Formes n-linéaires alternées

Plan du chapitre "Déterminants"

Applications multilinéaires

Définition (applications multilinéaires)
Soient {E,F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. Soit {f} une application de {E^n} dans {\mathbb{K}}, avec {n\ge1}.
On dit que {f} est {n}-linéaire si :
— pour tout {i\in\{1,\ldots,n\}} et pour tous vecteurs {u_1,\ldots,u_{i-1},u_{i+1},\ldots,u_n}

— l’application {f_i\,\colon E\to F} définie par {f_i(v)=f(u_1,\ldots,u_{i-1},v,u_{i+1},\ldots,u_n)} est linéaire.

Une application {f\colon E^n\to F} est donc {n}-linéaire (on dit aussi “multilinéaire”) si elle est “linéaire par rapport à chacune de ses variables quand on fixe toutes les autres”.

Remarques et propriétés

  • Pour {n=1}, la {n}-linéarité se confond avec la linéarité.
    Si {n=2}, on parle d’application bilinéaire. Si {n=3}, on parle d’application trilinéaire.
    Si {F=\mathbb{K}}, on parle de forme {n}-linéaire.
  • Si {f:E^n\to F} est {n}-linéaire et si l’un des {u_i} est nul, alors {f(u_1,u_2,\ldots,u_n)=0}.
    Cela résulte en effet de la linéarité par rapport à la {i}-ième composante.
  • Une application {f} de {E^2} dans {F} est bilinéaire si et seulement si, pour tous vecteurs {u,u',v,v'} de {E}, et pour tous scalaires {\alpha,\beta,\gamma,\delta} : {\begin{array}{rl}f(\alpha u+\beta u',\gamma v+\delta v')&=\alpha f(u,\gamma v+\delta v')+\beta f(u',\gamma v+\delta v')\\\\ &=\alpha\gamma f(u,v)+\alpha\delta f(u,v')+\beta\gamma f(u',v)+\beta\delta f(u',v')\end{array}}
  • Si {n\ge 2}, on ne confondra pas linéarité et {n}-linéarité.
    Par exemple, si {f} est linéaire :
    {f(\lambda u_1,\lambda u_2,\ldots,\lambda u_n)=\lambda f(u_1,u_2,\ldots,u_n)}
    Mais si {f} est {n}-linéaire : {f(\lambda u_1,\lambda u_2,\ldots,\lambda u_n)=\lambda^n f(u_1,u_2,\ldots,u_n)}
    De même, si {n=2}, et si {f} est linéaire : {f(u+u',v+v')=f(u,v)+f(u',v')=f(u,v')+f(u',v)}
    Toujours si {n=2}, mais si {f} est bilinéaire :
    {f(u+u',v+v')=f(u,v)+f(u,v')+f(u',v)+f(u',v')}

Formes multilinéaires alternées

Définition (formes multilinéaires alternées sur un espace de dimension n)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}. Soit {f:E^n\to\mathbb{K}} une forme {n}-linéaire.
On dit que {f} est alternée (ou antisymétrique) si : {\begin{array}{l}\forall\,(u_1,u_2,\ldots,u_n)\in E^n,\quad\forall\,(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\text{\ avec\ }i\ne j\\\\f(u_1,\ldots,u_i,\ldots,u_j,\ldots,u_n)=-f(u_1,\ldots,u_j,\ldots,u_i,\ldots,u_n)\end{array}}
Autrement dit : {f\colon E^n\to \mathbb{K}} est alternée si l’échange de deux vecteurs quelconques dans la liste {(u_1,\ldots,u_n)} change le scalaire {f(u_1,\ldots,u_n)} en son opposé.
On note {{\mathcal A}_n(E,\mathbb{K})} l’ensemble des « formes {n}-linéaires alternées sur {E} ».

Attention à la terminologie : on parle de formes {n}-linéaires alternées « sur {E} », et on note {{\mathcal A}_n(E,\mathbb{K})}, mais il s’agit bien d’applications qui sont définies sur {E^n} et qui sont à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Il faut bien noter que l’entier {n} est présent deux fois dans la définition : d’une part il représente la dimension de {E}, et d’autre part l’exposant dans le domaine {E^{n}} de {f}.

On vérifie facilement que {{\mathcal A}_n(E,\mathbb{K})} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}} (à suivre!).

Proposition
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {f:E^n\to\mathbb{K}} une forme {n}-linéaire alternée.

  • si deux des vecteurs {u_1,\ldots,u_n} sont égaux, alors {f(u_1,\ldots,u_n)=0}
  • on ne change pas {f(u_1,u_2,\ldots,u_n)} en ajoutant à un {u_i} une combinaison linéaire des autres
  • si les vecteurs {u_1,u_2,\ldots,u_n} sont liés, alors {f(u_1,u_2,\ldots,u_n)=0}

Démonstration
  Pour voir ce contenu, vous devez : 
Proposition (caractère alterné et permutation sur l'ordre des vecteurs)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension {n\ge1}.
Soit {f:E^n\to\mathbb{K}} une forme {n}-linéaire alternée.
Soit {\sigma} une permutation de {\{1,2,\ldots,n\}}, et soit {\varepsilon(\sigma)} sa signature.
Pour tous vecteurs {u_1,u_2,\ldots,u_n} de {E}, on a : {f(u_{\sigma(1)},u_{\sigma(2)},\ldots,u_{\sigma(n)})=\varepsilon(\sigma)f(u_1,u_2,\ldots,u_n)}

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