Injections, surjections, bijections

Plan du chapitre "Raisonner"

Applications injectives

Définition
Soit {f} une application de {E} dans {F}. On dit que {f} est une application injective (ou encore une injection) si tout élément {y} de {F} possède au plus un antécédent par {f}.

Remarques:

  • Une définition équivalente de l’injectivité de {f} est : {\forall\, (x,x')\in E^2, x\ne x'\Rightarrow f (x)\ne f (x')}.
    Autrement dit, une application est injective si elle « conserve les différences ».
  • Une autre définition équivalente (très utile) est : {\forall\, (x,x')\in E^2,\;f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'}

Proposition
Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal F}(F,G)}.

  • Si {f} et {g} sont injectives, alors {g\circ f} est injective.
  • Si {g\circ f} est injective, alors {f} est injective.

Démonstration
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Applications surjectives

Définition
Soit {f} une application de {E} dans {F}. On dit que {f} est surjective (ou encore est une surjection) si tout élément {y} de {F} possède au moins un antécédent par {f}, autrement dit si: {\forall\, y\in F,\exists\, x\in E, f(x)=y}.

Une définition équivalente de la surjectivité de {f:E\to F} est: {f(E)=F}.
On dit souvent que {f} est une surjection de {E} sur {F} (plutôt que dans {F}).

Proposition
Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal F}(F,G)}.

  • Si {f} et {g} sont surjectives, alors {g\circ f} est surjective.
  • Si {g\circ f} est surjective, alors {g} est surjective.

Démonstration
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Applications bijectives

Définition
Soit {f} une application de {E} dans {F}. On dit que {f} est une application bijective (ou encore une bijection) si {f} est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si tout élément {y} de l’ensemble {F} possède un antécédent {x} et un seul dans {E} : {\forall\, y\in F,\exists\,!\, x\in E,\;f(x)=y}.
Proposition
Soit {f} une bijection de l’ensemble {E} sur l’ensemble {F}.
On définit une application de {F} vers {E} en associant à tout {y} de {F} son seul antécédent {x}.
Cette application, notée {f^{-1}}, vérifie donc : {\forall\, x\in E,\,\forall\, y\in F,\;x=f^{-1}(y)\Leftrightarrow y=f(x)}.
On a alors les égalités : {f^{-1}\circ f = \text{Id}_E} , et {f\circ f^{-1}=\text{Id}_F}.
L’application {f^{-1}} est également bijective: on l’appelle la bijection réciproque de {f}.
On a enfin l’égalité {(f^{-1})^{-1} = f} : ainsi {f} est elle-même bijection réciproque de {f^{-1}}.

Remarque : on ne confondra pas l’application {f^{-1}} (bijection réciproque de {f}), de {F} vers {E}, avec l’application {f^{-1}} de {\mathcal{P}(F)} vers {\mathcal{P}(E)}, qui existe même quand {f} n’est pas bijective.

Proposition
Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)}. Pour montrer que l’application {f} est bijective, il suffit de trouver {g} dans {{\mathcal F}(F,E)} telle que: {g\circ f=\text{Id}_E}, et {f\circ g=\text{Id}_F}. On a alors {g=f^{-1}}.
Démonstration
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Proposition
Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal F}(F,G)}.
Si {f} et {g} sont bijectives, alors {g\circ f} est bijective, et {{(g\circ f )}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}.
Démonstration
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Définition
Soit {f} dans {\mathcal{F}(E)}. On dit que {f} est involutive si {f\circ f=\text{Id}_E}.
Cela équivaut à dire que {f} est bijective et que {f^{-1}=f}.

Exemples :

  • L’application {\text{Id}_E} est involutive.
  • Dans le plan, la symétrie par rapport à un plan (ou une droite) est involutive.
  • L’application {x\mapsto\dfrac1x} est une involution de {\mathbb{R}^*}.
  • L’application “passage au complémentaire” {A\mapsto\overline{A}} est une involution de {\mathcal{P}(E)}.
  • L’application {z\mapsto\bar{z}} est une involution de {\mathbb{C}}.

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