Opérations sur les développements limités

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

Pour simplifier, les résultats sont énoncés pour des développements limités à l’origine (et les fonctions considérées seront supposées définies sur un intervalle $I$ contenant $0$ ou adhérent à $0$), mais on peut facilement les adapter à des développements en un autre point.

Pour chaque méthode, on donne un exemple d’utilisation (qui utilise éventuellement certains des développements qui seront présentés un peu plus loin).

Utilisation de combinaisons linéaires

Proposition (combinaison linéaire de deux développements limités)
On suppose {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k+\text{o}(x^n)} et {g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nb_kx^k+\text{o}(x^n)}.
Pour tous scalaires {\alpha,\beta}, on a : {(\alpha f+\beta g)(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n(\alpha a_k+\beta b_k)x^k+\text{o}(x^n)}.

  • Exemple 1 :{\begin{array}{rl}\sin\Bigl(x+\dfrac\pi4\Bigr)&=\dfrac{\sqrt2}{2}\,(\sin(x)+\cos(x))\\\\&=\dfrac {\sqrt2}{2}\,\Bigl(1+x-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\text{o}(x^4)\Bigr)\end{array}}
  • Exemple 2 :
    {\begin{array}{rl}\dfrac12\,\ln\Bigl(\dfrac{1+x}{1-x}\Bigr)&=\dfrac12\,\bigl(\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr)\\\\&=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}+\text{o}(x^{2n+2})\end{array}}
  • Exemple 3 :
    On sait que {\text{e}^x=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}\dfrac{x^k}{k!}+\text{o}(x^{2n})\;} donc {\;\text{e}^{-x}=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\dfrac{x^k}{k!}+\text{o}(x^{2n})}.

    On en déduit : {\begin{cases}\text{ch}(x)=\dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}{2}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+\text{o}(x^{2n})\\\\\text{sh}(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\text{o}(x^{2n})\end{cases}}

Produit de deux développements limités

Proposition (produit de deux développements limités)
On suppose {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k+\text{o}(x^n)} et {g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nb_kx^k+\text{o}(x^n)}.
Alors {(fg)(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n c_kx^k+\text{o}(x^n)}, avec {c_k=\displaystyle\sum_{i+j=k}a_ib_j}.

  • Exemple 1 :
    On sait que {\text{e}^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\text{o}(x^4)}.

    De même : {\dfrac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\text{o}(x^4)}.

    On en déduit :{\dfrac{\text{e}^x}{1-x}=1+2x+\dfrac52\,x^2+\dfrac83\,x^3+\dfrac{65}{24}\,x^4+\text{o}(x^4)}

  • Exemple 2 :
    On sait que : {\dfrac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^{n}+\text{o}(x^{n})}.

    Par élévation au carré : {\dfrac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\cdots+(n+1)x^n+\text{o}(x^n)}

  • Utilisation des formes normalisées :

    Soit {f,g:I\to\mathbb{R}} deux fonctions admettant un DL en {0}.

    La forme normalisée de ces DL aide à comprendre l’ordre du développement produit.

    Supposons {\begin{cases}f(x)=x^{p}\big(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\text{o}(x^{n})\big)\cr g(x)=x^{q}\big(b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m}x^{m}+\text{o}(x^{m})\big)\end{cases}} ({a_{0},b_{0}} non nuls). Ainsi:

    {\begin{array}{rl}f(x)g(x)=x^{p+q}&\big(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\text{o}(x^{n})\big)\\&\big(b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m}x^{m}+\text{o}(x^{m})\big)\end{array}}

    Les deux DL entre parenthèses doivent être tronqués à l’ordre minimum (supposons par exemple {n\lt m}). On obtient alors le développement limité de {fg} en {0} :

    {\begin{array}{rl}f(x)g(x)&=x^{p+q}\big(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+\text{o}(x^{n})\big)\big(b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n}+\text{o}(x^{n})\big)\\\\&=x^{p+q}\big(c_{0}+c_{1}x+\cdots+c_{n}x^{n}+\text{o}(x^{n})\big)\text{\ où\ }c_k=\displaystyle\sum_{i+j=k}a_ib_j\end{array}}

    Par exemple, pour calculer le DL de {(1-\cos(x))(\sin(x)-x)} en {0} à l’ordre {8} :

    D’une part : {1-\cos(x)=\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^4}{4!}+\text{o}(x^5)=x^{2}\Bigl(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}+\text{o}(x^3)\Bigr)}.

    D’autre part : {\sin(x)-x=-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\text{o}(x^6)=x^{3}\Bigl(-\dfrac{1}{6}+\dfrac{x^2}{120}+\text{o}(x^3)\Bigr) }.

