Application des développements limités

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

Équivalents et DL

On utilise principalement les équivalents dans les recherches de limites, mais on se tourne vers les développements limités si on a besoin de davantage de précision (par exemple non seulement l’existence d’une demi-tangente mais encore la position de la courbe par rapport à celle-ci) ou quand il est difficile d’utiliser des équivalents (notamment dans les sommes).

  • On peut avoir besoin de développements limités pour trouver un simple équivalent d’une somme.

    Par exemple, pour un équivalent de {\sin(\,\text{sh}(x))-\,\text{sh}(\sin(x))} en {0}, il faut développer {\sin(x)} et {\,\text{sh}(x)} à l’ordre {7} (pour atteindre les premiers coefficients qui ne se simplifient pas).

    On trouve {\begin{cases}\sin(\,\text{sh}(x))=x-\dfrac{x^5}{15}-\dfrac{x^7}{90}+\text{o}(x^7)\\\\\text{sh}(\sin(x))=x-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{90}+\text{o}(x^7)\end{cases}}

    Finalement : {\sin(\,\text{sh}(x))-\,\text{sh}(\sin(x))=-\dfrac{x^7}{45}+\text{o}(x^7)\stackrel{0}{\sim}-\dfrac{x^7}{45}}.

  • Plus généralement, soit le développement {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.

    Si tous les {a_k} sont nuls, alors {f(x)} est négligeable devant {(x-x_0)^n} au voisinage de {x_0}.

    Sinon, et si {m} est l’indice minimum tel que {a_m\ne0}, alors {f(x)\sim a_m(x-x_0)^m} en {x_0}.

    Inversement, si {f(x)\sim a_m(x-x_0)^m} en {x_0}, avec {m\in\mathbb{N}}, alors {f(x)=a_m(x-x_0)^m+\text{o}((x-x_0)^m)}.

    Plus généralement, avec exemple le DL usuel : {\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\text{o}(x^4)}.

    On peut écrire les équivalents : {\cos x-1\stackrel{0}{\sim}-\dfrac {x^2}{2!}}, ou encore {\cos x-1+\dfrac{x^2}{2!}\stackrel{0}{\sim}\dfrac {x^4}{4!}}

Position par rapport à une tangente

On suppose que {f} admet un développement limité d’ordre {n\ge3} au point {x_0} : {f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\text{o}((x-x_0)^n))}

On sait que cela implique la dérivabilité de {f} en {x_0}, avec {f(x_0)=a_0} et {f'(x_0)=a_1}.

L’équation de la tangente {\Delta} à {y=f(x)} en {x=x_0} est donc {y=a_0+a_1(x-x_0)}.

Remarque : si le DL n’est valable qu’à gauche ou à droite de {x_0}, il s’agit d’une demi-tangente.

Soit {m} l’indice minimum tel que {m\ge2} et {a_m\ne0}.

Alors {f(x)-a_0-a_1(x-x_0)\sim a_m(x-x_0)^m} au voisinage de {x_0}.

On en déduit le placement local de la courbe {y=f(x)} par rapport à la (demi-)tangente {\Delta}.

  • Si {m} est pair, le placement de {y=f(x)} par rapport à {\Delta} est donné par le signe de {a_m}.
    Si {a_m>0}, la courbe est localement “au-dessus” de sa tangente.
    Si {a_m\lt 0}, la courbe est localement “en-dessous” de sa tangente.
  • Si {m} est impair, la courbe {y=f(x)} “traverse” {\Delta} au voisinage de {M_0}.
    Dans ce cas, la droite {\Delta} est donc une tangente d’inflexion.

Voici les allures possibles au voisinage de {A(x_{0},a_{0})}, quand {a_{1}=f'(x_{0})} est strictement positif.

  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}>0}, {m} pair, {a_{m}>0} :

  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}>0}, {m} pair, {a_{m}\lt 0} :

  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}>0}, {m} impair, {a_{m}>0} :

  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}>0}, {m} impair, {a_{m}\lt 0} :

Voici les allures possibles au voisinage de {A(x_{0},a_{0})}, quand {a_{1}=f'(x_{0})} est strictement négatif.


  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}\lt 0}, {m} pair, {a_{m}>0}:

  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}\lt 0}, {m} pair, {a_{m}\lt 0}

  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}\lt 0}, {m} impair, {a_{m}>0} :

  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {a_{1}\lt 0}, {m} impair, {a_{m}\lt 0} :

Enfin, voici les allures possibles au voisinage de {A(x_{0},a_{0})}, quand {a_{1}=f'(x_{0})} est nul :


  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {m} pair, {a_{m}>0} :
  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {m} pair, {a_{m}\lt 0} :
  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, {m} impair, {a_{m}>0} :
  • {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, latex]{m}[/latex] impair, {a_{m}\lt 0} :

Au vu des douze cas précédents, on comprend qu’une condition nécessaire pour que {f} admette un extrémum local en {x_{0}} est que le coefficient de degré {1} dans le développement de {f(x_{0}+h)} soit nul.

Ce n’est pas une condition suffisante comme on le voit avec les deux derniers cas ci-dessus.

En revanche, si {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{m}h^{m}+\text{o}(h^{m})}, avec {m\ge 2} et pair (en général {m=2}) et {a_{m}\ne 0}, alors la fonction {f} présente en {x_{0}} un extremum local (un minimum si {a_{m}>0}, un maximum si {a_{m}\lt 0}).

