Comparaison des suites

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

Rappels de quelques limites usuelles

Avant toute chose, on rappelle quelques limites classiques (à connaître parc coeur!)

Logarithme, exponentielle, puissances : croissances comparées

Les limites qui suivent constituent une échelle de comparaison entre fonctions puissances, fonction exponentielle, et fonction logarithme.

Pour tous réels strictement positifs {\alpha,\beta,\delta}, on a : {\begin{array}{cc}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left|x\right|^\alpha\text{e}^{\delta x}=0\quad&\quad\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{\delta x}}{x^\alpha}=+\infty\\\\\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^\alpha\left|{\ln(x)}\right|^\beta=0\quad&\quad\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln^\beta(x)}{x^\alpha}=0\end{array}}

Dérivées usuelles à l’origine

Par ailleurs, soit {f} une fonction définie et dérivable en {0}.

Par définition de la dérivée en {0}, on a : {\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)}. En particulier : {\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\text{e}^{x}-1}{x}=1,\quad\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1,\quad\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}=\alpha\end{array}}
Une simple translation de la variable permet d’écrire : {\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1,\qquad\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{m}-1}{x-1}=m}
Dans de nombreux cas usuels, on a {f(0)=0} et {f'(0)=1} (ce qui traduit le fait que la première bissectrice {y=x} est la tangente au point {(0,0)} de la courbe représentative).

On a alors {\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=1}. Dans cette catégorie, on trouve :
{\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\,\text{sh}(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\,\text{th}(x)}{x}=1}
Voici deux limites utiles (et attention au signe!) :
{\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\cos(x)-1}{x^{2}}=-\dfrac{1}{2},\quad\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\,\text{ch}(x)-1}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}}
Les limites précédentes doivent être connues par coeur !

Domination, négligeabilité, équivalence

Dans toute cette partie, on considère des suites à valeurs réelles ou complexes.

Quand on compare une suite {(u_{n})} à une suite {(v_{n})}, on suppose {v_{n}\ne0} pour “{n} assez grand”.

Cette hypothèse (qui sera toujours sous-entendue) permet d’évoquer {\lim\dfrac{u_{n}}{v_{n}}}.

Les comparaisons de suites sont toujours effectuées « quand {n} tend vers {+\infty} ».

Définition (suite dominée par une autre)
Soit {(u_{n})} et {(v_{n})} deux suites à valeurs réelles ou complexes.
On dit que la suite {(u_{n})} est dominée par la suite {(v_{n})} si la suite de terme général {\dfrac{u_{n}}{v_{n}}} est bornée.
On note alors {u_{n}=\text{O}(v_{n})}, et on prononce : “{u_{n}} est un grand O de {v_{n}}“.

Remarques

Dire que {u_{n}=\text{O}(v_{n})}, c’est dire qu’il existe {M} dans {\mathbb{R}^{+}} et {n_{0}} dans {\mathbb{N}} tels que {\left|u_{n}\right|\le M\left|v_{n}\right|} pour {n\ge n_{0}}.

Si {0\lt m\le\left|{\dfrac{u_{n}}{v_{n}}}\right|\le M} pour {n} assez grand, chacune des deux suites {(u_{n})} et {(v_{n})} est dominée par l’autre.

Il est clair que si {u_{n}=\text{O}(v_{n})} et {v_{n}=\text{O}(w_{n})}, alors {u_{n}=\text{O}(w_{n})} (transitivité de la domination).

Définition (suite négligeable devant une autre)
Soit {(u_{n})} et {(v_{n})} deux suites à valeurs réelles ou complexes.
On dit que la suite {(u_{n})} est négligeable devant la suite {(v_{n})} si {\displaystyle\lim\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=0}.
On note alors {u_{n}=\text{o}(v_{n})} (et on prononce : {u_{n}} est un “petit o” de {v_{n}}).

Remarques

Dire que {u_{n}=\text{o}(v_{n})}, c’est dire que : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\, n_{0}\in\mathbb{N},\;\forall\, n\ge n_{0},\;\left|u_{n}\right|\le\varepsilon\left|v_{n}\right|}.

Il est manifeste que si {u_{n}=\text{o}(v_{n})}, alors {u_{n}=\text{O}(v_{n})}, mais la réciproque est fausse.