    Ainsi :
    {\begin{array}{rl}(1-\cos(x))(\sin(x)-x)&=x^{5}\Bigl(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}+\text{o}(x^3)\Bigr)\Bigl(-\dfrac{1}{6}+\dfrac{x^2}{120}+\text{o}(x^3)\Bigr)\\\\&=x^{5}\Bigl(-\dfrac{1}{12}+\dfrac{x^2}{90}+\text{o}(x^3)\Bigr)\end{array}}

Composition de deux DL

Proposition (composition de deux développements limités)
On suppose {f(x)=P(x)+\text{o}(x^n)}, avec {P(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^na_kx^k}.
De même, soit {g(y)=Q(y)+\text{o}(y^n)}, avec {Q(y)=\displaystyle\sum_{k=0}^nb_ky^k}.
Ici {P(0)=a_{0}=0}, donc {\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0}, donc on peut considérer {g\circ f} quand {x\to0}.
Dans ces conditions, la fonction {g\circ f} admet un DL d’ordre {n} en {0}, dont la partie régulière s’obtient en conservant les termes de degrés inférieurs ou égaux à {n} dans {Q(y)} quand on a posé {y=P(x)}.

Dans la pratique, on pose {g(y)=\displaystyle\sum_{k=0}^nb_ky^k+\text{o}(y^n)} et on remplace {y} par le DL de {f(x)}.

On calcule de proche en proche les DL des puissances successives {y^k=f(x)^k}, en ne gardant à chaque étape que les puissances {x^m} avec {m\le n}.

Exemple :

Supposons {f(x)=x-x^2+2x^3+x^4+\text{o}(x^4)} et {g(y)=1+y+3y^2-y^3-y^4+\text{o}(y^4)}.

Posons {y=f(x)=x-x^2+2x^3+x^4+\text{o}(x^4)}.

On trouve {y^2=x^2-2x^3+5x^4+\text{o}(x^4)}, puis {y^3=x^3-3x^4+\text{o}(x^4)} et {y^4=x^4+\text{o}(x^4)}.

On en déduit le développement limité de {g\circ f} à l’ordre {4} à l’origine : {\begin{array}{rl}(g\circ f)(x)&=1+y+3y^2-y^3-y^4+\text{o}(y^4)\\\\&=1+x+2x^2-5x^3+18x^4+\text{o}(x^4)\end{array}}

Les calculs précédents peuvent prendre place dans un tableau comme indiqué ci-dessous.
C’est très indiqué quand aucun des deux DL à composer n’est pair ou impair :
{\begin{array}{c|rrrr|r|}&&&&&\text{coeff}\cr y&x&-x^2&2x^3&x^4&1\cr y^2&&x^2&-2x^3&5x^4&3\cr y^3&&&x^3&-3x^4&-1\cr y^4&&&&x^4&-1\cr&x&2x^2&-5x^3&18x^4\end{array}}

Une remarque importante

La forme “triangulaire supérieure” du tableau précédent est plus que normale!
Elle traduit le fait que {y=f(x)} est un infiniment petit quand {x} tend vers {0}, c’est-à-dire {\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0}.
Cette condition est indispensable pour que la composition du DL de {f} par celui de {g} soit possible.

Inverse d’un développement limité

Proposition (inverse d'un développement limité)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} admettant un DL d’ordre {n} en {0} : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k+\text{o}(x^n)}, avec {a_{0}\ne0}.
Dans ces conditions la fonction {x\mapsto\dfrac1{f(x)}} possède un DL d’ordre {n} en {0}.

Pour cela on écrit {\dfrac1{f(x)}=\dfrac{1}{a_0(1+g(x))}}{g(x)=\dfrac{1}{a_0}\,\Bigl(a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\text{o}(x^n)\Bigr)}.
On compose ensuite le développement de {g(x)} par celui de la fonction {y\mapsto\dfrac1{1+y}}.

Exemple :

On veut calculer le développement limité de {x\mapsto\dfrac1{\cos(x)}} à l’origine, à l’ordre {7}.

On sait que {\cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\text{o}(x^7)=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^6}{720}+\text{o}(x^7)}.

On pose donc {\dfrac1{\cos(x)}=\dfrac1{1+g(x)}}, avec {g(x)=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^6}{720}+\text{o}(x^7)}.

On injecte ensuite {y=g(x)} dans {\dfrac1{1+y}=1-y+y^2-y^3+\text{O}(y^4)}.

On trouve {y^2=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^6}{24}+\text{o}(x^7)}, {y^3=-\dfrac{x^6}8+\text{o}(x^7)}.

Finalement {\dfrac1{\cos(x)}=1+\dfrac{x^2}2+\dfrac{5x^4}{24}+\dfrac{61x^6}{720}+\text{o}(x^7)}.

