Comparaison des fonctions

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

Domination, négligeabilité, équivalence

Dans ce paragraphe, on considère un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.
On désigne par {a} un élément ou une extrémité de {I} ({a} est dans {\overline{\mathbb{R}}}).

On se limite ici à des fonctions définies sur {I\setminus\{a\}} et à valeurs réelles ou complexes (à valeurs réelles dans la plupart des cas), et qui ne s’annulent pas au voisinage de {a} (elles peuvent être définies et nulles au point {a} lui-même, mais ça n’intervient pas dans les définitions).

Les comparaisons de fonctions ont lieu au voisinage du point {a}, avec {a} dans {\mathbb{R}}, ou {a=+\infty} ou {a=-\infty} (alors que pour les suites, les comparaisons ont lieu uniquement quand {n} tend vers {+\infty}).

Les définitions suivantes constituent des comparaisons locales de fonctions quand {x} tend vers {a} (on dit aussi, de façon plus informelle mais moins précise, que les comparaisons sont effectuées “en {a}“).

Les définitions et les propriétés qui en découlent sont très proches de celles vues pour les comparaisons des suites numériques. On se contente donc d’une simple adaptation de ce qui a été dit précédemment.

Définition (fonction dominée par une autre en un point)
Soient {f}, {g} deux fonctions de {I\setminus\{a\}}, à valeurs dans {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{C}}).
On dit que {f} est dominée par {g} quand {x} tend vers {a} (ou en {a}) si {\dfrac{f}{g}} est bornée au voisinage de {a}.
On note alors {f=\text{O}(g)}, ou éventuellement {f=\text{O}_a(g)}.

Définition équivalente : il existe {M\ge0} tel que {|f(x)|\le M|g(x)|} au voisinage de {a}.

Définition (fonction négligeable devant une autre en un point)
Soient {f}, {g} deux fonctions de {I\setminus\{a\}} à valeurs dans {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{C}}).
On dit que {f} est négligeable devant {g} quand {x} tend vers {a} (ou en {a}) si {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0}.
On note alors {f=\text{o}(g)}, ou éventuellement {f=\text{o}_a(g)}.

Définition équivalente : pour tout {\varepsilon >0} (sous-entendu « ausi petit soit-il ») il existe un voisinage de {a} (dépendant bien sûr de {\varepsilon}) sur lequel on a l’inégalité {|f(x)|\le\varepsilon|g(x)|}.

Définition (fonction équivalente à une autre en un point)
Soient {f}, {g} deux fonctions de {I\setminus\{a\}} à valeurs dans {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{C}}).
On dit que {f} est équivalente à {g} au voisinage de {a} (ou en {a}) si {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1}.
On note alors {f\sim g}, ou éventuellement {f\stackrel{a}{\sim}g}.

Définition équivalente : dire que {f\stackrel{a}{\sim}g}, c’est dire que {f-g} est négligeable devant {g} en {a}.

Propriétés des relations de comparaison

Dans les résultats suivants, on désigne par {f,g,h} des fonctions numériques définies sur {I\setminus\{a\}} et qui ne s’annulent pas au voisinage de {a}. Les relations de comparaison sont établies quand {x} tend vers {a}.

  • Si {f=\text{o}(g)} alors {f=\text{O}(g)}.
    Si {f=\text{o}(g)} et {g=\text{O}(h)} alors {f=\text{o}(h)} (même résultat si {f=\text{O}(g)} et {g=\text{o}(h)}).
  • Si {f=\text{O}(h)} et si {g=\text{O}(h)}, alors {\alpha f+\beta g=\text{O}(h)} (même résultat avec des « {\text{o}} »).
    Si {\alpha\ne0} et si {f=\text{O}(g)} (resp. {f=\text{o}(g)}, {f\sim g}), alors {f=\text{O}(\alpha g)} (resp. {f=\text{o}(g)}, {\alpha f\sim\alpha g)}
  • Si {f\sim g} (et sont à valeurs réelles), alors {f} et {g} gardent le même signe au voisinage de {+\infty}.
    Si {f\sim g}, et si {\lim g=\ell} (avec {\ell} dans {\ov\mathbb{R}} ou dans {\mathbb{C}}), alors {\lim f=\ell}.
    Réciproquement : si {\lim f=\lim g=\ell}(où {\ell} est un scalaire non nul), alors {f\sim g}.
  • Si {\;f\sim g\;} alors {\;fh\sim gh\;} et {\;\dfrac{h}{f}\sim \dfrac{h}{g}}, et plus généralement : {\;h\,f^{\alpha}\sim h\,g^{\alpha}}.
  • Attention !! Si {f\sim g} alors on n’a pas, en général, {f+h\sim g+h}.

  • Si {f_2,f_3,\ldots,f_n} sont des {\text{o}(f_1)} alors {f_1+f_2+\cdots+f_n\sim f_1}.
Proposition (changement de variable dans un équivalent)
Soient {f}, {g} deux fonctions de {I\setminus\{a\}} à valeurs dans {\mathbb{R}} (ou {\mathbb{C}}).
Soit {\varphi} une fonction de {J} dans {I}, qui tend vers {a} quand {x} tend vers {b} dans {J}.
Si {f} est dominée par {g} en {a}, alors {f\circ\varphi} est dominée par {g\circ\varphi} en {b}.
Si {f} est négligeable devant {g} en {a}, alors {f\circ\varphi} est négligeable devant {g\circ\varphi} en {b}.
Si {f} et {g} sont équivalentes en {a}, alors {f\circ\varphi} et {g\circ\varphi} sont équivalentes en {b}.

C’est surtout cette dernière propriété qui est utilisée.

