Développements limités

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

DL, unicité des coefficients, troncature

Définition (développement limité d'ordre n en un point)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, et soit {x_0} un élément ou un extrémité de {I}. Soit {n\in\mathbb{N}}.
On dit que {f} admet un développement limité (en abrégé un DL) à l’ordre {n} en {x_0} s’il existe des réels {a_0,a_1,\ldots,a_n} et une fonction {x\mapsto \varepsilon(x)} tels que, pour tout {x} de {I} : {\begin{array}{l}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+(x-x_0)^n\varepsilon(x)\\[9pts]\text{\ avec\ }\displaystyle\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\end{array}}

Utilisation des notations “{\text{o}}” ou « {\text{O}} »

Avec les notations de Landau, on écrira plutôt {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.

Il arrive qu’on utilise les notations {\text{O}}” de Landau dans un développement limité.
Par exemple, si {f(x)=1+2x^2+x^3-x^4+\text{o}(x^4)}, alors {f(x)=1+2x^2+x^3+\text{O}(x^4)}.
Cette dernière écriture contient un peu plus d’informations que {f(x)=1+2x^2+x^3+\text{o}(x^3)}.

Troncature d’un développement limité

Supposons que {f} admette un DL d’ordre {n} en {x_0}. Soit {p} un entier naturel, avec {p\le n}.
Alors {f} admet un DL d’ordre {p} en {x_0}, obtenu par troncature. Plus précisément : {\begin{array}{l}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)\\[9pts]\Rightarrow f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^pa_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^p)\end{array}}Par exemple, si {f(x)=1-x+2x^3+x^4+\text{o}(x^4)}, alors {f(x)=1-x+2x^3+\text{o}(x^3)}.

Proposition (unicité du développement limité)
Soit {f} admettant un DL d’ordre {n} en {x_0} : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.
Alors les coefficients {a_0,a_1,\ldots,a_n} sont définis de façon unique.
Le polynôme {P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k} est appelé partie régulière du développement limité.

Importance des développements à l’origine

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, et soit {x_0} un réel élément ou extrémité de {I}.

Considérons la fonction {g} définie (au voisinage de {h=0}) par {g(h)=f(x_{0}+h)}.
Alors {f} possède un DL d’ordre {n} en {x_0} si et seulement si {g} possède un DL d’ordre {n} en {0}.

Plus précisément, on a l’équivalence (pour {f} le DL est en {x=x_{0}}, et pour {g} il est en {h=0}) : {\begin{array}{l}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)\\[9pts]\quad\Leftrightarrow g(h)=f(x_{0}+h)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kh^k+\text{o}(h^n)\end{array}}

Forme normalisée d’un développement limité

Soit {f} une fonction à valeurs réelles, admettant un DL d’ordre {n} en {x_{0}} : {\begin{array}{l}f(x)&=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}\\[9pts]&\quad+\cdots+a_{n}(x-x_{0})^{n}+\text{o}((x-x_{0})^{n})\end{array}}On sait que ce développement peut aussi s’écrire (en posant {x=x_{0}+h}) : {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+\cdots+a_{n}h^{n}+\text{o}(h^{n})}

Sous cette forme, on note {p} le plus petit indice tel que {a_{p}} soit non nul.

On obtient : {f(x_{0}\!+\!h)\!=\!h^{p}(a_{p}\!+\!a_{p+1}h\!+\!\cdots\!+\!a_{n}h^{n-p}\!+\!\text{o}(h^{n-p}))}Cette écriture est appelée forme normalisée du développement limité de {f} en {x_{0}}.

Avec cette écriture ({a_{p}} étant non nul), on trouve {f(x_{0}+h)\stackrel{h\to0}{\sim}a_{p}h^{p}}.

Cet équivalent donne le signe de {f} au voisinage de {x=x_{0}} :

  • Si {p} est pair, alors {f(x)} garde le signe de {a_{p}} au voisinage de {x_{0}}.
  • Si {p} est impair, alors {f(x)} change de signe en {x_{0}}.
    Plus précisément, {f(x)} est du signe contraire de {a_{p}} si {x\lt x_{0}}, puis du signe de {a_{p}} si {x>x_{0}}.

Développement limité en {0} et parité

Soit {f} une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport à {0}.
On suppose que {f} admet un développement limité d’ordre {n} à l’origine : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kx^k+\text{o}(x^n)}.
Le changement de {x} en {-x} donne alors le DL : {f(-x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^{k}a_kx^k+\text{o}(x^n)}.

  • Si {f} est paire, la partie régulière de son DL en {0} est un polynôme pair.
    Autrement dit les coefficients d’indice impair {a_{2k+1}} sont nuls.
    Le développement limité de {f} se réduit donc à : {f(x)=a_0+a_2x^2+\cdots+a_{2k}x^{2k}+\cdots}
  • Si {f} est impaire, la partie régulière de son DL en {0} est un polynôme impair.
    Autrement dit les coefficients d’indice pair {a_{2k}} sont nuls.
    Le développement limité de {f} se réduit donc à : {f(x)=a_1x+a_3x^3+\cdots+a_{2k+1}x^{2k+1}+\cdots}

Si on forme le DL d’une fonction dont on sait qu’elle paire ou impaire, il pourra être utile d’utiliser la notation « {\text{O}} » pour améliorer à peu de frais la précision du développement.

