)} soit vraie.

  • Par exemple, la proposition « {\forall\, m\in\mathbb{N},\;\exists\, n\in\mathbb{N},\;n>m} » (qui exprime que pour tout entier naturel {m}, il existe un entier naturel {n} qui lui est strictement supérieur) est vraie (prendre {n=m+1}, par exemple).
  • En revanche, la proposition « {\exists\, n\in\mathbb{N},\;\forall\, m\in\mathbb{N},\;n>m} » (qui exprime qu’il existe un entier naturel {m} strictement supérieur à tous les entiers naturels) est manifestement fausse.

Pour lever toute ambiguïté, mais au prix d’une lourdeur décourageante, la chronologie interne des phrases mathématiques contenant plusieurs quantificateurs pourrait être soulignée par des parenthèses emboîtées (et à la lecture, les {\exists} être suivis par un « tel que »).

Par exemple la proposition « {\forall\,x\in E,\;\exists\,y\in F,\;\forall z\in G,\;\mathcal{P}(x,y,z)} », gagne à être vue, mentalement, sous la forme :
{\forall\,x\in E,\biggl(\;\exists\,y\in F,\;\Bigl(\forall z\in G,\;\mathcal{P}(x,y,z)\Bigr)\biggr)}Cette perception en sous-phrases emboîtées s’avère utile lorsqu’on doit écrire la négation d’une proposition.

  • Par exemple, supposons que {\mathcal{A}} s’écrive « {\forall\, x\in E,\,\exists\, y\in F,\,\mathcal{P}(x,y)} »
    Alors {\text{non}\;\mathcal{A}} s’écrit : « {\exists\, x\in E,\,\forall\, y\in F,\,\text{non}\;\mathcal{P}(x,y)} ».
  • De même, supposons que {\mathcal{B}} s’écrive « {\exists\, x\in E,\,\forall\, y\in F,\,\mathcal{P}(x,y)} ».
    Alors {\text{non}\;\mathcal{B}} s’écrit : « {\forall\, x\in E,\,\exists\, y\in F,\,\text{non}\;\mathcal{P}(x,y)} »

Pour un usage raisonné des quantificateurs

La lourdeur des phrases mathématiques contenant plusieurs quantificateurs, et les erreurs qui peuvent résulter de cette lourdeur nous amènent à insister sur la nécessité d’équilibrer les passages « en bon français » et des phases plus techniques. En aucun cas un raisonnement mathématique ne peut se résumer à une succession de symboles.

Pour autant, il est des cas où la concision du couplage quantificateurs/propositions est efficace.

  • Considérons par exemple la phrase suivante: « le carré de la somme de deux nombres réels est égale à la somme de leurs carrés augmentée de deux fois le produit de ces réels ».
    Une telle affirmation (vraie) s’écrit plus simplement: {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;(x+y)^2=x^2+2xy+y^2}.

  • La proposition « le produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés » est vraie.
    Une traduction lourde (et peu lisible) de cette proposition avec des quantificateurs pourrait être :
    {\forall\, (m,n)\in\mathbb{N}^2,\;\;\begin{cases}\exists\,(a,b)\in\mathbb{N}^2,\;m=a^2+b^2\\ \exists\,(c,d)\in\mathbb{N}^2,\;m=c^2+d^2\end{cases}\Rightarrow\bigl(\exists\,(p,q)\in\mathbb{N}^2,\;mn=p^2+q^2\bigr)}
    Il y a une meilleure solution, qui n’introduit que quatre variables, et qui est aussi plus riche en contenu (car elle décrit deux formes de la décomposition, et constitue surtout une preuve que le résultat est vrai!):
    {\forall\,(a,b,c,d)\in\mathbb{N}^4,\;(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac\pm bd)^2+(ad\mp bc)^2}

Important :
Dans les phrases écrites en français, on évitera l’utilisation des quantificateurs (sauf peut-être {\exists}, qui est toléré). Par exemple, on écrira « Pour tout réel {y}, il existe un réel {x} tel que… », ou éventuellement « Pour tout {y\in\mathbb{R}}, il existe {x\in\mathbb{R}} tel que… », mais on n’écrira pas « {\forall y\in\mathbb{R}}, il existe {x\in\mathbb{R}} tel que… »

Le programme le dit explicitement: « l’emploi de quantificateurs en guise d’abréviations est exclu »

En conclusion, il faut toujours distinguer dans quel mode on écrit, en « mode texte » (c’est-à-dire en bon français, sans utiliser de quantificateurs) ou en « mode mathématique ».