Quotient de deux développements limités

Proposition
Soit {f,g:I\to\mathbb{R}} telles que {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k+\text{o}(x^n)}et {g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nb_kx^k+\text{o}(x^n)}, avec {b_0\ne0}.
On suppose donc que {g} ne tend vers {0} à l’origine. Alors {\dfrac{f}{g}} admet un DL en {0} à l’ordre {n}.
Ce développement est obtenu en effectuant le produit de celui de {f} par celui de {\dfrac1g}.

Exemple :

On peut obtenir le développement limité de {\tan(x)} en {0} par quotient.

On a {\sin(x)=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\text{o}(x^8)}.

On a vu précédemment que {\dfrac1{\cos(x)}=1+\dfrac{x^2}2+\dfrac{5x^4}{24}+\dfrac{61x^6}{720}+\text{o}(x^7)}. Ainsi : {\begin{array}{rl}\tan(x)&=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\\\\&=x\Bigl(1-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{x^4}{120}-\dfrac{x^6}{5040}+\text{o}(x^7)\Bigr)\Bigl(1+\dfrac{x^2}2+\dfrac{5x^4}{24}+\dfrac{61x^6}{720}+\text{o}(x^7)\Bigr)\\\\&=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+\dfrac{17x^7}{315}+\text{o}(x^8)\end{array}}

Primitivation d’un DL

Proposition (primitation d'un développement limité)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} admettant un DL d’ordre {n} en {0} : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k+\text{o}(x^n)}.
Soit {F} une primitive de {f} sur l’intervalle {I} (donc une fonction dérivable telle que {F'=f}).
Alors {F} possède en {0} un DL d’ordre {n+1} obtenu par intégration terme à terme de celui de {f}.
Plus précisément : {F(x)=F(0)+\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{a_k}{k+1}\,x^{k+1}+\text{o}(x^{n+1})}(ne pas oublier {F(0)}…)

  • Exemple 1 :

    Si {f(x)=\ln(\cos(x))}, alors {f'(x)=-\tan(x)=-x-\dfrac{x^3}3-\dfrac{2x^5}{15}+\text{o}(x^6)}.

    On en déduit {f(x)=-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{12}-\dfrac{x^6}{45}+\text{o}(x^7)}.

  • Exemple 2 :

    Si {f(x)=\arctan\Bigl(\dfrac{x+2}{1-2x}\Bigr)}, alors {f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\text{o}(x^7)}.

    On en déduit {f(x)=\arctan(2)+x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}5-\dfrac{x^7}7+\text{o}(x^8)}.

Dérivation d’un DL

Proposition (dérivation d'un développement limité)
Soit {f} une fonction de classe {\mathcal{C}^{\infty}} au voisinage de {0}. Alors le développement limité de {f'} en {0} à l’ordre {n} s’obtient en dérivant terme à terme le développement limité de {f} en {0} à l’ordre {n+1} (ces deux DL résultent de la formule de Taylor-Young).

Exemple :

On sait que {\dfrac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^{n}+\text{o}(x^{n})}.

Par dérivation, on en déduit : {\dfrac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3\cdots+(n+1)x^n+\text{o}(x^n)}.

Après une nouvelle dérivation, on obtient : {\dfrac{1}{(1-x)^3}=1+3x+6x^2+\cdots+\dfrac{(n+2)(n+1)}{2}x^n+\text{o}(x^n)}

Pratique des compositions de DL

Quand on doit calculer le développement limité, à un ordre déterminé, d’une fonction {f} qui s’exprime elle-même à partir d’autres fonctions {g,h,\ldots} il faut prendre le temps de comprendre à quel ordre les développement de {g,h,\ldots} doivent être calculés.

Il y a en effet deux risques : partir avec des développements “trop longs” et donc faire des calculs inutiles, ou au contraire partir avec des développements “trop courts” ce qui oblige à tout recommencer.

  • Exemple 1 :
    On demande le DL de {f(x)=\ln(1+x-\arctan(x))} en {0} à l’ordre {6}.

    Il est clair qu’il faut composer le DL de {g(x)=x-\arctan(x)} par celui de {\ln(1+y)}.

    D’une part, {g(x)=x-\arctan(x)=\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^5}{5}+\text{o}(x^6)}
    (on pousse le DL à l’ordre {6} : pourquoi?)

    D’autre part, {\ln(1+y)=y-\dfrac{y^2}2+\text{O}(y^3)}
    (ici un DL en {\text{O}(y^{3})} suffit : pourquoi?).