Une remarque sur les DL en dehors de l’origine

On considère le DL en {x_0} non nul: {f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_{0})^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\text{o}((x-x_0)^n)}
Dans un tel développement, la différence {x-x_{0}} constitue “l’infiniment principal”, et la présence des puissances successives de {(x-x_{0})} illustre une approximation locale de {f(x)} (de plus en plus précise au fur et à mesure de l’avancement dans ce développement).

Dans une telle écriture, il est important de conserver l’ordre des puissances croissantes de {(x-x_{0})}.

Surtout il ne faut jamais développer les {(x-x_0)^k} quand {k\ge2}.

En revanche, on rappelle que {y=a_0+a_1(x-x_0)=a_1x+(a_0-a_1x_0)} représente l’équation de la tangente à la courbe représentative de {f} au point {A(x_0,a_{0}=f(x_0))} à la courbe {y=f(x)} : on peut donc réordonner cette partie du développement sans risque.

Branches infinies

Définition (développement limité (DL) au voisinage de l'infini)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction définie au voisinage de {+\infty} (ou de {-\infty}). Soit {n} dans {\mathbb{N}}.
On dit que {f} a un DL à l’ordre {n} en {+\infty} (resp. en {-\infty}) s’il existe des réels {a_0,a_1,\ldots,a_n} et une fonction {x\mapsto \varepsilon(x)} tels que : {\forall\, x\in I,\; f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{a_k}{x^k}+\dfrac{\varepsilon(x)}{x^n}}, avec {\displaystyle\lim_{x\to\infty}\varepsilon(x)=0}.

Remarques

  • Avec les notations de Landau, le développement précédent s’écrit : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{a_k}{x^k}+\text{o}\Bigl(\dfrac1{x^n}\Bigr)}.
  • Les DL en {\infty} ont des propriétés analogues à celles des DL en {x_{0}} (unicité, troncature, etc.)
  • D’ailleurs un DL en {\infty} peut toujours se ramener à un DL en {0} en posant {y=\dfrac{1}{x}}.
    En effet, si {g} est définie au voisinage de {y=0} par {g(y)=f\Bigl(\dfrac{1}{y}\Bigr)}, on a l’équivalence : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{a_k}{x^k}+\text{o}\Bigl(\dfrac1{x^n}\Bigr)\Leftrightarrow g(y)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_ky^k+\text{o}(y^n)}

Placement par rapport à une asymptote

On suppose qu’au voisinage de {\pm\infty} on a le développement : {\dfrac{f(x)}{x}=a_0+\dfrac{a_1}{x}+\cdots+\dfrac{a_n}{x^n}+\text{o}\Bigl(\dfrac1{x^n}\Bigr)}
Alors {f(x)=a_0x+a_1+\dfrac{a_2}{x}+\cdots+\dfrac{a_n}{x^{n-1}}+\text{o}\Bigl(\dfrac1{x^{n-1}}\Bigr)}.

En particulier, on observe que {\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-a_0x-a_1)=0}.

La droite {\Delta:y=a_0x+a_1} est donc asymptote à la courbe {y=f(x)} quand {x\to\pm\infty}.

Soit {m} l’indice minimum tel que {m\ge2} et {a_m\ne0}. Alors {f(x)-a_0x-a_1\sim\dfrac{a_m}{x^{m-1}}}.

On en déduit le placement de la courbe {y=f(x)} par rapport à {\Delta} au voisinage de {\pm\infty}.

Un exemple de recherche d’asymptote

On considère {f_{\lambda}} définie sur {\mathbb{R}^{*}} par {f_{\lambda}(x)=(2x-\lambda)\text{e}^{1/x}}, où {\lambda\in\mathbb{R}}.

On pose {x=\dfrac{1}{y}} pour se ramener au voisinage de {y=0}. On trouve : {\begin{array}{rl}f_{\lambda}(x)&=\Big(\dfrac{2}{y}-\lambda\Big)\text{e}^{y}=\dfrac{1}{y}(2-\lambda y)\Bigl(1+y+\dfrac{y^{2}}{2}+\dfrac{y^{3}}{6}+\text{o}(y^{3})\Bigr)\\\\&=\dfrac{1}{y}\Bigl(2+ (2-\lambda)y+(1-\lambda)y^2+\Bigl(\dfrac{1}{3}-\dfrac{\lambda}{2}\Bigr)y^{3}+\text{o}({y}^{3})\Bigr)\end{array}}
Ainsi, de retour à la variable {x}, on obtient : {f_{\lambda}(x)=2x+ 2-\lambda+\dfrac{1-\lambda}{x}+\Bigl(\dfrac{1}{3}-\dfrac{\lambda}{2}\Bigr)\dfrac{1}{x^{2}}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{x^{2}}\Bigr)}
On en déduit l’asymptote {\Delta_{\lambda}:y=2x+ 2-\lambda} quand {x} tend vers {\pm\infty}.

Le placement est donné par le signe de {\dfrac{1-\lambda}{x}} si {\lambda\ne1}.

Il est donné par la signe de {\Bigl(\dfrac{1}{3}-\dfrac{\lambda}{2}\Bigr)\dfrac{1}{x^{2}}=-\dfrac{1}{6x^{2}}} si {\lambda=1}.

Remarque : à cause de {\lambda=1}, on ne pouvait contenter de {f_{\lambda}(x)=2x+ 2-\lambda+\dfrac{1-\lambda}{x}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)}.

Voici l’allure de la courbe {y=f(x)} dans les trois cas {\lambda>1}, {\lambda\lt 1}, et {\lambda=1} :