Il est clair que si {\begin{cases}u_{n}=\text{O}(v_{n})\\v_{n}=\text{o}(w_{n})\end{cases}\;\text{ou}\;\ \begin{cases}u_{n}=\text{o}(v_{n})\\v_{n}=\text{O}(w_{n})\end{cases}\;\text{ou}\;\ \begin{cases}u_{n}=\text{o}(v_{n})\\v_{n}=\text{o}(w_{n})\end{cases}} alors {u_{n}=\text{o}(w_{n})}

Définition (suite équivalente à une autre)
Soit {(u_{n})} et {(v_{n})} deux suites à valeurs réelles ou complexes.
On dit que la suite {(u_{n})} est équivalente à la suite {(v_{n})} si {\displaystyle\lim\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=1}. On note alors {u_{n}\sim v_{n}}.

Remarques

  • Rappelons qu’on considère ici des suites réelles ou complexes dont le terme général est non nul au voisinage de {+\infty} (c’est-à-dire au-delà d’un certain entier {n_{0}}).
    Sur l’ensemble de ces suites, la relation {u_{n}\sim v_{n}} est une relation d’équivalence.
    Pour toutes suites {(u_{n})}, {(v_{n})} et {(w_{n})}, on a en effet les propriétés suivantes : {\begin{array}{c}u_{n}\sim u_{n}\text{\ (réflexivité)}\qquad u_{n}\sim v_{n}\Leftrightarrow v_{n}\sim u_{n}\text{\ (symétrie)}\\\\\begin{cases}u_{n}\sim v_{n}\\v_{n}\sim w_{n}\end{cases}\Rightarrow u_{n}\sim w_{n}\text{\ (transitivité)}\end{array}}
  • La symétrie de la relation {\sim} permet de parler de suites équivalentes (sans préciser dans quel ordre).
  • Si {\lambda} est un scalaire non nul, on a : {u_{n}\sim \lambda\Leftrightarrow\lim u_{n}=\lambda}.
    Attention!!! on n’écrira jamais {u_{n}\sim 0} (car ça n’a aucun sens).
Proposition
Soit {(u_{n})} et {(v_{n})} deux suites à valeurs réelles ou complexes.
Alors il revient au même de dire {u_{n}\sim v_{n}} ou {u_{n}-v_{n}=\text{o}(v_{n})}.

Utilisation des notations de Landau

Les notations {\text{o}} et {\text{O}}, dans {u_{n}=\text{o}(v_{n})} et {u_{n}=\text{O}(v_{n})} sont les “notations de Landau”. Elles renseignent sur l’ordre de grandeur du terme général d’une suite (quand c’est la seule information importante).

Plutôt que des égalités, les propositions {u_{n}=\text{o}(v_{n})} (ou {u_{n}=\text{O}(v_{n})}) doivent être interprétées comme l’appartenance de {(u_{n})} à la catégorie de suites qui sont négligeables devant (ou dominées par) la suite {(v_{n})}.

Dans les écritures {u_{n}=\text{o}(v_{n})} et {u_{n}=\text{O}(v_{n})}, la suite {(v_{n})} est le plus souvent une suite de référence.

Par exemple :

  • écrire {u_{n}=\text{O}(1)}, c’est dire que la suite {(u_{n})} est bornée.
  • écrire {u_{n}=\text{o}(1)}, c’est dire que la suite {(u_{n})} converge vers {0}.
  • écrire {u_{n}=\text{O}(n^{2})}, c’est dire qu’il existe {K\ge0} tel que {\left|u_{n}\right|\le K n^{2}} pour {n} assez grand.
  • écrire {u_{n}=\text{o}(n^{2})}, c’est dire que {\displaystyle\lim\dfrac{u_{n}}{n^{2}}=0}.
  • écrire {u_{n}=\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n^{2}}\Bigr)}, c’est dire que {\displaystyle\lim n^{2}u_{n}=0}.

La relation {u_{n}\sim v_{n}}, synonyme de {u_{n}-v_{n}=\text{o}(v_{n})}, sera souvent écrite {u_{n}=v_{n}+\text{o}(v_{n})} : sous cette forme, elle signifie que {u_{n}} est la somme de {v_{n}} et d’une suite elle-même négligeable devant la suite {(v_{n})}.

Inversement, si à l’issue d’un calcul on arrive à {u_{n}=v_{n}+\text{o}(v_{n})}, on pourra écrire {u_{n}\sim v_{n}}.

La relation {u_{n}=v_{n}+\text{o}(v_{n})} est parfois plus fiable que la notation {u_{n}\sim v_{n}}, notamment dans les opérations de sommation (voir plus loin). Mais on utilise par ailleurs très souvent les notations de Landau dans des calculs algébriques (notamment dans la partie “développements limités” de ce chapitre).