Idéalement, le passage du mode texte au mode mathématique s’opère par le caractère « : » suivi d’un passage à la ligne et d’une certaine indentation (décalage vers la droite) durant la phase calculatoire.

Quelques bonnes habitudes à prendre

Même si les conseils qui suivent sont assez généraux, on les gardera toujours à l’esprit.

  • Dans le raisonnement logique, la syntaxe est primordiale. Elle va de pair avec la clarté du style.
    Pas de faute d’orthographe. Éviter d’être verbeux ou au contraire trop élusif.
    Toujours penser qu’on écrit pour être lu, et surtout pour être compris.

  • Indiquer clairement les hypothèses de la démonstration, et quel résultat on veut obtenir. Si on doit prouver que {\mathcal{A}\Rightarrow\mathcal{B}} est vraie, on commencera en général par : « supposons {\mathcal{A}}, et montrons {\mathcal{B}} ». À partir de l’hypothèse {\mathcal{A}}, on procédera ensuite par conditions nécessaires, pour finalement prouver {\mathcal{B}}.
    Attention: on prouve ainsi que {\mathcal{B}} est vraie si {\mathcal{A}} est vraie, et pas que {\mathcal{B}} est vraie dans l’absolu.
  • On mettra toujours en évidence les liens logiques entre les phases successives de la démonstration.
    Le symbole « {\Rightarrow} » n’est pas innocent. Son emploi doit être justifié.
    En tout cas, il ne doit jamais constituer un simple caractère de passage à la ligne.
  • On privilégiera les phrases simples et courtes (plutôt que de donner l’impression de faire un calcul en apnée). On utilisera donc souvent des passages à la ligne, et on variera le style pour éviter toute sécheresse.
  • Le mot « donc » possède des synonymes: « Ainsi », « On en déduit », « Il en découle », « Par conséquent », etc.
  • Ne jamais confondre les symboles « {\Rightarrow} » et « {\Leftrightarrow} », dont l’emploi doit être justifié. On n’utilisera jamais ces symboles dans une phrase en français, car ils sont réservés au mode mathématique.
  • Dans une proposition « à tiroirs », utiliser des parenthèses pour
    lever toute ambiguïté. Ainsi la proposition {(\mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{B})\Rightarrow \mathcal{C}} n’est pas synonyme de {\mathcal{A}\Rightarrow(\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{C})}.

  • Soit {\mathcal{P}} une propriété portant sur les éléments d’un ensemble {E}.
    Si on veut montrer la proposition « {\forall\, x\in E,\mathcal{P}(x)} », on commencera souvent par écrire: « Soit {x} dans {E}, montrons que {x} vérifie {\mathcal{P}} ». Le fait de fixer un élément de {x} n’est ici pas restrictif, tant que cet élément est quelconque dans {E}.
    Si on sait que la proposition « {\exists\, x\in E,\mathcal{P}(x)} » est vraie, et si on veut en déduire quelque chose, on commencera en général par écrire « Soit {x} dans {E}, vérifiant {\mathcal{P}} »: Le « Soit {x} » est un important car il installe dans la démonstration. Il crée et nomme un objet précis de {E}, sur lequel on va pouvoir travailler (le « {\exists\, x\in E} » ne crée rien, lui).
  • Soit {\mathcal{P}} et {\mathcal{Q}} deux propriétés portant sur les éléments d’un ensemble {E}.
    La proposition « {(\exists\, x\in E,\mathcal{P}(x))\;\text{et}\;(\exists\, x\in E,\mathcal{Q}(x))} » n’implique pas, en général {\exists\, x\in E,(\mathcal{P}(x)\;\text{et}\;\mathcal{Q}(x))}.
    La raison en est que le quantificateur {\exists\,} est mutificateur. En d’autres termes, la variable {x} dont il est question dans {(\exists\, x\in E,\mathcal{P}(x))} est muette: elle ne désigne aucun élément particulier de {E}. Il n’y a donc aucune raison de croire que les deux {x} de {(\exists\, x\in E,\mathcal{P}(x))\;\text{et}\;(\exists\, x\in E,\mathcal{Q}(x))} se réfèrent à un même élément de {E}.
    Si on doit déduire quelque chose de {(\exists\, x\in E,\mathcal{P}(x))\;\text{et}\;(\exists\, x\in E,\mathcal{Q}(x))}, on pourra commencer par écrire: soit {x} dans {E} tel que {\mathcal{P}(x)}, et soit {x'} dans {E} tel que {\mathcal{Q}(x')}.

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