Parties d’un ensemble

Plan du chapitre "Raisonner"

Opérations sur les ensembles

À partir de deux ensembles {E} et {F}, on peut en construire d’autres:

Définition (intersection et réunion)
Soit {E} et {F} deux ensembles.
{E\cap F} (on lit « {E} inter {F} ») est l’ensemble formé des éléments qui sont à la fois dans {E} et dans {F}.
{E\cup F} (on lit « {E} union {F} ») est l’ensemble formé des éléments qui sont dans l’un au moins des ensembles {E} et {F}.

Définition (ensembles disjoints)
On dit que {E,F} sont disjoints si {E\cap F} est vide.
Dans ce cas, on dit que {E\cup F} est une union disjointe.

On ne confondra pas distincts et disjoints:

  • dire que {E} et {F} sont distincts, c’est dire: {(\exists\, x\in E,x\notin F)} ou {(\exists\, x\in F,x\notin E)}.
  • dire que {E} et {F} sont disjoints, c’est dire: {(\forall\, x\in E,x\notin F)} et {(\forall\, x\in F,x\notin E)}.

Définition (différence et différence symétrique)
Soit {E} et {F} deux ensembles.

  • Différence: l’ensemble {E\setminus F} est formé des éléments qui sont dans {E} mais pas dans {F}.
  • Différence symétrique: on note {E\Delta F} l’ensemble {(E\cup F)\setminus(E\cap F)}.
    C’est l’ensemble des éléments qui sont dans un et un seul des deux ensembles {E} et {F}.
    Une définition équivalente est: {E\Delta F=(E\setminus F)\cup(F\setminus E)} (c’est une union disjointe).


Exemple
Soit {E=\{0,1,2,\ldots,29,30\}} l’ensemble des entiers naturels compris entre {0} et {30}.
Soit {F=\{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}} l’ensemble des éléments de {E} qui sont multiples de {3}.
Soit {G=\{{0, 7, 14, 21, 28}\}} l’ensemble des éléments de {E} qui sont multiples de {7}.

  • {F\cup G=\{0, 3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18, 21, 24, 27, 28, 30\}} est l’ensemble des éléments de {E} qui sont multiples de {3} ou de {7} (ou des deux, bien sûr)
  • {F\cap G=\{0,21\}} est l’ensemble des éléments de {E} qui sont multiples de {3} et de {7}
  • {F\setminus G=\{3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27, 30\}} est l’ensemble des éléments de {E} qui sont multiples de {3} mais pas de {7}.
  • {G\setminus F=\{7, 14, 28\}} est l’ensemble des éléments de {E} qui sont multiples de {7} mais pas de {7}.
  • {F\Delta G=\{3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18, 24, 27, 28, 30\}} est l’ensemble des éléments de {E} qui sont multiples de {3} ou bien de {7} (mais pas des deux à la fois, c’est-à-dire qui ne sont pas multiples de {21}).

Ensemble des parties d’un ensemble

Définition
On dit qu’un ensemble {F} est inclus dans un ensemble {E}, et on note {F\subset E}, pour exprimer que tout élément de {F} est également élément de {E}.
On dit encore que {E} contient {F}, ou que {F} est une partie (ou un sous-ensemble) de {E}.

Définition
Soit {E} un ensemble. On note {\mathcal{P}(E)} l’ensemble des parties de {E}.

Remarques

  • Évidemment, si {E\subset F} et {F\subset G}, alors {E\subset G}.
  • On a l’équivalence {A\in \mathcal{P}(E)\Leftrightarrow A\subset E}.
    De même: {a\in E\Leftrightarrow \{a\}\subset E\Leftrightarrow \{a\}\in \mathcal{P}(E)}.
    Les ensembles {E} et {\emptyset} sont toujours des éléments de {\mathcal{P}(E)}.
  • La réunion, l’intersection, la différence symétrique sont des opérations binaires sur {\mathcal{P}(E)}, en ce sens qu’à deux éléments de {\mathcal{P}(E)} elles associent un élément de {\mathcal{P}(E)}.
  • Si {F\subset E}, on dit que {E\setminus F} est le complémentaire de {F} dans {E} et on peut le noter {\complement_{E}\,F}.
  • Si aucune confusion n’est à craindre sur l’ensemble {E}, on notera {\,\overline{A}} (plutôt que {E\setminus A}) le complémentaire d’une partie {A} de {E}: c’est encore une partie de {E}.