Nous allons voir quelques-unes de ces règles de calcul :

Proposition
Soit {(u_{n})} et {(v_{n})} deux suites à valeurs réelles ou complexes. Soit {\lambda} un scalaire non nul.
Si {u_{n}=\text{O}(v_{n})}, alors {\lambda\, u_{n}=\text{O}(v_{n})}.
Si {u_{n}=\text{o}(v_{n})}, alors {\lambda\, u_{n}=\text{o}(v_{n})}.

Le résultat précédent signifie que dans les relations de domination et de négligeabilité, les constantes numériques multiplicatives sont simplement “cachées”.

Par exemple, on n’écrira jamais {u_{n}=\text{O}(2n^{2})} ou {u_{n}=\text{O}(-n^{2})}, mais plus simplement {u_{n}=\text{O}(n^{2})}.

Le résultat suivant dit que l’ensemble des suites qui sont dominées par (resp. négligeables devant) une suite {(w_{n})} donnée est stable par combinaisons linéaires :

Proposition
Soit {(u_{n})}, {(v_{n})} et {(w_{n})} trois suites à valeurs réelles ou complexes.
Si {u_{n}=\text{O}(w_{n})} et si {v_{n}=\text{O}(w_{n})}, alors pour tous scalaires {\alpha} et {\beta}, on a : {\alpha u_{n}+\beta v_{n}=\text{O}(w_{n})}.
Si {u_{n}=\text{o}(w_{n})} et si {v_{n}=\text{o}(w_{n})}, alors pour tous scalaires {\alpha} et {\beta}, on a : {\alpha u_{n}+\beta v_{n}=\text{o}(w_{n})}.

Plus généralement, considérons une suite {(u_{n})} de terme général {u_{n}=v_{n}+\alpha a_{n}+\beta b_{n}+\gamma c_{n}+\cdots}, où les suites {(a_{n})}, {(b_{n})}, {(c_{n})}, etc. sont négligeables devant la suite {(v_{n})}.

Alors on peut écrire {\alpha a_{n}+\beta b_{n}+\gamma c_{n}+\cdots=\text{o}(v_{n})}, donc {u_{n}=v_{n}+\text{o}(v_{n})}, donc {u_{n}\sim v_{n}}.

Traduction des croissances comparées

Soit {\alpha,\beta,\delta} trois réels strictement positifs quelconques.

  • On connaît la limite {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^{\alpha}\text{e}^{-\delta n}=0}, qui peut maintenant s’écrire : {\text{e}^{-\delta n}=\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n^{\alpha}}\Bigr)}.

    Ainsi {\text{e}^{-\delta n}} (qui tend vers {0} quand {n\to+\infty}) est négligeable devant toute puissance de {1/n}.

    On dit aussi que lorsque {n} tend vers {+\infty}, {\text{e}^{-\delta n}} (qui tend alors vers {0}) est un « infiniment petit d’ordre supérieur à tout ordre donné par rapport à l’infiniment petit principal {1/n} ».

  • On sait que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{\delta n}}{n^\alpha}=+\infty}, ou encore {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^\alpha}{\text{e}^{\delta n}}=0}, ce qui peut s’écrire : {n^{\alpha}=\text{o}(\text{e}^{\delta n})}.

    Ainsi toute puissance de {n} est négligeable devant {\text{e}^{\delta n}} quand {n} tend vers {+\infty}.

  • On sait que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln^\beta(n)}{n^\alpha}=0}, ce qui s’écrit maintenant {\ln^{\beta}(n)=\text{o}(n^{\alpha})}.

    Ainsi toute puissance de {\ln(n)} est négligeable devant toute puissance de {n} quand {n\to +\infty}.

  • Pour résumer, de façon très informelle : {\ln^{\beta}(n)\lt \lt n^{\alpha}\lt \lt \text{e}^{\delta n}} (avec {\alpha,\beta,\delta} dans {\mathbb{R}^{+*}})

Opérations sur les équivalents

Proposition (conservation du signe)
Soit {(u_{n})} et {(v_{n})} deux suites à valeurs réelles.
Si {u_{n}\sim v_{n}}, alors {u_{n}} et {v_{n}} gardent le même signe au voisinage de {+\infty}.
Proposition (conservation de la limite)
Soit {(u_{n})} et {(v_{n})} deux suites à valeurs réelles ou complexes.
Si {u_{n}\sim v_{n}}, et si {\lim v_{n}=\ell} (avec {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}} ou dans {\mathbb{C}}), alors {\lim u_{n}=\ell}.
Réciproquement : si {\lim u_{n}=\lim v_{n}=\ell} (où {\ell} est dans {\mathbb{C}^{*}}), alors {u_{n}\sim v_{n}}.

