Applications

Plan du chapitre "Raisonner"

Applications entres ensembles non vides

Définition
Soient {E} et {F} deux ensembles non vides.
Une application (on dit aussi une fonction) {f} de {E} vers {F} est le moyen d’associer, à chaque élément {x} de {E}, un unique élément {y} de {F}. On note alors {y=f(x)}. On exprime l’égalité {y=f(x)} en disant que {y} est l’image de {x} par {f}, ou que {x} est un antécédent de {y} par {f}.
On dit que {E} est l’ensemble de départ et que {F} l’ensemble d’arrivée de {f}.

Définition
Soit {E} et {F} deux ensembles. On note {\mathcal{F}(E,F)}, ou encore {F^{E}} l’ensemble de toutes les applications de {E} vers {F}. Si les deux ensembles {E} et {F} sont égaux, on note plus simplement {\mathcal{F}(E)} (ou {E^{E}}).

Notations et remarques:

  • Une application {f} de {E} vers {F} est souvent notée {E\overset{f}{\longrightarrow}F}, où {f:\underset{x\mapsto y=f(x)}{E\longrightarrow F}}
  • Si {E} est fini, on peut représenter {f:E\to F} par la donnée de chacune des images par {f}.
    On définit par exemple une application {f} de {E=\{a,b,c,d,e\}} vers {F=\{t,u,v,w\}} par : {f(a)=t,\ f(b)=t,\ f(c)=v,\ f(d)=w,\ f(e)=w}Comme on le voit sur cet exemple, tout élément de {E} possède une image et une seule (c’est la définition même d’une application) mais un élément donné de {F} peut très bien :

    • ne posséder aucun antécédent (l’élément {u} n’en a pas)
    • ou posséder un seul antécédent (celui de {v} est {c})
    • ou en posséder plusieurs ({t} et {w} en ont chacun deux) ou une infinité (pas ici… !)
  • Deux applications {f} et {g} sont égales si:

    • elles ont le même ensemble de départ {E} et le même ensemble d’arrivée {F}.
    • pour tous {x} de {E}, on a {f(x)=g(x)}.

Définition (application Identité)
Soit {E} un ensemble. On définit l’application identité de {E}
dans {E}, notée {\text{Id}_E}, par: {\forall\, x \in E, \text{Id}_E(x) = x}.

Définition (applications constantes)
Une application {f} de {E} dans {F} est dite constante s’il existe un élément {\alpha} de {F}, tel que, pour tout {x} de {E}, {f(x)} soit égal à {\alpha}.

Famille indexée par un ensemble non vide

Définition (familles d'éléments d'un ensemble)
Soit {I} un ensemble non vide dont les éléments seront appelés indices. Soit {E} un ensemble.
Toute application {x} de {I} vers {E} est appelée une famille d’éléments de {E}, indicée par {I}.
On note {x_i} plutôt que {x(i)}, et on écrit {(x_i)_{i\in I}} cette famille d’éléments.
On note {E^I} l’ensemble des familles d’éléments de {E} indicées par {I}: c’est donc une autre manière de désigner l’ensemble {{\mathcal{F}}(I,E)}.

Remarques et notations:

  • La famille {(x_i)_{i\in I}} est dite finie ou infinie, selon que l’ensemble {I} est fini ou infini.
  • On ne confondra pas la famille {(x_i)_{i\in I}}, c’est-à-dire l’application {x}, avec l’ensemble {\{x_i, i\in I\}} c’est-à-dire l’ensemble image de cette application. En particulier, une famille infinie peut n’être constituée que d’un nombre fini d’éléments (et par exemple un seul si l’application {x} est constante{\,}!)
  • Si {I} est un intervalle d’entiers {[m,n]}, où {m\le n}, la famille est notée {(x_i)_{m\le i\le n}}.
  • Si les {x_i} sont dans {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, leur somme et produit sont notés {\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_i} et {\displaystyle\prod_{i=m}^{n}x_i}.
Définition (famille de parties d'un ensemble)
Toute application de {I} vers {\mathcal{P}(E)} est appelée une famille de parties de {E}, indicée par {I}. Une telle famille s’écrit par exemple {(E_i)_{i\in I}} (si on appelle {E_i} l’image de {i} par l’application).

Soit {(E_i)_{i\in I}} une famille de parties de l’ensemble {E}.
La réunion et l’intersection de cette famille sont les parties de {E} définies par:

  • {\displaystyle\bigcup_{i\in I}E_i=\{x\in E,\exists\, i\in I,x\in E_i\}}\quad
    (éléments de {E} appartenant à au moins un {E_i})
  • {\displaystyle\bigcap_{i\in I}E_i=\{x\in E,\forall\, i\in I,x\in E_i\}}\quad
    (éléments de {E} appartenant à tous les {E_i}).

Si {I} est un intervalle d’entiers {[m,n]}, avec {m\le n}, on notera plutôt {\displaystyle\bigcup_{i=m}^{n}E_i} et {\displaystyle\bigcap_{i=m}^{n}E_i}.