Exemple
Soit {E=\{a,b,c,d\}} un ensemble à trois éléments.
L’ensemble {\mathcal{P}(E)} des parties de {E} comporte {2^4=16} éléments :

  • d’abord la partie vide {\emptyset}.
  • puis les quatre singletons {\{a\}}, {\{b\}}, {\{c\}}, et {\{d\}}
  • ensuite les six paires {\{a,b\}}, {\{a,c\}}, {\{a,d\}}, {\{b,c\}}, {\{b,d\}}, {\{c,d\}}
  • puis quatre parties à trois éléments {\{a,b,c\}}, {\{a,b,d\}}, {\{a,c,d\}}, et {\{b,c,d\}}
  • enfin la « partie pleine » {E=\{a,b,c,d\}}

Plus généralement, si le nombre d’éléments d’un ensemble {E} est {n}, le nombre de parties de {E} (c’est-à-dire le nombre d’éléments de {\mathcal{P}(E)}) est {2^n}. Une preuve élémentaire de ce résultat consiste à dire que former une partie de {E} c’est, pour chacun des éléments {x} de {E}, répondre à la question « {x} est-il dans {F}? ». Les deux réponses possibles à chacune des ces {n} questions conduisent aux {2^n} parties possibles de {E}.

  • Si {E=\emptyset} (donc {n=0} élément) on a {\mathcal{P}(E)=\{\emptyset\}} ({2^0=1} élément)
  • Si {E=\{a\}} (donc {n=1} élément) on a {\mathcal{P}(E)=\{\emptyset,\{a\}\}} ({2^1=2} éléments)
  • Si {E=\{a,b\}} (donc {n=2} éléments) on a {\mathcal{P}(E)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}} ({2^2=4} éléments)
  • Si {E=\{a,b,c\}} ({n=3} éléments) on a {\mathcal{P}(E)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}}

Opérations sur les parties d’un ensemble

Il y a une très grande similitude entre le vocabulaire qui porte sur les propositions mathématiques et celui qui porte sur les parties d’un ensemble {E}. Dans cette analogie, le « ou » correspond à l’union, le « et » à l’intersection, et la négation (le « non ») correspond au passage au complémentaire dans {E}.
Plus précisément, si {\mathcal{A}(x)} et {\mathcal{B}(x)} sont deux prédicats basés sur {E}, alors:

  • On a l’égalité {\{x\in E, \mathcal{A}(x)\}\cup\{x\in E, \mathcal{B}(x)\} = \{x \in E, \mathcal{A}(x)}\,ou\,{\mathcal{B}(x)\}}.
  • On a l’égalité {\{x\in E, \mathcal{A}(x)\}\cap\{x\in E, \mathcal{B}(x)\} = \{x \in E, \mathcal{A}(x)}\,et\,{\mathcal{B}(x)\}}.
  • Le complémentaire dans {E} de {\{x\in E,\mathcal{A}(x)\}} est {\{x \in E,\;}non{\,\mathcal{A}(x)\}}.

De cette remarque et des propriétés des opérations sur les propositions, on déduit les propriétés suivantes des opérations sur {\mathcal{P}(E)}. Ici {A}, {B}, {C} désignent trois parties quelconques d’un ensemble {E}.