  • Supposons par exemple que {f} soit paire. Le développement {f(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+\text{O}(x^6)} est plus précis que {f(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+\text{o}(x^5)}, lui-même plus précis que {f(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+\text{o}(x^4)}.
  • De même, si {f} est impaire, le développement {f(x)=a_1x\!+\!a_3x^3\!+\!a_5x^5\!+\!\text{O}(x^7)} est plus précis que {f(x)=a_1x\!+\!a_3x^3\!+\!a_5x^5\!+\!\text{o}(x^6)}, lui-même plus précis que {f(x)=a_1x\!+\!a_3x^3\!+\!a_5x^5\!+\!\text{o}(x^5)}

Développements limités et dérivabilité

Développement limité d’ordre {0} et continuité, DL et dérivabilité

Un DL de {f} d’ordre {0} en {x_{0}} s’écrit {f(x)=a_0+\text{o}(1)}, où {\text{o}(1)} est une fonction tendant vers {0} en {x_{0}}.
Dire que {f} a un tel DL en {x_0}, c’est dire que {f} est continue (ou prolongeable par continuité) en {x_0}.
Après prolongement éventuel, ce développement s’écrit : {f(x)=f(x_0)+\text{o}(1)}.

Développement limité d’ordre {1} et dérivabilité

Un DL de {f} d’ordre {1} en {x_{0}} s’écrit {f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\text{o}(x-x_0)}.
Dire que {f} admet un tel DL en {x_0}, c’est dire que {f} est dérivable (après prolongement éventuel en {x_0}).
Après un tel prolongement, ce DL s’écrit {f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\text{o}(x-x_0)}.

Développement limité d’ordre {n\ge2} et dérivabilité

Attention! l’existence d’un DL d’ordre {\ge2} en {x_0} n’implique pas que {f} soit deux fois dérivable en {x_0}.

Un contre-exemple est donné par {f(x)= x^3\sin(1/x)} en {0}.
En effet, on a {f(x)= x^2\bigl(x\sin(1/x)\bigr)} et {\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin(1/x)=0}, donc {f(x)=\text{o}(x^{2})}.
On a donc un DL d’ordre {2} à l’origine : {f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\text{o}(x^{2})}, avec {a_{0}=a_{1}=a_{2}=0}.
Par troncature à l’ordre {1}, on voit que {f} est dérivable en {0}, avec {f(0)=f'(0)=0}.

Mais {f} n’est pas deux fois dérivable en {0}.
En effet {f'(x)=3x^{2}\sin\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)+x\cos\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)}, et {\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x}} n’a pas de limite en {0}.

Obtention d’un DL par la formule de Taylor-Young

Proposition (DL obtenu par la formule de Taylor-Young)
Si {f} est de classe {\mathcal{C}^{n}} de {I} dans {\mathbb{R}}, et si {x_0} appartient à {I}, alors {f} possède un DL d’ordre {n} en {x_0}.
Ce développement est obtenu par la formule de Taylor-Young :{\begin{array}{l}f(x)\!=\!f(x_0)\!+\!f'(x_0)(x\!-\!x_0)\!+\!\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x\!-\!x_0)^2\\[9pts]\quad\!+\!\cdots\!+\!\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x\!-\!x_0)^n\!+\!\text{o}((x-x_0)^n)\end{array}}

En particulier, si {f} est de classe {\mathcal{C}^{n}} au voisinage de {0}, on a le développement : {f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\text{o}(x^n)}

Développements limités usuels

Tous les développements ci-dessous sont valables à l’origine, et peuvent être obtenus par la formule de Taylor-Young (ou par d’autres méthodes qui seront exposées plus loin).

{\begin{array}{l}\boxed{\text{e}^x}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}+\text{o}(x^n)\\\\\boxed{\sin(x)}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\text{o}(x^{2n+2})\\\\\boxed{\cos(x)}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+\text{o}(x^{2n+1})\\\\\boxed{\text{sh}(x)}=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^7}{7!}+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\text{o}(x^{2n+2})\\\\\boxed{\text{ch}(x)}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^6}{6!}+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+\text{o}(x^{2n+1})\\\\\boxed{\tan(x)}=x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{2x^5}{15}+\text{o}(x^6)\\\\\boxed{\text{th}(x)}=x-\dfrac{x^3}3+\dfrac{2x^5}{15}+\text{o}(x^6)\\\\\boxed{\dfrac1{1+x}}=1-x+x^2-x^3+x^4+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kx^k+\text{o}(x^n)\\\\\boxed{\dfrac1{1-x}}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=0}^n x^k+\text{o}(x^n)\\\\\boxed{(1+x)^\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}\,x^2+\cdots\\[9pts]\qquad\quad+\dfrac {\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n+\text{o}(x^n)\\\\\boxed{\ln(1+x)}=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dfrac{x^k}k+\text{o}(x^n)\\\\\boxed{\ln(1-x)}=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots\\[9pts]\qquad=-\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{x^k}k+\text{o}(x^n)\\\\\boxed{\arctan(x)}=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots\\[9pts]\qquad=\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}+\text{o}(x^{2n+2})\\\\\boxed{\arcsin(x)}=x+\dfrac12\,\dfrac{x^3}3+\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}\,\dfrac{x^5}{5}+\cdots\\\\\boxed{\arccos(x)}=\dfrac\pi2-\arcsin(x)=\cdots\end{array}}

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