Définition (partitions d'un ensemble)
On dit qu’une famille {(E_i)_{i\in I}} de parties de {E} constitue une partition de {E} si :

  • Aucun des ensembles {E_i} n’est vide : {\forall\, i\in I, E_i\ne\emptyset}.
  • Les {E_i} sont disjoints deux à deux : {\forall\, (i,j)\in I^2}, avec {i\ne j}, {E_i\cap E_j=\emptyset}.
  • La réunion des ensembles {E_i} est égale à {E} tout entier : {\displaystyle\bigcup_{i\in I}E_i=E}.

Dans ces conditions, tout élément {x} de {E} appartient à un sous-ensemble {E_i} unique.

Fonction indicatrice d’une partie

Définition
Soit {A} une partie d’un ensemble {E}. On appelle fonction indicatrice (ou fonction caractéristique) de {A}, et on note {\,\chi_A}, la fonction définie sur {E} par: {\begin{cases}\chi_A(x)=1\text{\ si\ }x\in A\\\chi_A(x)=0\text{\ si\ }x\notin A\end{cases}}
  • Opérations sur les applications numériques:
    Soit {f}, {g} deux applications définies sur un ensemble {E}, à valeurs réelles.
    Soit {\alpha} un réel. On définit les applications {f+g}, {fg} et {\alpha f} de la manière suivante:

    • pour tout {x} de {E}, {(f+g)(x)=f(x)+g(x)}
    • pour tout {x} de {E}, {(fg)(x)=f(x)g(x)}
    • pour tout {x} de {E}, {(\alpha f)(x)=\alpha f(x)}

    Par abus de langage, on note encore {\alpha} l’application constante prenant la valeur {\alpha}.
    En particulier {\,\chi_E=1} et {\chi_\emptyset=0}.

  • Propriétés :
    L’application {\,\chi}, qui envoie {A} sur {\,\chi_A}, est une bijection de {\mathcal{P}(E)} sur {{\mathcal F}(E,\{0,1\})}.
    Toute application {f} de {E} vers {\{0,1\}} est en effet la fonction indicatrice d’une unique partie {A} de {E}, définie par: {A=\{x\in E,f(x)=1\}}. En particulier, deux parties {A} et {B} de {E} sont égales si et seulement si leurs fonctions indicatrices {\,\chi_A} et {\,\chi_B} sont identiques: c’est parfois un bon moyen de démontrer l’égalité entre deux parties d’un ensemble.

Proposition
Soit {A} et {B} deux parties de {E}. On a les égalités suivantes:
{\begin{array}{l}\chi_{\overline{A}}=1-\,\chi_A\qquad\chi_{A\cap B}=\,\chi_A\,\chi_B\cr\chi_{A\cup B}=\,\chi_A+\,\chi_B-\chi_A\,\chi_B\qquud\chi_{A\setminus B}=\,\chi_A(1-\,\chi_B)\end{array}}

Les parties {A} et {B} sont disjointes si et seulement si {\chi_{A\cup B}=\,\chi_A+\,\chi_B}.
Enfin, on a {\,\chi_{A\Delta B}=\,\chi_A+\,\chi_B-2\,\chi_A\,\chi_B=(\,\chi_A-\,\chi_B)^2=|\,\chi_A-\,\chi_B|}


Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Restriction et prolongement

Soit {f} une application d’un ensemble {E} vers un ensemble {F}. Il y a plusieurs moyens de créer de nouvelles applications en ne modifiant que l’ensemble de départ ou l’ensemble d’arrivée de {f}.

  • Extension de l’ensemble d’arrivée:
    Pour tout ensemble {F'} contenant {F}, on peut encore dire que {f} est une application de {E} vers {F'} (ce n’est pas vrai si {F'} est une partie de {F}, sauf si {F'} contient l’image de {f}, c’est-à-dire tous les éléments de {F} qui ont au moins un antécédent).
  • Restriction d’une application:
    Soit {E'} une partie de {E}. On définit une application {g}, de {E'} vers {F}, en posant: {\forall\, x\in E',g(x)=f(x)}. On dit que g est la restriction de {f} à {E'}.
  • Prolongements d’une application:
    Soit {E''} un ensemble contenant {E}. On dit qu’une application {h} de {E''} vers {F} est un prolongement de {f} si {f} est la restriction de {h} à {E}, c’est-à-dire si: {\forall\, x\in E, h(x) = f(x)}.

On notera qu’on parle de la restriction et d’un prolongement. Par exemple, si {f} est l’identité de {\mathbb{R}^+} dans lui-même, elle possède une infinité de prolongements à {\mathbb{R}} tout entier, parmi lesquels:

  • L’application identité de {\mathbb{R}}.
  • L’application “valeur absolue” de {\mathbb{R}} dans lui-même.
  • L’application {h} définie par: {h(x)=\frac12(x+|x|)}, et qui est identiquement nulle sur {\mathbb{R}^-}.

Image directe d’une partie par une application

Soit {E}, {F} deux ensembles, et {f} une application de {E} vers {F}.

Définition
Soit {A\subset E}. On appelle image de {A} par {f} le sous-ensemble {f(A)=\{f(a),a\in A\}} de {F}.
{f(A)} est donc l’ensemble des images par {f} des éléments de {A}.
On peut écrire: {y\in f(A)\Leftrightarrow\exists\, x\in A,\,f(x)=y}.