  • Double passage au complémentaire: {\overline{\overline{A}}=A}.
  • Idempotence: {\begin{cases}A\cap A = A&\cr A\cup A = A&\end{cases}}
  • Commutativité: {\begin{cases}A\cap B=B\cap A&\cr A\cup B = B\cup A&\end{cases}}
  • Associativité: {\begin{cases}(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)&\cr (A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)&\end{cases}}
  • Distributivité: {\begin{cases}A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)&\cr A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)&\end{cases}}
  • Dualité: {\begin{cases}\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}&\cr\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}&\end{cases}}
  • Partie vide et partie pleine: {\begin{cases}A\cup\emptyset=A\qquad A\cap\emptyset=\emptyset\cr A\cap B=\emptyset\Leftrightarrow A\subset\overline{B}\end{cases}\qquad\begin{cases}A\cap E = A\qquad A\cup E = E\cr A\cup B=E\Leftrightarrow\overline{B}\subset A\end{cases}}

Proposition (propriétés de l'inclusion)
Soit {A}, {B}, {C} trois parties quelconques d’un ensemble {E}. Les équivalences suivantes sont vraies:

  • {A=B\Leftrightarrow(A\subset B)\;\text{et}\;(B\subset A)}
  • {A\subset B\Leftrightarrow\overline{B}\subset \overline{A}}
  • {(A\cup B)\subset C\Leftrightarrow(A\subset C)\;\text{et}\;(B\subset C)}
  • {A\subset(B\cap C)\Leftrightarrow(A\subset B)\;\text{et}\;(A\subset C)}


Démonstration
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Proposition (propriétés de la différence symétrique)
Pour toutes parties {A,B,C} d’un ensemble {E}, on a les égalités suivantes:
{\begin{array}{ll}A\Delta B=B\Delta A\quad A\Delta A=\emptyset,\quad A\Delta E = \overline{A},\quad A\Delta\emptyset = A\cr A\Delta(B\Delta C)=(A \Delta B)\Delta C,\quad A\cap(B\Delta C)=(A\cap B)\Delta(A\cap C)\end{array}}

Démonstration
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Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles

Définition (n-uplets et produit cartésien)
Soit {E_1,E_2,\ldots,E_n} {n} ensembles (non nécessairement distincts deux à deux), avec {n\ge2}.

  • Pour tout entier {k} (compris entre 1 et {n}), soit {x_k} un élément de l’ensemble {E_k}.
    {(x_1,x_2,\ldots,x_n)} est appelé un {n}-uplet de composantes {x_1,x_2,\ldots,x_n} (dans cet ordre).
  • On appelle produit cartésien de {E_1}, {E_2}, {\ldots}, {E_n}, et on note {E_1\times E_2\times\cdots\times E_n}, l’ensemble des {n}-uplets {(x_1,x_2,\ldots,x_n)}. Par exemple, {E\times F =\{(a,b),a\in E,b\in F\}}.


Remarques:

  • Un {n}-uplet est donc le moyen de regrouper {n} éléments dans un ordre bien défini.
  • On parle de couple si {n=2}, de triplet si {n=3}, de quadruplet si {n=4}, etc.
  • Si par exemple {E=\{a,b,c\}} et {F=\{x,y\}}, alors {E\times F=\{(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),c(,y)\}}.
    Plus généralement si {E} et {F} sont deux ensembles finis ayant respectivement {n} et {p} éléments, il est facile de se convaincre que l’ensemble {E\times F} est formé de {np} couples distintcs.
  • On ne confondra pas (par exemple) la paire {\{a,b\}} avec le couple {(a,b)}:

    • Si {a} et {b} sont différents, les couples {(a,b)} et {(b,a)} désignent en effet deux objets différents, alors que {\{a,b\}} et {\{b,a\}} désignent le même ensemble.
    • De même si {a=b}, l’ensemble {\{a,b\}} se réduit au singleton {\{a\}}, alors que {(a,a)} est toujours un couple (mais dont les deux composantes sont égales).
  • Si {E_1,E_2,\ldots,E_n} sont égaux à un même ensemble {E}, on note {E^n} plutôt que {E\times E\times\cdots\times E}.
  • Par définition, la diagonale de {E^2} est l’ensemble {\Delta=\{(x,x),x\in E\}}.

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