    On trouve {y^2=\dfrac{x^6}{18}+\text{o}(x^6)} puis finalement : {\ln(1+x-\arctan(x))=\dfrac {x^3}3-\dfrac{x^5}5-\dfrac{x^6}{18}+\text{o}(x^6)}

  • Exemple 2 :

    On demande le DL en {0} de {f(x)=\dfrac1x\,\ln(\cos(\sqrt x))} à l’ordre {2}.

    On écrit {\cos(x)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\text{O}(x^8)}.

    On en déduit {\cos(\sqrt x)=1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{24}-\dfrac{x^3}{720}+\text{o}(x^3)}.

    On pose {y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{24}-\dfrac{x^3}{720}+\text{o}(x^3)} dans {\ln(1+y)=y-\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{y^3}{3}+\text{o}(y^3)}.

    Après calcul : {\ln(\cos(\sqrt x))=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{x^3}{45}+\text{o}(x^3)}. Finalement : {\dfrac1x\,\ln(\cos(\sqrt x))=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{12}-\dfrac{x^2}{45}+\text{o}(x^2)}

    On remarque que pour obtenir un développement limité à l’ordre {2}, il a fallu partir du développement de {x\mapsto\cos(x)} à l’ordre {6} (cet exemple est instructif).

Cas particuliers de composition

Quand on veut calculer le DL de {g\circ f(x)} en {0} en composant les développements de {y=f(x)} et de {g(y)} à l’origine, il faut veiller à ce que {y=f(x)} soit bien un infiniment petit lorsque {x} tend vers {0}, afin que la substitution de {y} par {f(x)} soit justifiée dans le développement de {g(y)}.

Si ce n’est pas le cas, on peut parfois s’y ramener, comme dans les exemples suivants :

  • Composition par une exponentielle :

    Soit {g(x)=\exp(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots)=\exp(a_0)\,\exp(a_1x+a_2x^2+\cdots)}.

    On pose {y=a_1x+a_2x^2+\cdots} et on utilise {\exp(y)=1+y+\dfrac{y^2}{2!}+\cdots}

  • Composition par un logarithme :

    Soit {g(x)=\ln(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots)=\ln(a_0)+\ln\Bigl(1+\dfrac{a_1}{a_0}\,x+\dfrac{a_2}{a_0}\,x^2+\cdots\Bigr)}.

    On pose {y=\dfrac{a_1}{a_0}\,x+\dfrac{a_2}{a_0}\,x^2+\cdots} et on utilise {\ln(1+y)=y-\dfrac{y^2}{2}+\cdots}

  • Composition par une puissance :

    Soit {g(x)=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots)^\alpha=a_0^\alpha\,\Bigl(1+\dfrac{a_1}{a_0}\,x+\dfrac{a_2}{a_0}\,x^2+\cdots\Bigr)^\alpha}.

    On pose {y=\dfrac{a_1}{a_0}\,x+\dfrac{a_2}{a_0}\,x^2+\cdots} et on utilise {(1+y)^\alpha=1+\alpha y+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}\,y^2+\cdots}

Remarque sur le développement de {(1+x)^{\alpha}}

On a {(1+x)^\alpha=1+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\text{o}(x^n)}, où {a_k=\dfrac{\alpha(\alpha\!-\!1)\cdots(\alpha\!-\!k\!+\!1)}{k!}.}

On remarque la relation {a_{k+1}=a_{k}\dfrac{\alpha-k}{k+1}}, qui permet de calculer les {a_{k}} de proche en proche.

Si on doit former le DL de {(1+x)^\alpha} avec une valeur particulière de {\alpha}, et plutôt que d’utiliser la formule donnant {a_k}, il est préférable d’exploiter cette récurrence dans un tableau comme indiqué ci-dessous :
{\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|}\text{multiplicateur}&1&\alpha&(\alpha-1)\dfrac12&(\alpha-2)\dfrac13&(\alpha-3)\dfrac14&(\alpha-4)\dfrac15\phantom{\biggl(}\cr\text{coefficient}&a_0=1&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\phantom{\biggl(}\end{array}}

Par exemple, pour développer {f(x)=\sqrt{1+x}} : {\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|}\text{multiplicateur}&1&\dfrac12&-\dfrac{1}2\times\dfrac12&-\dfrac{3}2\times\dfrac13&-\dfrac{5}2\times\dfrac14&-\dfrac{7}2\times\dfrac15\phantom{\biggl(}\cr \text{coefficient}&a_0=1&a_1=\dfrac12&a_2=\dfrac{-1}{8}&a_3=\dfrac{1}{16}&a_4=\dfrac{-5}{128}&=a_5=\dfrac{7}{256}\phantom{\biggl(}\end{array}}

On en déduit : {\sqrt{1+x}=1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{x^3}{16}-\dfrac{5x^4}{128}+\dfrac{7x^5}{256}+\text{o}(x^5)}

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