Attention!! : si {\lim u_{n}=\lim v_{n}=\ell}, avec {\ell\in\{-\infty,0,+\infty\}}, rien ne permet d’affirmer {u_{n}\sim v_{n}}.

Attention!! : même si {\lim u_{n}=0}, on n’écrira jamais {u_{n}\sim 0} (on l’a déjà dit!).

Proposition (équivalences dans un produit ou dans un quotient)
Soit {(u_{n})}, {(v_{n})} et {(a_{n})} trois suites à valeurs réelles ou complexes.
Si {\;u_{n}\sim v_{n}\;} alors {\;u_{n}a_{n}\sim v_{n}a_{n}\;} et {\;\dfrac{a_{n}}{u_{n}}\sim \dfrac{a_{n}}{v_{n}}}, et plus généralement : {\;a_{n}\,u_{n}^{\alpha}\sim a_{n}\,v_{n}^{\alpha}}.

Dans un produit ou un quotient de suites, on peut donc remplacer l’une des suites par une suite équivalente.

L’expression initiale est alors équivalente à l’expression finale. En particulier, il y a conservation de la limite éventuelle quand {n} tend vers {+\infty}.

Un cas particulier très simple est le produit par une constante non nulle {\lambda} : si {\;u_{n}\sim v_{n}\;} alors {\;\lambda\, u_{n}\sim \lambda\,v_{n}}.

Attention aux constantes multiplicatives!

On sait qu’elles sont “cachées” dans les relations du type {u_{n}=\text{O}(v_{n})} ou {u_{n}=\text{o}(v_{n})}, mais il en va tout autrement dans les relations du type {u_{n}\sim v_{n}}.

Pour prendre un exemple, on sait que {u_{n}=\text{o}(2n^{3})\Leftrightarrow u_{n}=\text{o}(-n^{3})\Leftrightarrow u_{n}=\text{o}(n^{3})} (et cette dernière formulation est recommandée).

En revanche, les propositions {u_{n}\sim 2n^{3}}, {u_{n}\sim -n^{3}}, et {u_{n}\sim n^{3}} n’ont pas la même signification!

Proposition (jamais d'équivalents dans une somme!!!)
Attention !! Si {u_{n}\sim v_{n}}, alors on n’a pas, en général, {u_{n}+a_{n}\sim v_{n}+a_{n}}.

On retiendra qu’on ne doit JAMAIS utiliser d’équivalents dans une somme.

Posons par exemple {u_{n}=1+\dfrac{1}{n}}, {v_{n}=1+\dfrac{1}{n^{2}}}, et {a_{n}=-1}.
On a : {\phantom{\biggl(}u_{n}\sim v_{n}} car ces deux suites tendent vers la même limite non nulle {\ell=1}.
En revanche {u_{n}+a_{n}=\dfrac{1}{n}} n’est pas équivalent à {v_{n}+a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}}.

Limites usuelles et équivalents de suites

Les limites usuelles rappelées au début du chapitre peuvent servir aux calculs d’équivalents de suites.

L’idée est que si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\in\mathbb{R}^{*}} et {\lim u_{n}=a}, alors {\lim f(u_{n})=\ell}, ou encore {f(u_{n})\sim\ell}.

Par exemple : si {\lim u_{n}=0}, alors {\dfrac{\text{e}^{u_{n}}-1}{u_{n}}\sim 1}, ou encore {\text{e}^{u_{n}}-1\sim u_{n}}.

On trouve donc facilement :

  • Si {\lim u_{n}=0}, alors : {\text{e}^{u_{n}}-1\sim u_{n}\;}, {\;\ln(1+u_{n})\sim u_{n}\;}, {(1+u_{n})^{\alpha}-1\sim \alpha\, u_{n}}.

    En particulier, toujours si {\lim u_{n}=0}, on a {\sqrt{1+u_{n}}-1\sim \dfrac{u_{n}}{2}}

  • si {\lim u_{n}=1}, alors : {\ln(u_{n})\sim u_{n}-1\;}, {u_{n}^{\alpha}-1\sim \alpha(u_{n}-1)}
  • si {\lim u_{n}=0}, alors : {\sin(u_{n})\sim u_{n}}, {\tan(u_{n})\sim u_{n}}, {\,\text{sh}(u_{n})\sim u_{n}}, {\,\text{th}(u_{n})\sim u_{n}}
  • si {\lim u_{n}=0}, alors : {\cos(u_{n})-1\sim-\dfrac{u_{n}^{2}}{2}\;}, {\,\text{ch}(u_{n})-1\sim\dfrac{u_{n}^{2}}{2}}

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