Par exemple, du fait que {\sin(x)\stackrel{0}{\sim} x} en {0}, on peut écrire : {\sin(x^2)\stackrel{0}{\sim} x^2}.

Toujours grâce à {\sin(x)\stackrel{0}{\sim} x}, on trouve : {\sin\Bigl(\dfrac1x\Bigr)\stackrel{\infty}{\sim}\dfrac1x\;\text{et}\;\sin(\ln(x))\stackrel{1}{\sim}\ln(x)\stackrel{1}{\sim}(x-1)}

Conseils pour utiliser les équivalents

  • Les équivalents servent essentiellement aux calculs de limites : on transforme une expression {f(x)}, dont on cherche la limite {\ell} en un point {a}, en une
    expression équivalente {g(x)} dont la limite en ce point est évidente (si {\ell} est un scalaire non nul, il est courant qu’on aboutisse à {g(x)=\ell}).

    Les outils essentiels sont les équivalents classiques (voir plus loin) et la possibilité qu’on a de remplacer les facteurs d’un produit ou d’un quotient par des équivalents.

  • L’erreur la plus fréquente consiste à utiliser les équivalents dans des sommes. La seule propriété concernant les équivalents et les sommes peut s’écrire : {g=\text{o}(f)\Rightarrow f+g\sim f}.
  • On évitera d’utiliser un équivalent d’une fonction {f} sous la forme {f\sim g+h}, avec {h=\text{o}(g)}, et surtout de donner un rôle à {h} : on se contentera d’écrire {f\sim g}.

    Écrire par exemple {\cos(x)\stackrel{0}{\sim}1-\dfrac{x^2}2} n’est pas faux mais c’est dangereux si on donne un rôle à {-\dfrac{x^2}2}.

    En effet, on a aussi : {\cos(x)\stackrel{0}{\sim}1+x^2\stackrel{0}{\sim}1-36x^2\ldots}

    Pour cet exemple, la solution est sans doute d’écrire : {1-\cos(x)\stackrel{0}{\sim} \dfrac{x^2}2}.

  • Soit {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell\ne0}, alors {f(x)\stackrel{a}{\sim}\ell}. Mais si {\ell=0}, on n’écrira pas {f(x)\sim0} !
  • Si {f\sim g} ({f} et {g} étant positives et tendant vers une limite {\ell} différente de {1}) alors {\ln(f)\sim\ln(g)}.

    C’est faux si {f} et {g} tendent vers {1}.
    Par exemple, {(1+x)\stackrel{0}{\sim}(1+x^2)}, mais en ce point {\begin{cases}\ln(1+x)\sim x&\cr\ln(1+x^2)\sim x^2&\end{cases}} mais {x\nsim x^{2}}

  • On évitera surtout de prendre des “exponentielles” d’équivalents !
    En effet {\text{e}^ f\sim\text{e}^g\Leftrightarrow f-g=\text{o}(1)}, ce qui n’équivaut pas du tout à {f\sim g}.
    Exemples : considérer {x} et {x^2} en {0}, ou encore {x} et {x+1} en {+\infty}.

Comparaisons usuelles

Exponentielles, puissances et logarithmes

Soient {\alpha}, {\beta} et {\delta} des réels strictement positifs. On sait que : {\begin{array}{cc}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha\text{e}^{-\delta x}=0\quad&\quad\displaystyle\lim_{x\to-\infty}|x|^\alpha\text{e}^{\delta x}=0\\\\\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{-\alpha}\ln^\beta(x)=0\quad&\quad\displaystyle\lim_{x\to0+}x^\alpha|\ln^\beta(x)|=0\end{array}}
Autrement dit, on peut écrire : {\begin{array}{rl}x^\alpha\stackrel{+\infty}{=}\text{o}(e^{\beta x})\quad&\quad\text{e}^{\delta x}\stackrel{-\infty}{=}\text{o}(|x|^{-\alpha})\\\\\ln(x)^\beta\stackrel{+\infty}{=}\text{o}(x^\alpha)\quad&\quad|\ln(x)|^\beta\stackrel{0}{=}\text{o}(x^{-\alpha})\end{array}}

Équivalents classiques

Si {f} est dérivable en {0} et si de plus {f(0)=0} et {f'(0)=1}, alors {f(x)\sim x} en {0}.

En particulier, on a les équivalents : {\sin(x)\stackrel{0}{\sim} x,\quad\tan(x)\stackrel{0}{\sim}x,\quad\ln(1+x)\stackrel{0}{\sim}x,\quad\text{e}^x -1\stackrel{0}{\sim}x}

Toujours à l’origine : {(1+x)^m-1\stackrel{0}{\sim} m x}, et {1-\cos(x)\stackrel{0}{\sim}\dfrac{x^2}2}.

On peut aussi écrire, au voisinage de {x=1} : {x^m-1\stackrel{1}{\sim} m(x-1)} et {\ln(x)\stackrel{1}{\sim} x-1}.

Polynômes et fractions rationnelles

  • Soit {P(x)=a_mx^m+a_{m+1}x^{m+1}+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n} un polynôme ({m\lt n}).
    On suppose que {a_m} et {a_{n}}) sont non nuls.
    Au voisinage de l’origine : {P(x)\stackrel{0}{\sim} a_mx^m} (monôme de plus bas degré).
    Au voisinage de {\pm\infty} : {P(x)\stackrel{\infty}{\sim} a_nx^n} (monôme de plus haut degré).
  • Soit {f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}} une fraction rationnelle ({P} et {Q} deux polynômes).
    Au voisinage de {0}, {f(x)} est équivalente au quotient des monômes de plus bas degré.
    Au voisinage de {\pm\infty}, {f(x)} est équivalente au quotient des monômes de plus haut degré.

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