On définit ainsi une nouvelle application de {\mathcal{P}(E)} vers {\mathcal{P}(F)}: à toute partie de {E} on associe en effet une partie de {F}. Cette application est encore notée {f}. On ne confondra pas ces deux significations de {f}!
Cas particuliers et exemples:

  • L’image de l’ensemble vide par {f} est l’ensemble vide: {f(\emptyset)=\emptyset}.
    Pour tout {a} de {E}, {f(\{a\})=\{f(a)\}} (on a là les deux acceptations de {f}).
  • {f(E)} est l’ensemble de toutes les images par {f}. On dit que c’est l’ensemble image de {f}.
    Si on reprend un exemple vu précédemment : {f(\{a,b,c\})=\{t,v\}} et {f(\{d,e\})=\{w\}}.

Proposition
Soit {f} une application d’un ensemble {E} vers un ensemble {F}.
Soit {A} et {B} deux parties quelconques de {E}. On a

  • {A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)}
  • {f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}
  • {f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)}

En revanche, il n’y a pas de règle générale permettant de comparer {f(\overline{A})} et {\overline{f(A)}}.


Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Image réciproque d’une partie par une application

Définition
Soit {f} une application d’un ensemble {E} vers un ensemble {F}. Soit {B} une partie de {F}. L’image réciproque de {B} par {f}, notée {f^{-1}(B)}, est l’ensemble des éléments de {E} dont l’image est dans {B}. Autrement dit: {f^{-1}(B)=\{x\in E,f(x)\in B\}}. C’est la partie de {E} formée par les antécédents des éléments de {B}. On peut donc écrire: {x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B}.

Remarques:

  • On définit ainsi une application {f^{-1}} de {\mathcal{P}(F)} vers {\mathcal{P}(E)}: à toute partie de {F} on associe en effet une partie de {E}. Mais cette application ne doit pas être confondue (quand {f}
    est bijective) avec la bijection réciproque {f^{-1}} (voir plus loin).
  • Soit {f} une application d’un ensemble {E} vers un ensemble {F}. Alors on a:
    {f^{-1}(\emptyset)=\emptyset,\qquad f^{-1}(F)=E}

    {\forall\, b\in F,\;f^{-1}(\{b\})=\{x\in E,f(x)=b\}}

  • Si on reprend l’exemple donné en 1.3.1 :
    {f^{-1}(\{u\})=\emptyset,\qquad f^{-1}(\{v\})=\{c\}}

    {f^{-1}(\{w\})=\{d,e\},\qquad f^{-1}(\{t,w\})=\{a,b,d,e\}}.

Proposition
Soit {f} une application d’un ensemble {E} vers un ensemble {F}.
Pour deux parties quelconques {A} et {B} de {F}, on a les égalités:

  • {f^{-1}(A\cup B) = f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)}
  • {f^{-1}(\overline{A})=\overline{f^{-1} (A)}}
  • {f^{-1}(A\cap B) = f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)}

Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Composition d’applications

Définition
Soit {E}, {F}, {G} trois ensembles. Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal F}(F,G)}. La composée de {f} par {g}, notée {g\circ f} , est l’application de {E} vers {G}, définie par: {\forall\, x\in E, g\circ f(x)=g(f(x))}.

Proposition
Soit {E,F,G,H} quatre ensembles.
Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)}, {g} dans {{\mathcal F}(F,G)} et {h} dans {{\mathcal F}(G,H)}.
Alors on a l’égalité {h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f}.

Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Remarques et propriétés:

  • On exprime cette propriété (qui ne devra jamais être redémontrée) en disant que la loi de composition des applications est associative. De cette propriéte il découle qu’une composition répétée, comme {f_n\circ f_{n-1}\circ\cdots\circ f_2\circ f_1}, ne nécessite pas de parenthèses.
  • Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)}. Alors {\text{Id}_F\circ f=f} et {f\circ \text{Id}_E=f}.
  • Si {f} appartient à {\mathcal{F}(E)}, on pose par convention {f^0=\text{Id}_E}. On définit alors: {\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;f^n=f^{n-1}\circ f=f\circ f\circ\cdots\circ f\circ f} ({n} fois).
  • Soit {f} dans {\mathcal{F}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal F}(F,E)}.
    On peut donc former à la fois {g\circ f} (de {E} dans {E}) et {f\circ g} (de {F} dans {F}).
    Ces deux applications sont en général distinctes (notamment si {E\ne F} !).
  • Si {f} et {g} appartiennent à {\mathcal{F}(E)}, on dit que {f} et {g} commutent si {g\circ f=f\circ g}.
    On note que {\text{Id}_E} commute avec toute application de {E} dans {E}.
    De même, les “puissances” {f^n} d’une application {f} commutent entre elles (on vérifie en effet par une récurrence évidente sur l’entier naturel {n} qu’on a toujours l’égalité: {f^n\circ f^p=f^p\circ f^n=f^{n+p}})

Page précédente : parties d’un ensemble
Page suivante : injections, surjections, bijections